李新三，汪立新，劉國輝，閆循良，王明建，丁邦平

（1. 第二炮兵工程大學 三系，西安 710025；2. 第二炮兵工程大學 士官學院，青州 262500）

一種帶有末端彈體姿態(tài)角約束的非線性制導律

李新三1，汪立新1，劉國輝2，閆循良1，王明建2，丁邦平2

（1. 第二炮兵工程大學 三系，西安 710025；2. 第二炮兵工程大學 士官學院，青州 262500）

針對帶有末端多約束的三維非線性制導問題，設計了一種通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃制導算法。該制導算法通過向后迭代求解權矩陣微分方程對控制量進行更新，將動態(tài)優(yōu)化問題轉化為靜態(tài)優(yōu)化問題，計算效率得以提高。闡述了通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃制導算法的基本原理，詳細給出了基于通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃算法的制導律設計過程。所設計的制導律滿足末端法向加速度約束，因此，間接滿足末端彈體姿態(tài)角約束。仿真時考慮目標的機動方式和落角約束，仿真結果表明，末端位移偏差小于0.5 m，末端落角可控制在0.01°范圍內，末端法向加速度小于0.01 m/s2，該制導律能夠很好地滿足末端位移、落角和法向加速度約束。

通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃；制導律；落角約束；法向加速度約束；彈體姿態(tài)角約束

目前，人們越來越關注帶有末端落角約束的制導律技術研究。以一定的末端落角對目標進行直接撞擊可以增強彈頭毀滅效果。例如，從上部對掩體內的目標進行攻擊可以輕易擊穿多層防御結構，反坦克武器從上部更容易摧毀敵方坦克，對城市目標以特定的落角進行攻擊顯得越來越有必要。此外，采用帶有末端落角約束的制導律可以提高導彈的突防能力。因此，帶有末端落角約束的制導律研究越來越引起各國學者的關注。

帶有末端落角約束的制導律研究最早由Kim和Grider[1]提出，Kim和Grider采用最優(yōu)控制理論對角度和位移偏差進行最小化，對地面勻速運動目標進行跟蹤攻擊。Lee等人[2]將一種帶落角約束的最優(yōu)控制律應用于目標機動的情形。Kim和Lee[3]在比例導引律的基礎上加了一個時變偏置項，此偏置項用來滿足末端攻擊角度約束的要求，不過這種制導律局限于目標是固定的情況。近幾年，Padhi和Oza[4]提出了一種模型預測靜態(tài)規(guī)劃（MPSP）制導算法，實現(xiàn)在三維空間內對地面靜止目標或勻速運動目標進行攻擊，滿足末端速度傾角和偏角約束。此外，還有許多其他學者對帶有末端落角約束的制導律進行了系統(tǒng)研究[5-10]。

以上研究均是對導彈飛行速度方向進行約束控制，并沒有對彈體姿態(tài)角進行約束控制。對目標進行攻擊時往往希望命中目標時的姿態(tài)最佳，以使戰(zhàn)斗部發(fā)揮最大效能，因而研究帶有末端彈體姿態(tài)角約束的制導方法非常有意義。Ilan Rusnak等人[11]基于控制制導一體化理論實現(xiàn)對彈體末端姿態(tài)角進行直接控制，而本文提出了一種在制導體系下對彈體末端姿態(tài)角進行間接約束的制導方法。通過對末端法向過載進行約束，使之趨于零，從而使得導彈的攻角和側滑角趨于零。此時導彈的速度傾角和偏角和彈體末端姿態(tài)角是相等的，即通過對導彈末端速度傾角和法向加速度同時進行約束，實現(xiàn)對彈體末端姿態(tài)角的約束。

借鑒MPSP[12-13]方法思想，本文給出一種通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃算法（G-MPSP）[14]用于快速求解具有末端約束的非線性制導問題，將動態(tài)規(guī)劃問題轉化為靜態(tài)規(guī)劃問題，允許不經過離散化近似而對連續(xù)時間系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題進行簡化。該制導算法間接滿足彈體姿態(tài)角約束。仿真結果表明，該制導方法能夠很好地滿足制導要求。

