陳 震， 余 嶺

(1. 華北水利水電大學土木與交通學院 鄭州，450045)(2. 暨南大學重大工程災害與控制教育部重點實驗室 廣州，510632)

?

基于TGSVD的橋梁移動荷載識別及正則化矩陣選取*

陳 震1，2， 余 嶺2

(1. 華北水利水電大學土木與交通學院 鄭州，450045)(2. 暨南大學重大工程災害與控制教育部重點實驗室 廣州，510632)

基于時域法(time domain method ，簡稱TDM)識別移動荷載理論，通過引入正則化矩陣，提出采用截斷廣義奇異值分解法(truncated generalized singular value decomposition，簡稱TGSVD)識別橋梁移動荷載。比較不同正則化矩陣對TGSVD識別結果影響，并與TDM識別結果進行比較，兩軸移動荷載識別結果表明，正則化矩陣選取對TGSVD識別精度、魯棒性等影響較大。當正則化矩陣選取適當，TGSVD采用彎矩和加速度響應均具有較高識別精度且識別結果受噪聲干擾小。在測點類型單一或測點數(shù)量較小時優(yōu)勢更為突出，適宜于現(xiàn)場移動荷載識別，具有較強的工程應用價值。

橋梁； 移動荷載； 識別； 不適定性； 時域法； 截斷廣義奇異值分解法； 正則化矩陣

引言

移動荷載會引起橋梁疲勞損傷甚至破壞，由橋梁響應識別移動荷載是典型的結構動力學第二類反問題，由于測量響應的離散性并需要計算反卷積，這類問題具有明顯的病態(tài)特征[1]。近年來，移動荷載識別有較大發(fā)展，提出很多新的方法。袁向榮等[2]通過梁振動響應曲線提出響應曲線滑動擬合法。Law 等[3]以時域法[4]和頻時域法[5]為基礎，將正則化方法應用于移動稱重技術中。卜建清等[6]提出基于廣義正交函數(shù)和正則化的移動荷載識別法。文獻[1,7]采用樣條函數(shù)逼近橋梁響應識別移動荷載。余嶺等[8]提出采用預處理共軛梯度法識別移動荷載。陳鋒等[9]采用模態(tài)置信準則對梁橋上移動荷載識別中的測點進行優(yōu)化。文獻[10-11]基于有限元理論采用形函數(shù)識別移動荷載。夏樟華等[12]結合健康監(jiān)測系統(tǒng)識別移動荷載。余嶺等[13]采用數(shù)值模擬和模型實驗驗證了時域法和頻時域法的識別精度。

基于奇異值分解法(singular value decomposition ，簡稱SVD)思路，針對系數(shù)矩陣欠秩引起的不適定問題，Hansen[14]提出廣義奇異值分解法(generalized singular value decomposition, 簡稱GSVD)。對于求解最小二乘問題，截斷奇異值分解法(truncated singular value decomposition, 簡稱TSVD)的解不包含系數(shù)矩陣的數(shù)值零空間，即為正則化解。將TSVD的解一般化即為截斷廣義奇異值分解法的解。以時域法識別移動荷載為基礎，模擬雙軸車輛在簡支梁橋上行駛過程，采用提出的TGSVD由橋梁彎矩響應或加速度響應識別橋面移動車載。TGSVD的識別精度和正則化矩陣的選取密切相關，筆者分別采用單位矩陣、雙對角矩陣和三對角矩陣三類正則化矩陣，比較其對TGSVD識別精度和抗噪性能的影響。算例計算結果表明，單位正則化矩陣不能提高TGSVD的識別精度，采用雙對角正則化矩陣和三對角正則化矩陣具有較高的識別精度，對改善病態(tài)識別問題的不適定性有良好效果。其中，雙對角矩陣在所有識別工況中顯示出良好的適應性和魯棒性，在三種正則化矩陣類型中具有較好的競爭性。

1 基本理論

1．1 簡支梁單荷載識別

Euler-Bernoulli梁長度為L，動荷載P以均勻速度c沿著梁面移動，如圖1所示。圖中直線為簡支梁原軸線，弧線為簡支梁在荷載作用下的變形。取梁單位長度質(zhì)量為ρ，考慮粘性阻尼并取阻尼系數(shù)為C，簡支梁抗彎剛度為EI，移動荷載運動方程為

(n=1,2,…,∞)

(1)

圖1 簡支梁單荷載識別模型Fig.1 Simply supported beam model for single force identification

由時域法識別移動荷載理論可知，簡支梁上某位置任一時刻的彎矩響應和加速度響應可通過卷積積分得到，梁上x處t時刻的彎矩響應為

(2)

同理，梁上x處t時刻的加速度響應為

(3)

