張 龍，崔乃剛，王小剛，白俞亮

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天工程系，哈爾濱 150001）

強跟蹤-容積卡爾曼濾波在彈道式再入目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用

張 龍，崔乃剛，王小剛，白俞亮

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天工程系，哈爾濱 150001）

對于具有一定機動能力的彈道式再入目標(biāo)跟蹤問題，穩(wěn)定性好、魯棒性強、收斂精度高的估計方法是保證跟蹤精度的關(guān)鍵。針對再入運動模型和測量體制的強非線性以及目標(biāo)機動引起的濾波精度下降問題，提出一種將強跟蹤濾波（STF）和基于三階球面-向徑容積規(guī)則的容積卡爾曼濾波（CKF）相結(jié)合的強跟蹤-容積卡爾曼濾波（STCKF）。通過將強跟蹤算法中的自適應(yīng)漸消因子引入到濾波時間更新和測量更新方程中，在線實時調(diào)整濾波增益矩陣，能有效避免模型失準(zhǔn)造成的濾波性能下降，使該算法兼具CKF濾波精度高和STF魯棒性強的優(yōu)點。通過數(shù)學(xué)仿真表明，改進后的STCKF可以實現(xiàn)對具有機動的彈道式再入目標(biāo)的高精度跟蹤，相對于CKF精度提高50%，并且具有更強的魯棒性和自適應(yīng)能力。

彈道式再入目標(biāo)跟蹤；容積卡爾曼濾波；自適應(yīng)漸消因子；非線性系統(tǒng)

彈道式再入目標(biāo)的跟蹤是攻防對抗體系中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，有效的跟蹤可以延長防御方的反應(yīng)時間和提高攔截能力。再入稠密大氣的彈道式目標(biāo)具有速度快、飛行時間短、運動環(huán)境復(fù)雜的特點，降低了再入目標(biāo)的跟蹤精度。同時目標(biāo)再入過程中為突防進行的機動未知，無法準(zhǔn)確建模，必然會造成在一段時間內(nèi)跟蹤模型失準(zhǔn)，進一步增加跟蹤的難度。因此，開發(fā)魯棒性強、穩(wěn)定性好、精度高的估計算法是解決該問題的關(guān)鍵[1]。

理論上，在先驗信息（如彈道系數(shù)、目標(biāo)機動大小和時間）充分的前提下，可以對再入運動模型準(zhǔn)確建模。但通常情況下，防御方無法獲取目標(biāo)彈道系數(shù)的真值，可將彈道系數(shù)作為狀態(tài)量進行聯(lián)合估計，彈道系數(shù)初值可借助一定的先驗知識結(jié)合已搜集到的情報數(shù)據(jù)庫來確定[2]。但是，目標(biāo)機動大小、時間和機動形式不能通過先驗信息獲取，因此無法建立準(zhǔn)確的目標(biāo)機動模型和應(yīng)用多模型跟蹤方法[3]。

由于目標(biāo)再入運動方程和雷達對目標(biāo)的測量方程均是待估狀態(tài)量的非線性方程，再入跟蹤系統(tǒng)呈現(xiàn)出較強的非線性特性。傳統(tǒng)的解決非線性實時跟蹤濾波問題的方法是擴展卡爾曼濾波（EKF）。該方法采用泰勒級數(shù)展開近似非線性函數(shù)，引入了線性化誤差，對于非線性強的系統(tǒng)精度較低[4]。不敏卡爾曼濾波（UKF）利用UT變換計算采樣點，直接對狀態(tài)的概率分布近似[5]，可得到比EKF高的精度。但對于高維（維數(shù)大于3）非線性系統(tǒng)，該算法在濾波過程中可能出現(xiàn)協(xié)方差非正定情況，導(dǎo)致濾波數(shù)值不穩(wěn)定甚至發(fā)散，同時易出現(xiàn)非局部效應(yīng)，嚴(yán)重影響濾波精度[6]。粒子濾波（PF）基于Monte Carlo采樣策略，通過大量的隨機粒子逼近概率分布函數(shù)，可獲得較高的濾波精度。但是由于粒子數(shù)較多，造成計算量較大，且易出現(xiàn)粒子退化問題[7]。容積卡爾曼濾波（CKF）采用三階球面-相徑容積規(guī)則來近似經(jīng)非線性函數(shù)傳遞的后驗均值和協(xié)方差[8]。與UKF相比，CKF算法中各容積點的權(quán)值均為正，不會出現(xiàn)協(xié)方差非正定的情況，且數(shù)值穩(wěn)定性好，同時計算量遠小于PF算法，適用于再入目標(biāo)跟蹤問題。