1 G-MPSP制導算法推導

對于一般形式的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和輸出方程如下：

式中：X∈?n為狀態(tài)量，U∈?m為控制量，Y∈?p為輸出量。G-MPSP算法需要選擇初始控制量，通過對非線性系統(tǒng)進行優(yōu)化以改進當前的控制量U(t)，使得末端時刻tf的輸出量Y(tf)→Yd(tf)，Yd(tf)為期望的輸出量。

末端時刻tf對應的輸出量偏差可表示為：

通過對控制量進行更新使得δY(X(tf))→0。下面詳細介紹G-MPSP算法推導過程。

首先，式(1)兩邊同時乘以W(t)，得：

式中：權矩陣W(t)∈?p×n，W(t)的作用是將系統(tǒng)狀態(tài)方程映射到輸出空間。

式(4)從t0到tf積分，得：

將Y(X(tf))加到式(5)左右兩邊，得：

對式(6)最后一項進行分步積分，得：

將式(7)代入式(6)，得：

對式(8)左右兩邊進行變分運算，得：

通過選擇權矩陣W(t)使式(9)中與δX(t)相關的項為零，得到關于W(t)的微分方程和邊界條件：

在t∈[tf,t0]范圍內反向積分式(10)可對W(t)進行求解，積分初始條件見式(11)。式(10)中W(t)的求解類似于有限時間線性二次調節(jié)器問題中黎卡提方程的求解，不同于調節(jié)器問題，權矩陣W(t)與性能函數的選擇無關。

由于初始條件是確定的，因此令式(9)中δX(t0)=0。將式(10)代入式(9)中，得到簡化后的表達式：

其中，

式(12)中，Bs(t)可看作控制量偏差δU(t)和輸出量偏差δY(X(tf))之間的靈敏矩陣，即式(12)建立了末端時刻tf對應的輸出量偏差和t∈[t0,tf)時間歷程內的控制量偏差之間的聯(lián)系。

考慮如下形式的性能指標：

式中：Up(t)代表更新前的控制量，δU(t)為更新后控制量與更新前控制量偏差。

以上的推導將動態(tài)優(yōu)化問題的求解轉換為滿足末端約束式(12)和性能指標式(14)的靜態(tài)優(yōu)化問題。因此，考慮到末端狀態(tài)約束，式(14)表示的性能指標函數可轉換為：

式中：λ∈?p為靜態(tài)拉格朗日乘子。對式(15)進行變分運算，得到以下方程：

由式(16)得：

將式(18)代入式(17)，得：

其中，

當Aλ非奇異時，由式(19)得：

拉格朗日乘子λ是一個靜態(tài)變量，可由式(22)計算得到。利用最優(yōu)控制理論求解時變協(xié)態(tài)變量是個很復雜的問題，但是本文所采用的G-MPSP算法完全避免了這個問題。

將式(22)代入式(18)，得：

由式(23)可得到更新后的控制量：

G-MPSP算法將動態(tài)優(yōu)化問題轉化為靜態(tài)優(yōu)化問題進行求解，靜態(tài)拉格朗日乘子通過一個顯式表達式計算，這種處理使優(yōu)化問題大大簡化。

2 G-MPSP制導律設計

導彈與目標在三維平面內運動如圖1所示，Vm、γm和ψm分別為導彈速度、彈道傾角和彈道偏角，(xm,ym,zm)為導彈位移，az和ay為測量加速度。

要求導彈精確擊中目標，并且滿足如下約束：彈道偏角ψm(tf)→ψmf，彈道傾角γm(tf)→γmf，法向過載az(tf)→0，ay(tf)→0。并且在飛行過程中法向過載最小。

圖1 導彈目標運動示意圖Fig.1 Engagement geometry of missile and target

X=(Vm,γm,ψm,xm,ym,zm,az,ay)為導彈狀態(tài)量，取指令加速度U=(azc,ayc)為控制量。對狀態(tài)量和控制量進行歸一化處理，得歸一化后的狀態(tài)方程：

式中：帶下標n的量表示歸一化后的變量，帶有*號上標的量代表歸一化參考量，Tm為推力，Dm為阻力，τ為導彈自動駕駛儀時間延遲參數。歸一化后的狀態(tài)方程可表示成：