其中：

當已知橋面響應b和系統(tǒng)矩陣A，TDM識別移動荷載最終都可轉(zhuǎn)化為逆問題的求解

AN×NBxNB×1=bN×1

(4)

其中：x為待識別的移動荷載；下標N為測點響應數(shù)；NB=L/cΔt為采樣樣本數(shù)。

1．2 TGSVD識別移動荷載

(5)

1．3 TGSVD正則化矩陣選取

為比較正則化矩陣對TGSVD識別精度和抗噪性能影響，分別選取單位矩陣L1、雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3為正則化矩陣。當選用L1正則化矩陣時，TGSVD退化為截斷奇異值分解方法，L1，L2，L3分別為

(6a)

(6b)

(6c)

2 數(shù)值模擬

2．1 車橋仿真參數(shù)

采用文獻[4]算例識別兩軸移動荷載，比較正則化矩陣選取對TGSVD識別結果影響，并與采用TDM法識別移動荷載結果進行比較。雙軸車載的前軸荷載和后軸荷載分別為

(7)

(8)

其中：車輛行駛速度c=40 m/s；兩軸間距l(xiāng)s=8 m；簡支梁跨度L=40 m；抗彎剛度EI=1.279×1011N·m2；單位長度密度ρ=12 000 kg/m；簡支梁前三階固有頻率分別為3.2 ，12.8 ，28.8 Hz；采樣頻率取200 Hz；分析頻段取為0～40 Hz。

噪聲干擾下的橋梁彎矩響應或加速度響應為

(9)

識別誤差評判標準為

(10)

其中：Error為相對百分誤差；‖·‖為向量的范數(shù)；Ftrue為真實荷載；Fidentified為識別荷載。

2.2 不同正則化矩陣識別結果比較

在簡支梁1/4跨長、1/2跨長和3/4跨長位置分別布設應變片和加速度計，即可測得對應位置的彎矩響應和加速度響應。通過選取不同位置彎矩響應和加速度響應組合，即可確定測點數(shù)量和測點類型不同時各識別方法的識別精度。

TDM識別結果表明，采用加速度響應識別移動荷載精度較高，而彎矩響應識別結果則不理想。分別采用單位矩陣L1、雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3作為正則化矩陣，比較TGSVD采用不同正則化矩陣時識別結果差別，進而選取最優(yōu)正則化矩陣。

表1為兩種工況僅由彎矩響應識別移動荷載時，TDM與TGSVD采用不同正則化矩陣識別結果比較。TDM識別誤差很大，當噪聲水平大于1%時，識別誤差均超過100%，無法識別移動荷載。TGSVD識別精度較TDM有很大提高，在噪聲水平小于10%時，識別精度均可接受，且其識別精度隨正則化矩陣選取不同差異較大。3種正則化矩陣中，采用單位矩陣L1時識別誤差最大，采用雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3識別精度較高。在噪聲水平為1%，采用L2和L3作為正則化矩陣時，識別誤差最大值僅為6.5%。

表1 TGSVD正則化矩陣選取識別誤差比較

圖2表明采用單位矩陣L1時，兩軸車輛在前軸下橋和后軸上橋時刻識別結果與真實值偏差較大，精度較差，其余時段識別精度尚可接受，采用L2和L3能精確識別兩軸移動荷載。圖3表明當噪聲水平增加到5%時，采用3種正則化矩陣識別精度均較噪聲水平為1%時有所降低。在前軸下橋和后軸上橋時刻，采用L2和L3時識別結果也會出現(xiàn)輕微波動，且采用L2時波動較小，識別精度最高。數(shù)值仿真結果表明：TGSVD采用單位矩陣L1作為正則化矩陣時，識別精度較差；采用雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3識別精度較高。隨著噪聲水平的增加，在前軸下橋和后軸上橋時刻識別精度均會有所波動。采用L2時波動較小，能較好抑制由系統(tǒng)方程的不適定導致的識別誤差，L2為3種正則化矩陣中最優(yōu)正則化矩陣。

2．3 TDM與TGSVD識別結果比較

TGSVD采用不同正則化矩陣識別結果表明，采用L2和L3作為正則化矩陣時TGSVD識別精度較高，采用L1時不能降低由系統(tǒng)方程的不適定導致的識別誤差，后面研究僅采用L2和L3作為正則化矩陣并比較TGSVD和TDM識別結果。由彎矩響應識別結果表明, TGSVD可僅由彎矩響應識別移動荷載，識別精度較TDM有很大提高。

圖2 1%噪聲時采用不同正則化矩陣彎矩響應識別結果比較(1/4，1/2和3/4跨長的3個彎矩響應)Fig.2 Comparison on identified results from bending moment responses by TGSVD with three different regularization matrixes when the noise is 1%