文獻[9-11]對幾種彈道式再入目標(biāo)的跟蹤濾波方法作了對比分析。文獻[9]在建立二維非線性目標(biāo)再入模型中，將彈道系數(shù)作為一個已知的先驗信息來考慮，并對比了EKF、UKF、PF、CADET四種濾波方法。Ming Xin[12]針對高超聲速再入飛行器的狀態(tài)估計問題，在Bayesian濾波框架的基礎(chǔ)上，采用任意自由度容積規(guī)則計算采樣點積分，推導(dǎo)了五階球面-相徑容積規(guī)則的ICKF模型，并與EKF、UKF、三階CKF進行對比，獲得了更高的估計精度，但是由于采用更高自由度的積分規(guī)則，相對于三階CKF計算量增大了幾乎n（狀態(tài)維數(shù)）倍。文獻[13]基于三階球面-相徑積分規(guī)則，結(jié)合強跟蹤濾波STF算法，推導(dǎo)出強跟蹤容積濾波算法，研究了初值不確定并且噪聲方差不準(zhǔn)確的GPS/INS組合導(dǎo)航問題，有效提高了跟蹤精度和系統(tǒng)的魯棒性。文獻[14]為了解決無源傳感器機動目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)非線性較強、傳統(tǒng)的跟蹤濾波方法不穩(wěn)定容易發(fā)散的缺陷，在Quadrature 卡爾曼濾波（QKF）基礎(chǔ)上提出了一種帶漸消因子的 QKF（ FQKF）算法。該算法通過引入時變漸消因子來實時調(diào)整誤差協(xié)方差陣，對狀態(tài)傳播積分點和量測傳播積分點進行漸消，達到實時調(diào)整濾波器增益矩陣的目的，具有STF的優(yōu)良性能，能夠克服QKF算法的缺陷，對于無源傳感器機動目標(biāo)跟蹤中系統(tǒng)的突變狀態(tài)具有較強的跟蹤能力，但是基于Gauss-Hermite積分規(guī)則對于非線性系統(tǒng)的積分點個數(shù)呈指數(shù)增長，易造成維數(shù)災(zāi)難。

本文針對彈道系數(shù)未知、帶有一定機動的彈道式再入目標(biāo)跟蹤問題，建立再入目標(biāo)運動模型和雷達測量模型，將彈道系統(tǒng)作為狀態(tài)量進行實時估計。建立非線性系統(tǒng)的STF算法，結(jié)合三階球面-相徑積分的CKF算法，設(shè)計了帶有自適應(yīng)漸消因子的強跟蹤容積卡爾曼濾波算法STCKF。仿真結(jié)果表明，針對彈道式再入目標(biāo)跟蹤問題，本文提出的改進CKF算法的濾波性能優(yōu)于EKF、CKF算法。

1 再入目標(biāo)運動模型和測量模型

1.1 再入目標(biāo)運動模型

彈道式目標(biāo)再入時，受地球引力和空氣動力作用?？紤]到彈道式目標(biāo)一般保持零度攻角再入，因此受到的空氣動力表現(xiàn)為大氣阻力，大氣阻力加速度方向與再入速度方向相反。為便于描述再入目標(biāo)相對地面雷達站的運動關(guān)系，在地面雷達站坐標(biāo)系下建立再入目標(biāo)的運動方程。定義雷達站坐標(biāo)系o-xyz的原點o位于雷達站，ox軸指向北方，oy軸垂直地面指向上方，oz軸指向東方，且與ox、oy軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。由于再入時間較短，可忽略地球自轉(zhuǎn)角速度的影響。對再入目標(biāo)建模如圖1所示，圖中ag、ad分別是引力加速度和氣動力加速度。