選擇如下輸出量作為末端狀態(tài)約束：

式中：末端輸出量Yn中的元素都經過歸一化處理。

式(25)對狀態(tài)量Xn微分，得：

式(25)對控制量Un微分，得：

式(27)對狀態(tài)量Xn(tf)微分，得：

G-MPSP算法執(zhí)行時，通過通用顯式制導(Generalized Explicit Guidance)對初始控制量進行猜測，下文中通用顯式制導簡稱GE制導。文獻[14]給出的慣性系下GE制導指令如下：

式中：k1=(n+2)(n +3)，k2=-(n+1)(n+2)，n為正整數；Xf和Vf為導彈期望的末端位置和速度，Xm和Vm為導彈飛行時的位置和速度。式(31)中的第一項類似于傳統(tǒng)的比例導引，第二項可以對末端速度進行約束。aI(t)經過坐標轉換可得到彈道坐標系下的法向過載指令U=(azc,ayc)[14]。

G-MPSP制導律設計流程如下：

① 選擇初始控制量。本文通過GE對初始控制量進行猜測，這一步將給出導彈的飛行時間tf。

② 通過對導彈和目標末端時刻tf的狀態(tài)預測，求輸出量偏差δY(tf)=Yd(tf)-Y(tf)。如果差值滿足設計要求，程序結束；如果不滿足要求，執(zhí)行步驟③。

③ 對式(10)和(11)進行數值積分計算W(t)，本文采用四階龍格庫塔方法。

④ 由式(13)計算Bs(t)。

⑤ 由式(20)和式(21)計算Aλ和bλ。

⑥ 最后，由式(23)和式(24)計算δU(t)和U(t)，令Up(t)=U(t)，回到步驟①進行下一步迭代。

3 數值仿真

以某導彈對地面機動目標攻擊進行數值仿真。導彈質量：t≤6 s時，mm=165 kg；t＞6 s時，mm=150 kg。導彈推力：t≤6 s時，Tm=5880 N；t＞6 s時，Tm=0 N。導彈參考面積：Sm=0.0324 m2。阻力Dm計算參考文獻[14]。導彈初始速度為635 m/s，初始位置為(10000 m, 5000 m, 5000 m)，初始彈道傾角和彈道偏角為(0°, 170°)。目標速度為常值20 m/s，初始位置為(1000 m, 0 m)，初始航跡偏角為60°。歸一化速度、角度、位移和加速度分別取為600 m/s、50°、5000 m和9.81 m/s2。GE制導參數n=1，APN制導系數Ne=3，導彈自動駕駛儀時間延遲參數τ=0.2 s，仿真步長取為0.02 s。

3.1 不同目標機動方式數值仿真

本節(jié)研究目標以不同方式機動，基于G-MPSP制導算法的數值仿真。導彈末端時刻彈道傾角和偏角期望值為(-60°, 260°)。目標的運動模型參照文獻[14]，假設制導系統(tǒng)可以準確獲得目標的狀態(tài)信息，目標運動方式如下：

① 正弦加速度機動，ayT=2gsin(ωt)，機動頻率ω=1 rad/s；

② 常值加速度機動，ayT=g；

③ 直線運動，ayT=0，ψT為常值。

給定G-MPSP算法迭代終止條件：末端位置偏差小于1 m，末端落角偏差小于0.2°，末端法向加速度大小小于0.01 m/s2。由GE算法給定初始控制量。

仿真時，經過6次迭代可以滿足各種末端約束，末端位移偏差均小于0.5 m。圖2和圖3分別為目標以不同的方式機動時導彈彈道傾角γm和彈道偏角ψm的變化曲線，彈道傾角和偏角均可控制在0.01°范圍內。圖4和圖5分別為導彈法向過載az和ay的變化曲線，末端時刻法向加速度az和ay的值均小于0.01 m/s2。導彈擊中目標前法向過載快速趨于零，但變化的范圍并不大，并沒有出現(xiàn)劇烈突變。末端時刻法向過載趨于零表明導彈的彈道傾角和彈道偏角與導彈在縱向平面和側向平面內的姿態(tài)角近似相等，即間接滿足末端彈體姿態(tài)角約束。另外，本文所采用的制導算法與單純GE[14]制導相比，攻擊機動目標時制導精度大幅度提高，傳統(tǒng)的PN制導律[13]攻擊機動目標時末端時刻法向過載會發(fā)散。