本部分重點研究由加速度響應或加速度響應和彎矩響應組合識別兩軸移動荷載時，TGSVD和TDM識別結果差異。表2為4種工況分別采用加速度響應或彎矩和加速度組合響應識別移動荷載時，TDM與TGSVD識別結果比較。由表2可知，采用TDM識別移動荷載時，識別誤差隨噪聲水平線性增加，絕大多數(shù)工況識別誤差大于50%，最大誤差值達到6 824%。采用TGSVD識別移動荷載時，識別誤差隨噪聲水平增加略有增加，但增加幅值很小，尤其是采用L2正則化矩陣，當噪聲水平從1%增加到10%時，誤差增加幅值最大僅為2.4%(1/4，1/2跨長的2個彎矩響應和1/2跨長的1個加速度響應工況前軸識別結果)。TGSVD識別誤差受噪聲干擾影響很小，具有良好的魯棒性，適宜于噪聲干擾情況下現(xiàn)場移動荷載識別。

圖3 5%噪聲時采用不同正則化矩陣彎矩響應識別結果比較(1/4，1/2和3/4跨長的3個彎矩響應)Fig.3 Comparison on identified results from bending moment responses by TGSVD with three different regularization matrixes when the noise is 5%

表2 TDM 與TGSVD識別誤差比較

響應類型對TDM識別精度影響明顯，當響應類型全部為彎矩響應時，識別精度明顯偏低，當響應類型全部為加速度響應時，識別精度可以接受。圖4為由加速度響應識別移動荷載時，TDM與TGSVD識別結果比較。在10%噪聲水平下，除前軸下橋和部分時段識別誤差較大，大多數(shù)時段TDM識別結果均可接受，較僅由彎矩響應識別精度有很大提高。采用L2和L3正則化矩陣TGSVD識別精度均很高，較僅由彎矩響應識別精度略有提高，識別結果受響應類型不同影響較小。

測點數(shù)量尤其是加速度測點數(shù)量對TDM識別精度影響很大，TDM識別方法的效果受測點數(shù)量和類型變化影響明顯。當響應數(shù)量較少且含有彎矩響應時(1/4跨長的1個彎矩響應和1/4跨長的1個加速度響應工況)，在10%噪聲水平下，TDM前軸識別誤差為6 824%，后軸識別誤差為5 514%，而TGSVD采用L2正則化矩陣前軸識別誤差僅為7.7%，后軸識別誤差僅為8.0%。圖5為10%噪聲水平下該工況兩種方法識別結果比較。由圖5可知TDM無法識別移動荷載，TGSVD采用L3正則化矩陣識別時波動較大，采用L2正則化矩陣識別精度很高，這也說明無論是由彎矩響應、加速度響應及兩者組合響應識別移動荷載時，L2均是最優(yōu)正則化矩陣。數(shù)值仿真結果表明，L1正則化矩陣效果較差，L2和L3正則化矩陣效果較好，其中L2正則化矩陣效果最好。

圖4 10%噪聲時TDM和TGSVD由加速度響應識別結果比較(1/4和1/2跨長的2個加速度響應)Fig.4 Comparison on identified results from acceleration responses by TDM and TGSVD when the noise is 10%

圖5 10%噪聲時TDM和TGSVD由彎矩和加速度組合響應識別結果比較(1/4跨長的1個彎矩響應和1/4跨長的1個加速度響應)Fig.5 Comparison on identified results from bending moment and acceleration responses by TDM and TGSVD when the noise is 10%

3 結 論

1) TGSVD識別誤差受噪聲干擾影響很小，具有良好的魯棒性，適宜于噪聲干擾情況下現(xiàn)場移動荷載識別。

2) TGSVD各種工況下識別精度均很高，識別結果受響應類型、響應數(shù)量及其組合情況影響很小，有利于測點較少、響應類型單一環(huán)境下現(xiàn)場移動荷載識別。

3) 通過3種正則化矩陣識別精度比較，L2和L3正則化矩陣效果較好，其中L2正則化矩陣抗噪性強、識別精度高且適用于各種響應組合工況，為最優(yōu)正則化矩陣，在現(xiàn)場移動荷載識別時，建議TGSVD優(yōu)先選用L2正則化矩陣。

[1] 李忠獻, 陳鋒. 簡支梁橋與多跨連續(xù)梁橋上移動荷載的識別與參數(shù)分析[J]. 工程力學, 2006, 23(12): 91-99.

Li Zhongxian, Chen Feng. Identification and parametric analysis of moving loads on simply supported and multi-span continuous bridges[J]. Engineering Mechanics, 2006, 23(12): 91-99. (in Chinese)

[2] 袁向榮. 移動荷載識別的響應曲線滑動擬合法[J]. 振動、測試與診斷, 2007, 27(4): 320-323.

