劉冰楠，代 欽

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

民國(guó)時(shí)期國(guó)人自編三角學(xué)教科書(shū)中“三角函數(shù)”變遷

劉冰楠，代 欽

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

三角學(xué)教科書(shū)中的“三角函數(shù)”在民國(guó)時(shí)期的不同階段，呈現(xiàn)不同的特點(diǎn)．通過(guò)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、內(nèi)容設(shè)置的變遷、名詞術(shù)語(yǔ)的變化等方面進(jìn)行梳理，能夠?qū)Ξ?dāng)時(shí)三角學(xué)教科書(shū)有一個(gè)清晰的了解并折射出民國(guó)時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)側(cè)面．從三角函數(shù)的定義方式、圖像、誘導(dǎo)公式等方面看，其內(nèi)容不斷減少，難度有所降低．

民國(guó)；三角學(xué)教科書(shū)；三角函數(shù)

民國(guó)時(shí)期是中國(guó)數(shù)學(xué)教育走向現(xiàn)代化的重要時(shí)期，是數(shù)學(xué)教科書(shū)擺脫中國(guó)傳統(tǒng)教育理念，融合西方先進(jìn)的教育思想方法，逐漸與世界接軌的重要階段．通過(guò)對(duì)民國(guó)三角學(xué)教科書(shū)教學(xué)要求、內(nèi)容變遷、定義方式和名詞術(shù)語(yǔ)的考察，可以為今天數(shù)學(xué)課程和教科書(shū)研究者提供有益借鑒．

1 時(shí)代背景

20世紀(jì)10年代，三角學(xué)教科書(shū)采用自編者較多．根據(jù)倪尚達(dá)在1920年對(duì)當(dāng)時(shí)中等學(xué)校使用的數(shù)學(xué)教科書(shū)情況進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)可知[1]，《共和國(guó)教科書(shū)平三角大要》在當(dāng)時(shí)的使用范圍最廣，從1913年初版至1923年已再版18次．20世紀(jì)20年代出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)，主要有商務(wù)印書(shū)館的“新學(xué)制教科書(shū)”、“現(xiàn)代初級(jí)中學(xué)教科書(shū)”和中華書(shū)局的“新中學(xué)教科書(shū)”．當(dāng)時(shí)各中學(xué)可自行選定教科書(shū)．劉正經(jīng)編輯的《現(xiàn)代初中教科書(shū)三角術(shù)》很受歡迎，1923年初版，1930年第54版，1936年國(guó)難訂正第31版．20世紀(jì)30年代出版的教科書(shū)除商務(wù)印書(shū)館、中華書(shū)局仍占有主要地位外，還有開(kāi)明書(shū)店、世界書(shū)局、正中書(shū)局等．種類(lèi)齊全，內(nèi)容豐富，達(dá)到中國(guó)清末至解放前數(shù)學(xué)書(shū)籍出版的鼎盛時(shí)期．1933年初版的《復(fù)興初級(jí)中學(xué)教科書(shū)三角》再版次數(shù)極多，至1948年已再版150次．

“1946年以后，中學(xué)教科書(shū)由審定制改為國(guó)定制，采用國(guó)立編譯館教科用書(shū)組依照新修訂課程標(biāo)準(zhǔn)修改、編寫(xiě)的統(tǒng)一國(guó)定課本．”[2]然而，大多數(shù)學(xué)校還是采用原來(lái)的教科書(shū)．例如，商務(wù)印書(shū)館的“復(fù)興教科書(shū)”，中華書(shū)局的“修正課程標(biāo)準(zhǔn)適用”數(shù)學(xué)教科書(shū)仍被使用．張鵬飛編的《初中三角》1936年初版，1947年再版26次．但該書(shū)1940年以后的版本，將書(shū)名改為“修正課程標(biāo)準(zhǔn)適用”《初中三角法》繼續(xù)使用．審定本即教科書(shū)在出版之前，須將稿本呈交給教育部，教育部審查通過(guò)后方可出版使用．其中，《共和國(guó)教科書(shū)》、《現(xiàn)代初級(jí)中學(xué)教科書(shū)》及《復(fù)興教科書(shū)》均為審定本教科書(shū)．而國(guó)定本即教育部命令所屬的“國(guó)立編譯館”，按照中小學(xué)校的全部科目，編輯一整套教科書(shū)，通過(guò)“教育圖書(shū)審查委員會(huì)”審定后出版發(fā)行．

三角函數(shù)是三角學(xué)的核心，故這里選取以下4種具有代表性的教科書(shū)：① 黃元吉編纂《共和國(guó)教科書(shū)平三角大要》，商務(wù)印書(shū)館1913年12月初版（后稱(chēng)1913年本）；② 劉正經(jīng)編輯《現(xiàn)代初中教科書(shū)三角術(shù)》，商務(wù)印書(shū)館1929年1月第29版（后稱(chēng)1929年本）；③ 周元瑞、周元谷編著《復(fù)興初級(jí)中學(xué)教科書(shū)三角》，商務(wù)印書(shū)館1933年7月初版（后稱(chēng)1933年本）；④ 張鵬飛編《初中三角法》，中華書(shū)局1947年4月第26版（后稱(chēng)1947年本）．以這4本影響較大，使用范圍較廣的國(guó)人自編三角學(xué)教科書(shū)作為研究對(duì)象，考察三角函數(shù)的變遷．圖1為4本教科書(shū)的書(shū)影．

