孟衛(wèi)鋒，袁愛紅，賈天龍，江一夫

（1. 航天時代電子公司第16研究所，西安 710100；2. 解放軍邊防學(xué)院司令部工作教研室，西安 710108）

高精度慣性平臺十六位置自標(biāo)定方案

孟衛(wèi)鋒1，袁愛紅1，賈天龍2，江一夫1

（1. 航天時代電子公司第16研究所，西安 710100；2. 解放軍邊防學(xué)院司令部工作教研室，西安 710108）

針對慣性平臺系統(tǒng)多位置自標(biāo)定的誤差系數(shù)個數(shù)還較少的現(xiàn)狀，提出了一種平臺十六位置自標(biāo)定方案。通過對慣性平臺系統(tǒng)慣性器件輸出誤差模型和慣性器件安裝誤差的詳細(xì)分析，推導(dǎo)出了包含51項(xiàng)誤差參數(shù)的平臺系統(tǒng)誤差模型。結(jié)合方程組有最小二乘解的理論，提出了適合平臺多位置自標(biāo)定系統(tǒng)的可觀測性分析方法，并以此為指導(dǎo)，提出了平臺多位置自標(biāo)定系統(tǒng)的優(yōu)化指標(biāo)。根據(jù)此指標(biāo)，結(jié)合平臺信息矩陣的特點(diǎn)，得到了一種最優(yōu)位置組合的數(shù)值搜索算法，并得到十六位置自標(biāo)定方案。仿真結(jié)果顯示，此十六位置自標(biāo)定方案可以較高精度的估計(jì)出平臺系統(tǒng)的全部51項(xiàng)誤差參數(shù)。研究結(jié)果表明，用盡可能少的位置來高精度的辨識出盡可能多的平臺誤差參數(shù)是可實(shí)現(xiàn)的。

慣性平臺；自標(biāo)定；最小二乘；最優(yōu)位置

制導(dǎo)工具誤差和方法誤差是影響導(dǎo)彈命中精度的主要因素，前者占主要成份。而慣性儀表的精度在很大程度上決定了慣性平臺系統(tǒng)的使用精度，因此在使用時必須進(jìn)行補(bǔ)償。對于高精度慣性平臺，對誤差進(jìn)行標(biāo)定并進(jìn)行補(bǔ)償就顯得更為重要[1]。目前，對慣性平臺系統(tǒng)誤差模型的研究多數(shù)停留在對陀螺儀和加速度計(jì)誤差系數(shù)的模型上，而對加速度計(jì)和陀螺儀的安裝誤差考慮的較少，而這些安裝誤差如果得不到補(bǔ)償，將會對慣性平臺系統(tǒng)的精度產(chǎn)生較大影響[2]。文獻(xiàn)[3]討論了一種可以標(biāo)定54項(xiàng)誤差系數(shù)的多位置自標(biāo)定方法，但未涉及加速度計(jì)和陀螺儀的安裝誤差。文獻(xiàn)[2][4-8]雖然給出了陀螺儀和加速度計(jì)安裝誤差的標(biāo)定方案，但未能標(biāo)定陀螺儀全部的二次項(xiàng)誤差系數(shù)和加速度計(jì)的二次誤差系數(shù)，也就是標(biāo)定的誤差系數(shù)不夠多。同時，位置的選擇是慣性平臺多位置自標(biāo)定的決定性因素，因?yàn)槲恢媒M合的選擇影響誤差系數(shù)標(biāo)定的個數(shù)和精度[2]。然而位置組合的選擇又是一個很困難的非線性優(yōu)化問題，研究位置選擇的還比較少，甚至是回避此問題，位置選擇主要依靠工程經(jīng)驗(yàn)[2]。論文[2]雖然給出了一種最優(yōu)多位置組合的實(shí)驗(yàn)方法，分析了位置選擇對自標(biāo)定精度的影響，但這種最優(yōu)只是在選用的指標(biāo)是使信息矩陣的行列式達(dá)到最大時才有效；對于最小二乘估計(jì)，選擇條件數(shù)最小作為優(yōu)化指標(biāo)更為合理。