假設(shè)地球為標(biāo)準(zhǔn)球體，目標(biāo)的位置和速度分量為[x,y,z,vx,vy,vz]T，則彈道式再入目標(biāo)的運動方程如下：

式中：μ = 3.986×1014m3/s2為地球重力常數(shù)，Re=為目標(biāo)的地心距，Re=6371.11 km為地球平均半徑，為目標(biāo)的再入速度，ρ為大氣密度，CD為氣動阻力系數(shù)，A為有效面積，m為目標(biāo)質(zhì)量。定義彈道系數(shù)β，使

圖1 再入目標(biāo)相對雷達坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Ballistic reentry target in radar frame

由于式(2)中三個參數(shù)均事先無法獲取，在濾波過程中需要對彈道系數(shù)建模。文獻[15]對彈道系數(shù)模型進行了系統(tǒng)的總結(jié)，不同的建模方法對非線性次優(yōu)濾波算法的性能有直接影響。為了保證彈道系數(shù)的非負性，防止濾波器發(fā)散，本文選用指數(shù)模型，即

式中：0β為彈道系數(shù)初值，具體數(shù)值可根據(jù)經(jīng)驗選定。將α的變化率用零均值高斯白噪聲αω表示，即

綜上，選取目標(biāo)的位置、速度和彈道系數(shù)參數(shù)α作為狀態(tài)量x=[x,y,z,vx,vy,vz,α]T，建立離散的狀態(tài)方程：

式中：ΔT為仿真步長；wk為系統(tǒng)噪聲向量，滿足N(wk;0,Qk)的統(tǒng)計特性。

注意到，式(1)和(5)中均沒有考慮目標(biāo)機動加速度aj，因此當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機動時，易出現(xiàn)模型失準(zhǔn)。

1.2 測量模型

采用地面雷達對再入目標(biāo)進行跟蹤。雷達對目標(biāo)的觀測量是目標(biāo)的斜距r、高低角η和方位角ε，即z=[r,η,ε]T。假設(shè)k時刻再入目標(biāo)的位置坐標(biāo)是[xk,yk,zk]T，根據(jù)觀測量定義建立非線性測量方程：

式中：vk為雷達測量噪聲向量，滿足N(vk;0,R)的統(tǒng)計特性，且vk與wk、xk不相關(guān)。

2 STCKF算法模型

根據(jù)方程(5)和(6)建立的離散非線性系統(tǒng)有如下形式：

式中：xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，zk∈Rp為測量向量，n=5、p=3分別是狀態(tài)向量和測量向量的維數(shù)，f(·)、h(·)分別是非線性函數(shù)，易看出系統(tǒng)的非線性程度較高。

由于EKF算法經(jīng)過線性化處理存在一階截斷誤差，而UKF算法在維數(shù)較高時中心采樣點的權(quán)值小于0，易出現(xiàn)濾波過程中協(xié)方差非正定的情況，導(dǎo)致濾波數(shù)值不穩(wěn)定，基于PF的非線性濾波算法采樣點多、計算量大。為了滿足工程實踐中快速、高精度跟蹤的需求，本文采用容積卡爾曼濾波算法，并針對目標(biāo)可能存在的機動情況對算法進行改進，提出一種改進的STCKF算法。

2.1 容積卡爾曼濾波CKF算法

CKF算法由學(xué)者Arasararnam和Haykin[8]提出，他們在高斯-貝葉斯濾波框架基礎(chǔ)上，根據(jù)狀態(tài)的先驗均值和協(xié)方差，采用三階球面-相徑積分規(guī)則選取容積點，再將這些容積點經(jīng)非線性函數(shù)傳遞得到新的容積點，通過容積點的加權(quán)處理來近似狀態(tài)后驗均值和協(xié)方差。