Yuan Xiangrong. Moving fitting method in moving force identification[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2007, 27(4): 320-323. (in Chinese)

[3] Law S S, Chan T H T. Regularization in moving force identification[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2001, 127(2): 136-148.

[4] Law S S, Chan T H T, Zeng Q H. Moving force identification: a time domain method[J]. Journal of Sound and Vibration, 1997, 201(1): 1-22.

[5] Law S S, Chan T H T, Zeng Q H. Moving force identification: a frequency-time domain method[J]. Journal of Dynamic System, Measure Control, 1999,121: 394-401.

[6] 卜建清, 羅韶湘, 朱信群. 基于廣義正交函數(shù)和正則化的移動荷載識別法[J]. 振動、測試與診斷, 2005, 25(1): 36-39.

Bu Jianqing, Luo Shaoxiang, Zhu Xinqun. Moving loads identification based on generalized orthogonal function and regularization technique[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2005, 25(1): 36-39.(in Chinese)

[7] 尤瓊, 史治宇. 基于區(qū)間B樣條小波有限元的移動荷載識別[J]. 工程力學, 2011, 28(5): 35-40.

You Qiong, Shi Zhiyu. Moving force identification based on B-spline wavelet on the interval[J]. Engineering Mechanics, 2011, 28(5): 35-40. (in Chinese)

[8] 余嶺, 陳震. 橋梁移動荷載識別的不適定性及其試驗研究[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(12): 6-9.

Yu Ling, Chen Zhen. Experimental study on ill-conditioning problem in identification of moving vehicle loads on bridges[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(12): 6-9. (in Chinese)

[9] 陳鋒,李忠獻. 梁橋上移動荷載識別中的測點優(yōu)化[J]. 振動、測試與診斷, 2009, 29(2): 218-222.

Chen Feng, Li Zhongxian. Sensor placement optimization for moving load identification on girder bridges[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2009, 29(2): 218-222. (in Chinese)

[10]張青霞, 段忠東, Lukasz J, 等. 基于形函數(shù)方法快速識別結構動態(tài)荷載的試驗驗證[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(9): 98-102.

Zhang Qingxia, Duan Zhongdong, Lukasz J, et al. Experimental validation of a fast dynamic load identification method based on load shape function[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(9): 98-102.(in Chinese)

[11] 王蕾, 侯吉林, 歐進萍. 基于荷載形函數(shù)的大跨橋梁結構移動荷載識別[J]. 計算力學學報, 2012, 29(2): 153-158.

Wang Lei, Hou Jilin, Ou Jinping. Moving force identification based on load shape function for a long-span bridge structure[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2012, 29(2): 153-158. (in Chinese)

[12] 夏樟華, 宗周紅, 李嘉維, 等. 基于健康監(jiān)測系統(tǒng)的大跨度連續(xù)剛構橋移動荷載識別[J]. 中國公路學報, 2012, 25(5): 95-103.

Xia Zhanghua, Zong Zhouhong, Li Jiawei, et al. Moving load identification of long span continuous rigid frame bridges based on health monitoring system[J]. China Journal of Highway and Transport, 2012, 25(5): 95-103. (in Chinese)

[13] 余嶺, Chan T H T. 橋梁時變移動車載的間接識別[J]. 振動工程學報, 2005, 18(1): 99-102.

Yu Ling, Chan T H T. Indirect identification of time-varying moving vehicle loads on bridges[J]. Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(1): 99-102. (in Chinese)

[14] Hansen P C. Regularization, GSVD and truncated GSVD[J]. BIT,1989,29: 491-504.

[15] 陳震, 余嶺. 基于截斷GSVD方法的橋梁移動荷載識別, 振動與沖擊[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(10): 97-100.

Chen Zhen, Yu Ling. Identification of dynamic axle Loads on bridge based on truncated generalized singular value decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(10): 97-100. (in Chinese)

*國家自然科學基金資助項目(51278226)；河南省教育廳科學技術研究重點資助項目(14B560018)；華北水利水電大學青年科技創(chuàng)新人才資助項目(70473)

2013-06-25；

2013-08-08

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.004

O327； TU311; TH113

陳震，男，1981年2月生，博士、副教授。主要研究方向為移動荷載動態(tài)識別、結構破壞數(shù)值仿真。曾發(fā)表《橋梁移動荷載識別的不適定性及其試驗研究》(《振動與沖擊》2007年第12期)等論文。 E-mail: yuchenfish@163.com 通信作者簡介：余嶺，男，1963年5月生，博士、教授、博士生導師。主要研究方向為結構健康監(jiān)測、結構損傷與荷載協(xié)同識別。 E-mail：lyu1997@163．com