本文首先從慣性平臺的結(jié)構(gòu)出發(fā)，推導(dǎo)出完整的慣性平臺系統(tǒng)誤差模型。在此基礎(chǔ)上分析了系統(tǒng)觀測矩陣和信息矩陣的特征，通過使觀測矩陣的條件數(shù)最小這一優(yōu)化指標(biāo)得出最佳位置組合選擇算法，并在此算法基礎(chǔ)上得出基于本論文誤差模型的最佳16位置。將此16位置應(yīng)用到平臺系統(tǒng)自標(biāo)定中，并對仿真結(jié)果做簡要分析。

1 慣性平臺結(jié)構(gòu)與平臺誤差模型

本文研究的慣性平臺由三個單自由度液浮陀螺儀、三個撓性擺性加速度計(jì)組成。三個陀螺和三個加速度計(jì)的敏感軸正交安裝，分別沿X、Y、Z方向。陀螺儀、加速度計(jì)在平臺上的安裝示意圖如圖1。

圖1 平臺組成圖Fig.1 Platform geometry

設(shè)陀螺儀i軸繞其o、s軸的安裝誤差為Δoi、Δsi，加速度計(jì)i軸繞其p、o軸的安裝誤差為θpi、θoi，i=x,y,z。

陀螺儀靜態(tài)誤差模型[10]：

式中：kg0是陀螺儀常值漂移，kg1i(i=1,2,3)是陀螺儀一次項(xiàng)誤差系數(shù)，kg2i(i=1,2,3,4)是陀螺儀二次項(xiàng)誤差系數(shù)；ai、ao和as分別表示陀螺儀輸入軸、輸出軸和自旋軸上的比力。

加速度計(jì)輸出誤差[10]：

式中：ka0是加速度計(jì)零偏，ka11是加速度計(jì)比例誤差系數(shù)，ka2i(i=1,2,3)是陀螺儀二次項(xiàng)誤差系數(shù)；ai、ao和ap分別表示陀螺儀輸入軸、輸出軸和自擺軸上的比力。

設(shè)陀螺儀 i 軸繞其o、s 軸的安裝誤差為Δoi、Δsi，加速度計(jì) i 軸繞其p、o 軸的安裝誤差為θpi、θoi，i=x,y,z。假定這六個安裝誤差均為小角度。陀螺儀和加速度計(jì)的安裝誤差分別如圖2和圖3所示。

圖2 陀螺儀安裝誤差Fig.2 Gyro-platform geometry

結(jié)合圖1和圖2可得，平臺坐標(biāo)系p到X、Y、Z陀螺儀坐標(biāo)系的變換矩陣為：

同理，平臺坐標(biāo)系p到X、Y、Z加速度計(jì)坐標(biāo)系的變換矩陣為：

如果在翻滾實(shí)驗(yàn)中先繞臺體軸旋轉(zhuǎn)，再繞外環(huán)軸轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動角度分別是α和γ，則地理坐標(biāo)系n到平臺坐標(biāo)系p的轉(zhuǎn)換矩陣為（假設(shè)地理坐標(biāo)系n為東北天坐標(biāo)系）：

考慮上文定義的安裝誤差后，將式(3)～ (5)代入式(1)和(2)，得陀螺儀和加速度計(jì)的誤差模型分別為：

式中：g0為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，本文取值?.794 m/s2；λ0為當(dāng)?shù)鼐暥?，本文取值?4°10′36.1′，ωie為地球自轉(zhuǎn)角速度，本文取值為7.292×10-5rad/s。上述誤差模型中一共有51個待估參數(shù)，其中，陀螺儀儀誤差系數(shù)共8×3=24個，加速度計(jì)誤差系數(shù)5×3=15個，陀螺儀安裝誤差2×3=6個，加速度計(jì)安裝誤差2×3=6個。由于待估參數(shù)較多，需要更多的位置才有可能得到較高的估計(jì)精度，而同時希望標(biāo)定時間越短越好。綜合考慮這兩方面因素，作者選用十六位置自標(biāo)定方案。在下一小節(jié)將深入探討如何選擇最優(yōu)的十六位置組合。