針對非線性系統(tǒng)(7)，假設(shè)k時刻的狀態(tài)xk的統(tǒng)計特性xk～N (xk;,Pk)，CKF具體算法如下：

1）計算容積點xki。

式中：m=2n；Sk滿足Pk的Cholesky分解，即表示對n維單位向量e=[1,0, … ,0]T的元素改變元素符號和進行全排列所產(chǎn)生的點集，

[1]i表示完整全對稱點集的第i個點。

4）估計k+1時刻的狀態(tài)誤差協(xié)方差陣Pk+1/k。

9）計算k+1時刻的濾波增益矩陣Kk+1。

11）估計k+1時刻的狀態(tài)誤差協(xié)方差陣Pk+1。

2.2 非線性強跟蹤STF算法

強跟蹤濾波算法是建立在輸出殘差序列正交性原理之上的卡爾曼濾波器[16]。其基本原理是：通過對狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣引入漸消因子λ，在線實時調(diào)整增益矩陣K，強迫輸出的殘差序列正交，這樣就能將殘差序列的有效信息完全提取出來[17]。因此，STF算法具有針對不準(zhǔn)確模型系統(tǒng)較強的魯棒性。

傳統(tǒng)的STF算法是基于EKF算法建立，適用于非線性較弱的系統(tǒng)，并且計算漸消因子所需的一些矩陣變量無法在CKF算法中直接得到，因此需要建立非線性系統(tǒng)下的STF算法。非線性STF算法核心結(jié)構(gòu)仍為

其漸消因子λk+1的計算方法如下：

2.3 改進的CKF算法

CKF算法采用三階球面-相徑積分規(guī)則，對于模型精確系統(tǒng)的狀態(tài)估計精度可達到34階，但是對于系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確或系統(tǒng)狀態(tài)存在突變的情況，與其他非線性濾波算法類似，仍會產(chǎn)生較大的估計誤差。特別是目標(biāo)再入環(huán)境極為復(fù)雜且存在機動，系統(tǒng)模型無法做到十分精確，僅靠CKF算法不能保證滿意的跟蹤精度。為此，將CKF算法與STF算法結(jié)合，在CKF算法的框架上，將STF中的漸消因子引入到時間更新方程和測量更新方程之中，構(gòu)造改進的強跟蹤-容積卡爾曼濾波算法（STCKF）。具體算法如下：

式中：上標(biāo)（l）表示未加入漸消因子的情況。

4）根據(jù)xk+1未加入漸消因子的統(tǒng)計特性計算更新后的狀態(tài)容積點。

7）根據(jù)式(23)式(28)計算漸消因子λk+1，并計算一步預(yù)測狀態(tài)誤差方差陣Pk+1/k。

8）根據(jù)xk+1加入漸消因子λk+1的統(tǒng)計特性計算更新后的狀態(tài)容積點。

11）計算k+1時刻的濾波增益矩陣Kk+1。

13）估計k+1時刻的狀態(tài)誤差協(xié)方差陣Pk+1。

3 仿真分析

在Matlab7.9(R2009b)環(huán)境下建立地面雷達站對彈道式再入目標(biāo)的跟蹤系統(tǒng)，通過蒙特卡洛打靶驗證本文提出的改進STCKF算法的有效性和優(yōu)越性。首先基于本文建立的再入目標(biāo)運動模型，在雷達站坐標(biāo)系下生成再入目標(biāo)軌跡。然后根據(jù)測量模型生成雷達測量信息用于濾波。再入目標(biāo)初始狀態(tài)為 x0= [-230.95 km, 130.55 km, -1090.48 km, -0.015km/s, 0.75 km/s, 5.75 km/s]T，彈道系數(shù)為常值β=5000 kg/m2。目標(biāo)在t=100100.5 s進行機動，機動加速度大小為a0= [1,5, 0.5]Tm/s2。觀測雷達的測量數(shù)據(jù)率為10 Hz，測量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差見表1。