圖2 目標機動方式不同彈道傾角變化曲線Fig.2 Time histories of γmfor various target maneuvers

圖3 目標機動方式不同彈道偏角變化曲線Fig.3 Time histories of ψmfor various target maneuvers

圖4 目標機動方式不同法向過載az變化曲線Fig.4 Time histories of azfor various target maneuvers

圖5 目標機動方式不同法向過載ay變化曲線Fig.5 Time histories of ayfor various target maneuvers

3.2 不同末端落角約束數值仿真

本節(jié)研究G-MPSP算法在不同落角約束條件下的數值仿真。導彈末端時刻彈道傾角期望值為(-50°, -70°, -80°)，彈道偏角期望值為(220°, 240°, 250°)。目標作正弦機動，其它仿真條件參照3.1節(jié)。

圖6 不同落角約束彈道傾角變化曲線Fig.6 Time histories of γmwith impact angle constraints

圖7 不同落角約束彈道偏角變化曲線Fig.7 Time histories of ψmwith impact angle constraints

圖8 不同落角約束法向過載az變化曲線Fig.8 Time histories of azwith impact angle constraints

迭代終止條件參照3.1節(jié)。仿真時，經過6次迭代可以滿足各種末端約束。末端位移偏差均小于0.5 m。圖6和圖7分別為末端落角約束不同時導彈彈道傾角γm和偏角ψm的變化曲線，彈道傾角和偏角的偏差均可控制在0.01°范圍內。圖8和圖9分別為導彈法向過載az和ay的變化曲線，末端時刻法向加速度az和ay的值均小于0.01 m/s2，末端時刻法向過載趨于零，即間接滿足末端彈體姿態(tài)角約束。但是，隨著末端落角約束的增大，法向過載在末端時刻的變化范圍隨著增大，這是由于大的末端落角約束需要比較大的法向過載對落角進行調節(jié)，而法向過載在末端時刻又必須滿足零值約束。

圖9 不同落角約束法向過載ay變化曲線Fig.9 Time histories of aywith impact angle constraints

4 結 論

本文針對帶有末端彈體姿態(tài)角約束的機動目標三維非線性制導問題，設計了一種新的通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃(G-MPSP)制導算法。通過對末端法向過載進行零值約束，間接地滿足了末端彈體姿態(tài)角約束。

仿真驗證了該算法的有效性。本文所給出的方法可以為工程領域帶有末端彈體姿態(tài)角約束的非線性制導問題研究提供參考。

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Nonlinear guidance law with terminal body angle constraints

LI Xin-san1, WANG Li-xin1, YAN Xun-liang1, LIU Guo-hui2, WANG Ming-jian2, DING Bang-ping2
(1. Department 3, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2. Petty Officer Academy, The Second Artillery Engineering University, Qingzhou 262500, China)

In view of 3D nonlinear guidance problems with terminal multi-constraints, a guidance algorithm based on predictive static programming of a generalized model is designed. A key feature of the technique is backward propagation of weighted matrix dynamics, which is used to update the controlhistory and transfer dynamic optimization into static one with high computational efficiency. The basic principle of the technique is given, and the design of the guidance law is presented. The designed guidance law satisfies the terminal lateral-acceleration constraints, and hence indirectly satisfies the terminal body angle constraints. Various maneuvering accelerations and impact angles of targets are considered in simulations, and the results show that final miss displacement is less than 0.5 m, terminal impact angle errors are less than 0.01°, and terminal lateral accelerations are less than 0.01m/s2, adequately meeting the constraints of terminal displacement, impact angle, and lateral acceleration.

generalized model predictive static programming; guidance law; impact angle constraints; lateral acceleration constraints; body angle constraints

V448

A

1005-6734(2015)02-0232-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.02.017

2014-11-07；

2015-02-10

國家自然科學基金（61203354）

李新三（1982—），男，博士研究生，從事導航制導與仿真技術研究。E-mail：xinsan_2006@163.com

聯(lián) 系 人：汪立新（1966—），男，教授，博士生導師。E-mail：wanglixin066@sina.cn