2 最優(yōu)位置選擇

在多位置標(biāo)定中，位置的選擇決定了估計(jì)誤差系數(shù)的個數(shù)以及估計(jì)精度，因此選擇多少位置以及選擇什么樣的位置組合是非常重要的一點(diǎn)。工程經(jīng)驗(yàn)位置組合無法標(biāo)定加速度計(jì)的二次項(xiàng)誤差系數(shù)。研究位置選擇實(shí)際上是研究系統(tǒng)的可觀測性和可觀測度，也就是說系統(tǒng)可觀測，所有的誤差系數(shù)就能估計(jì)出。而某個參數(shù)的可觀測度大小決定了估計(jì)的精度，觀測度越高，估計(jì)精度越高，觀測度越小，估計(jì)精度越差。本文中參數(shù)估計(jì)問題實(shí)際上是一個最小二乘估計(jì)問題，其數(shù)學(xué)模型為[9]：

式中：Z為觀測向量，在本文中就是不同位置出陀螺儀和加速度計(jì)的輸出組成的列向量；H為量測矩陣，在本文中就是待估參數(shù)的系數(shù)組成的矩陣；X為狀態(tài)變量，在本文就是待估誤差和相關(guān)安裝誤差組成的列向量；ε為系統(tǒng)量測噪聲，本文設(shè)為零均值高斯白噪聲。式(8)的最小二乘解即為狀態(tài)變量X的最小二乘估計(jì)。

為了方便描述，給出信息矩陣的定義如下式：

由最小二乘估計(jì)的形式可以看出，當(dāng)M滿秩，也就是可逆時，此時狀態(tài)變量 的所有分量才能得到估計(jì)，也就是系統(tǒng)完全可觀測；同時根據(jù)最小二乘估計(jì)理論知道，對于最小二乘問題（如式(8)），當(dāng)信息矩陣M某一特征值較小時，信息矩陣的條件數(shù)很大，此時最小二乘估計(jì)精度很差。矩陣的條件數(shù)定義為：

式中：λ1、λn分別表示量測矩陣H的最大和最小奇異值。以X軸陀螺儀為例，若采用16位置，H的形式為：

將式(11)代入式(9)得M的具體形式為：

其中：

式中：i=1,2,…,16。從式(9)(11)(12)可以看出，信息矩陣M的形式非常復(fù)雜，包含了32個變量（16個αi，16個γi），用拉格朗日極值等解析的方法去分析信息矩陣M的秩和特征值以及矩陣H的條件數(shù)是極其困難的，因此需要轉(zhuǎn)變解決思路。

事實(shí)上，很多時候，工程應(yīng)用中都是回避此問題的理論性研究，位置組合多數(shù)靠經(jīng)驗(yàn)來選擇[2]，也就是試湊法，但是這種經(jīng)驗(yàn)位置估計(jì)的參數(shù)個數(shù)非常有限，這與標(biāo)定更多的誤差系數(shù)是相違背的。而也有學(xué)者試圖研究最優(yōu)位置組合的選擇算法，如文獻(xiàn)[2]中給出了最優(yōu)位置組合的選擇算法，但這種最優(yōu)是在給定的28個位置中挑選出一個最優(yōu)的16位置組合。顯然這種最優(yōu)有很大的局限性，因?yàn)檫@并沒有徹底的解決最優(yōu)位置的選擇問題；同時這種位置組合也僅僅估計(jì)出35項(xiàng)誤差系數(shù)，與高精度慣性平臺的要求還有一定距離。因此，尋找一種開創(chuàng)性、指導(dǎo)性、通用性的位置組合的選擇算法顯得極為迫切和重要。