設(shè)定蒙特卡洛打靶次數(shù)為200，濾波初值為X0=[-230.15 km, 131.35 km, -1091.28 km, -0.055 km/s, 0.71 km/s, 5.71 km/s, 7000 kg/m2]T。基于上面給出的彈道式再入目標(biāo)運動模型，分別采用EKF、CKF、STCKF進行再入跟蹤濾波，根據(jù)均方根誤差對比三種算法的性能。均方根誤差RMSE定義如下：

表1 雷達測量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Radar measurement standard deviation

圖3 x軸方向位置估計的均方根誤差Fig.3 RMSE of position estimation in x axis

圖4 y軸方向位置估計的均方根誤差Fig.4 RMSE of position estimation in y axis

圖5 z軸方向位置估計的均方根誤差Fig.5 RMSE of position estimation in z axis

圖6 目標(biāo)位置估計的均方根誤差Fig.6 RMSE of target position estimation

圖7 x軸方向速度估計的均方根誤差Fig.7 RMSE of velocity estimation in x axis

圖8 y軸方向速度估計的均方根誤差Fig.8 RMSE of velocity estimation in y axis

圖9 z軸方向速度估計的均方根誤差Fig.9 RMSE of velocity estimation in z axis

圖10 目標(biāo)速度估計的均方根誤差Fig.10 RMSE of target velocity estimation

圖2為雷達坐標(biāo)系下目標(biāo)的再入軌跡以及再入點和落點位置。圖3圖10對比了STCKF與EKF、CKF對目標(biāo)位置和速度估計的均方根誤差。由仿真結(jié)果可知，在t=100 s前，三種濾波方法對目標(biāo)狀態(tài)的估計精度相差不大。當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機動后，由于模型失準(zhǔn)造成濾波誤差迅速增大，而STCKF相對CKF和EKF的收斂速度更快且收斂后的誤差最小。這是因為再入模型的非線性程度較高，通過一階泰勒展開的EKF算法忽略了高階項的影響，且無法根據(jù)殘差的變化自適應(yīng)調(diào)整增益矩陣，因此引起較大的誤差。CKF算法采用三階球面-相徑積分規(guī)則來近似非線性函數(shù)的概率分布，適于非線性強的系統(tǒng)，因此造成的誤差較小。而ST-CKF算法結(jié)合了CKF算法的高精度特點和STF算法魯棒性強的特點，根據(jù)機動模型失準(zhǔn)而引起的殘差計算漸消因子，并通過漸消因子在線自適應(yīng)調(diào)整增益矩陣強迫殘差正交，使估計狀態(tài)更符合真實狀態(tài)的變化，對目標(biāo)機動過程具有較強的魯棒性和穩(wěn)定性，所以濾波精度相對CKF有所提高。圖11表明了STCKF對彈道系數(shù)的估計精度高于EKF和CKF，并且收斂速度更快。若假定彈道系數(shù)估計誤差在300 kg/m2以內(nèi)認為其收斂，則STCKF可在70 km處收斂，CKF和EKF分別在53 km和50 km處收斂。由于彈道系數(shù)是再入目標(biāo)識別的重要參數(shù)，因此仿真結(jié)果說明STCKF可在較高高度區(qū)分再入目標(biāo)，為防御系統(tǒng)贏取寶貴時間。

圖11 目標(biāo)彈道系數(shù)估計的均方根誤差Fig.11 RMSE of trajectory coefficient estimation

表2 最終收斂精度對比表Tab.2 Standard deviation of radar measurement

表2對比了三種算法對目標(biāo)位置、速度和彈道系數(shù)的收斂精度。易知，STCKF的估計精度最高，相對于CKF提高了50%以上，更加直觀地驗證了本文基于自適應(yīng)漸消因子的改進CKF算法對于存在機動的再入目標(biāo)可以實現(xiàn)更高精度的跟蹤。

表3 不同濾波方法使用點的數(shù)量對比表Tab.3 Number of points used in different filters

基于點遞推的非線性高斯濾波算法的計算復(fù)雜度是與使用點的數(shù)量成正比的。從表3可以看出，STCKF與CKF均使用14個點，因此計算復(fù)雜度基本一致。