但經(jīng)驗(yàn)也有啟示的作用，根據(jù)以往的選擇位置經(jīng)驗(yàn)，一般相鄰的α和γ之間相隔固定的角度[10]（一般為45°或者90°）。在這種經(jīng)驗(yàn)的啟示下，我們只需要起始位置(α1,β1)和相鄰α和γ的間隔(Δα,Δγ)，便可確定剩余的15個位置，這也就說將信息矩陣M和量測矩陣H的變量從32個減小到4個：α1、γ1、Δα、Δγ，其中，Δα和Δγ分別表示相鄰兩個α和γ之間相差的角度。此時的16位置模型如表1。

表1 16位置模型Tab.1 Model of 16 positions

在解析法非常困難時，作者選擇了數(shù)值方法，利用計(jì)算機(jī)計(jì)算出所有位置處的信息矩陣M和量測矩陣H，然后挑選出符合優(yōu)化指標(biāo)的最優(yōu)位置組合，也就是利用仿真軟件仿真出最優(yōu)位置組合。經(jīng)過以上分析，最優(yōu)位置組合的挑選算法如下描述：

① 設(shè)置α和γ步長，在這里選擇相等的步長3°（當(dāng)然也可以選擇其他的步長，甚至α和γ步長的步長不相等），且α、γ∈[0°,180°]，設(shè)置Δα和Δγ的值，如依次取Δα=30°、45°、60°、90°，Δγ=30°、45°、60°、90°依次計(jì)算出不同位置處的量測矩陣H和信息矩陣M；

② 計(jì)算每一個M的秩和H的條件數(shù)并記錄下標(biāo)；

③ 選出矩陣M的秩為10（X軸陀螺儀待估參數(shù)個數(shù)）并且H條件數(shù)最小的下標(biāo)；

④ 根據(jù)下標(biāo)計(jì)算出(α1,γ1)和(Δα,Δγ)，并依此確定出其他15個位置。

根據(jù)以上算法即可數(shù)值仿真出最佳的十六位置組合（步長為3°），具體見表2。

在仿真過程中發(fā)現(xiàn)：① 應(yīng)避開90°整倍數(shù)角度位置；② 盡量避開α=γ的位置。因?yàn)檫@兩種情況均會使信息矩陣M的秩小于10（X軸陀螺儀待估參數(shù)個數(shù)）。

雖然上述位置只是以X軸陀螺儀為例是最佳位置，但是相對其他軸陀螺儀和加速度計(jì)也是最優(yōu)位置，因?yàn)殡m然它們的H不同，但只是交換了列的順序。由矩陣論知識可知，這種變換并不改變矩陣的奇異值，也就不會改變矩陣的條件數(shù)。

表2 最佳16位置Tab.2 Optimal 16 positions

3 誤差系數(shù)標(biāo)定

在第1節(jié)中推導(dǎo)了完整的誤差模型，第2節(jié)給出了最佳十六位置組合，則誤差系數(shù)標(biāo)定的仿真也就水到渠成了。誤差系數(shù)仿真真值設(shè)置如表3。

表3 仿真真值Tab.3 True values of simulation

表3中陀螺儀誤差系數(shù)kg0i(i=x,y,z)的單位為(°)/h，kgij(i=1,2,3，j=x,y,z)的單位為((°)·h-1)/g2，kg2ij(i=1,2,3,4，j=x,y,z)的單位為(″)，Δij(i=s,o，j=x,y,z)的單位為(″)；加速度計(jì)誤差系數(shù)ka0i(i=x,y,z)的單位為0.001 m/s2，ka11i(i=x,y,z)的單位為0.001 m/(s2·g)，ka2ij(i=1,2,3，j=x,y,z)的單位為0.001 m/(s2·g2)，ka3i(i=x,y,z)的單位為0.0001 m/(s2·g3)，θij(i=p,o，j=x,y,z)的單位為(″)。陀螺儀漂移隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.001 (°)/h，加速度計(jì)測量隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差為1×10-6m/s2。

在表1所列位置組合下，各陀螺儀及加速度計(jì)的各項(xiàng)誤差將相繼受到重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度的激勵。定義相對誤差：

式中：μ為真值，μ為估計(jì)值。

在給定的標(biāo)定方案下，平臺51項(xiàng)誤差系數(shù)的標(biāo)定結(jié)果見表4。

從表4可以看出：陀螺儀誤差系數(shù)估計(jì)相對誤差最大為0.7%，估計(jì)精度比較高，而安裝誤差估計(jì)相對誤差最大達(dá)到21.5%，估計(jì)精度較差；加速度計(jì)誤差系數(shù)估計(jì)相對誤差最大為0.68%，估計(jì)精度較高。陀螺儀安裝誤差估計(jì)精度較低的主要原因在于其激勵是地球自轉(zhuǎn)角速度，而地球自轉(zhuǎn)角速度相對于重力加速度而言非常小，這使得陀螺儀安裝誤差的可觀測性較差，導(dǎo)致其估計(jì)效果不佳。

4 結(jié) 論

本文首先推導(dǎo)了較為完整的慣性平臺系統(tǒng)的誤差模型，包含誤差系數(shù)及安裝誤差共51項(xiàng)，在此基礎(chǔ)上給出了基于條件數(shù)最優(yōu)的16個位置組合的選擇算法，并仿真得到最優(yōu)的16個位置。文中所提算法意義簡單明了，充分展示了數(shù)值方法的魅力，在解析法很困難的時候，數(shù)值方法往往能讓問題得到大大的簡化。同時這一選擇算法具有一般性，可以用在慣性平臺其他多位置自標(biāo)定以及相關(guān)最小二乘估計(jì)問題中。自標(biāo)定仿真結(jié)果顯示誤差模型中的51項(xiàng)誤差系數(shù)都能被估計(jì)出，而且估計(jì)精度非常理想，再次說明本文得到的16個位置非常理想。研究結(jié)果表明采用盡可能少的位置高精度的辨識出盡可能多的慣性平臺誤差系數(shù)是可能的。

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16-position self-calibration of high-accuracy inertial platform

MENG Wei-feng1, YUAN Ai-hong1, JIA Tian-long2, JIANG Yi-fu1
(1. Institute No.16 of China Aerospace Times Electronics Corporation, Xi’an 710100, China; 2. Operation Room in Command Centre of Xi’an Army Academy, Xi’an 710108, China)

A 16-position self-calibration scheme for inertial platform is proposed to solve the problem that only few error coefficients of the inertial platform can be estimated by the present multi-position self-calibration method. Combining with the output error model and installation error of the inertial device, an error model of the inertial platform with includes 51 error coefficients is deduced. An appropriate observability analysis for the inertial platform self-calibrated system is proposed, and then the optimization criterion of the inertial platform self-calibrated system is given. According to this criterion and combining with the characteristic of the platform system’s information matrix, an optimal position combination numerical searching algorithm is proposed, and a 16-position self-calibration scheme is obtained. The simulation results prove that this 16-position self-calibration scheme can estimate all the 51 error parameters of the inertial platform with high precision, showing that the number of positions can be as less as possible in identifying the error parameters of inertial platform with high precision.

inertial platform; self-calibration; least-square; optimal position

V441

A

1005-6734(2015)02-0150-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.02.003

2014-11-25；

2015-01-23

總裝預(yù)研基金（51309040501）；第二炮兵武器裝備預(yù)研項(xiàng)目（203010201）

孟衛(wèi)鋒（1972—），男，博士，研究員，主要從事導(dǎo)航與控制技術(shù)研究。E-mail：mwfwp@163.com