通過上述分析可以看出，針對彈道系數(shù)未知、帶有機動的彈道式目標(biāo)再入跟蹤系統(tǒng)，基于CKF算法提出的帶自適應(yīng)漸消因子的STCKF算法，在沒有明顯增加計算復(fù)雜度的同時可以更加精確地估計目標(biāo)狀態(tài)，并且收斂速度快、魯棒性高、穩(wěn)定性好，較CKF和EKF具有明顯的優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文針對彈道系數(shù)未知且?guī)в袡C動的再入目標(biāo)跟蹤問題，建立了將彈道系數(shù)作為待估狀態(tài)量的再入運動方程和雷達測量方程；針對系統(tǒng)強非線性特點，在詳細推導(dǎo)CKF算法和非線性STF算法基礎(chǔ)上，將兩者有機結(jié)合設(shè)計出一種適于系統(tǒng)模型失準(zhǔn)或狀態(tài)量突變的帶有自適應(yīng)漸消因子的STCKF算法，給出了STCKF算法的具體實現(xiàn)步驟，并應(yīng)用于再入目標(biāo)跟蹤問題，對比分析了多種非線性濾波方法。

通過本文的研究可以得到：

1）彈道式目標(biāo)再入時飛行環(huán)境復(fù)雜，在彈道系數(shù)未知的情況下，運動模型和測量模型具有較強的非線性。同時，目標(biāo)機動模型無法準(zhǔn)確建立、系統(tǒng)模型失準(zhǔn)降低了跟蹤精度，甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散。為了提高再入目標(biāo)的跟蹤精度，研究高精度、強魯棒性的非線性濾波算法具有重要意義。

2）本文提出的改進容積卡爾曼濾波算法STCKF通過引入自適應(yīng)漸消因子，根據(jù)殘差的變化實時調(diào)整濾波器的增益矩陣。仿真結(jié)果表明STCKF遺傳了STF強魯棒性的特點，顯著提高了傳統(tǒng)CKF在狀態(tài)發(fā)生突變情況下的濾波精度，對含有機動的再入目標(biāo)跟蹤問題具有較強的魯棒性和自適應(yīng)能力。算法可靠性高，穩(wěn)定性好，計算量小，適于實際工程應(yīng)用。

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Strong tracking-cubature Kalman filter for tracking ballistic reentry target

ZHANG Long, CUI Nai-gang, WANG Xiao-gang, BAI Yu-liang
(Department of Astronautics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In tracking a maneuverable ballistic reentry target, a proper estimation method with high stability, strong robustness and convergence is key to the tracking accuracy. Based on third-degree spherical-radial cubature rule and by combining strong tracking filtering(STF) and cubature Kalman filtering(CKF) , a strong tracking-cubature Kalman filtering(STCKF) was proposed for the highly nonlinear motion of reentry target and measurement system to overcome the precision decreasing caused by target maneuvering. The adaptive fading factor from STF was added to the equations of time update and measurement update, thus the filtering gain matrix could be adaptively adjusted on-line, and the performance decreasing resulted by model uncertainty could be effectively prevented. In this way, the novel filtering algorithm has such advantages as STF’s strong robustness and CKF’s high accuracy. The simulation results show that the STCKF can obtain improved performance in tracking a ballistic reentry target with maneuvering. The comparison with CKF shows that STCKF can improve the estimation precision of target state by 50% with better robustness and adaptability.

ballistic reentry target tracking; cubature Kalman filter; adaptive fading factor; nonlinear system

V557

A

1005-6734(2015)02-0211-08

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.02.014

2014-10-27；

2015-01-13

國家自然科學(xué)基金（61304236）

張龍（1987—），男，博士研究生，從事目標(biāo)跟蹤、飛行器制導(dǎo)等研究。E-mail：zhanglong_hit@163.com

聯(lián) 系 人：崔乃剛（1965—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：cui_naigang@163.com