圖1 四本三角學(xué)教科書(shū)書(shū)影

2 對(duì)6個(gè)三角函數(shù)發(fā)展歷史的簡(jiǎn)單回顧

公元前2世紀(jì)，西帕索斯首創(chuàng)三角學(xué)，直至16世紀(jì)之前，主要以天文學(xué)伴侶的姿態(tài)出現(xiàn)．由于航海、天文觀測(cè)等實(shí)際問(wèn)題的需要，使得球面三角術(shù)的出現(xiàn)比平面三角術(shù)早得多．1533年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷吉奧蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）出版《論三角形》（On Triangles of Every Kind），在歐洲這是第一本使三角學(xué)脫離天文學(xué)而正式成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支學(xué)科的標(biāo)志性著作．1748年，歐拉在《無(wú)窮小分析引論》中引入了三角函數(shù)的概念，并將三角函數(shù)看作是一種函數(shù)線(xiàn)與圓半徑的比．16世紀(jì)末期，西方傳教士來(lái)中國(guó)傳教，三角學(xué)作為西洋歷法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)傳入中國(guó)．

約公元510年，阿里亞哈塔（Aryabhata，約公元475—550）所寫(xiě)的《阿耶波多歷書(shū)》（Aryabhatiya）是第一本明確提出正弦函數(shù)的著作．倫敦Gresham學(xué)院的天文學(xué)教授岡特（Edmund Gunter，1581—1626）在1624年發(fā)明了一個(gè)用來(lái)計(jì)算對(duì)數(shù)的機(jī)械工具——岡特刻度，是人們現(xiàn)在所熟悉的計(jì)算尺的前身．而sin和tan這兩個(gè)符號(hào)，就是在“岡特刻度”的圖示說(shuō)明中首次出現(xiàn)．1631年瑞士來(lái)華傳教士鄧玉函（Jean Terrenz，1576—1630）編《大測(cè)》一書(shū)時(shí)將sinus譯為“正半弦”，簡(jiǎn)稱(chēng)為正弦，這就成了中國(guó)“正弦”一詞的由來(lái)．由于要計(jì)算余角的正弦值而出現(xiàn)了余弦函數(shù)，單詞cosinus（余弦）最初是岡特使用的，縮寫(xiě)符號(hào)cos則是在1674年，由英國(guó)數(shù)學(xué)家和測(cè)量員摩爾（Jonas Moore，1617—1679）爵士率先使用．正切和余切這兩個(gè)比率源自日晷和投影的想法，把這兩個(gè)比率作為角的函數(shù)是由阿拉伯人開(kāi)始的．Tangent在1583年丹麥數(shù)學(xué)家芬克（Thomas Fincke，1561—1646）的著作《圓的幾何》中首次出現(xiàn)．Cotangens在1620年被岡特首次使用．阿拉伯學(xué)者阿布—威法（Abul-Wefa，公元940—998）是第一個(gè)制作出正切函數(shù)表的學(xué)者，此函數(shù)表在15世紀(jì)航海表計(jì)算出來(lái)后大顯身手．正割和余割這兩個(gè)函數(shù)在阿布—威法的著作中第一次提到，但卻沒(méi)有給出具體的名稱(chēng)．sec這個(gè)符號(hào)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德（Albert Girard，1595—1632）首次提出．雷提庫(kù)斯（Georg Joachim Rhaeticus，1514—1576）是哥白尼的第一個(gè)學(xué)生，他的著作《三角學(xué)說(shuō)準(zhǔn)則》（Canon Doctrinae Triangulorum，1551）中6個(gè)三角函數(shù)首次同時(shí)出現(xiàn)．

3 4種教科書(shū)中“三角函數(shù)”的比較

3.1 課程標(biāo)準(zhǔn)的要求比較

1912年9月，中華民國(guó)教育部公布了《中學(xué)校令》，將中學(xué)校修業(yè)年限定為4年，共14門(mén)課程．其中，中學(xué)校之學(xué)科目與其程度，及教科書(shū)之采用，別以規(guī)程定之．同年12月，頒布《中學(xué)校令施行規(guī)則》，其中第一章第七條規(guī)定：“數(shù)學(xué)要旨，在明數(shù)量之關(guān)系，熟習(xí)計(jì)算，并使其思慮精確．?dāng)?shù)學(xué)宜授以算術(shù)、代數(shù)、幾何及三角法．女子中學(xué)校數(shù)學(xué)可減去三角法．”[3]1913年3月19日公布的《中學(xué)校課程標(biāo)準(zhǔn)》，將授課時(shí)數(shù)按照男女生進(jìn)行修改，如表1所示[3]．

表1 1913年中學(xué)校課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科授課時(shí)數(shù)與教學(xué)內(nèi)容

中華民國(guó)教育部于1923年制定了《新學(xué)制課程標(biāo)準(zhǔn)綱要》，其中《初級(jí)中學(xué)算學(xué)課程綱要》要求初中數(shù)學(xué)采用混合編排，并且規(guī)定三角部分的畢業(yè)最低限度為“略知平面三角初步”．“對(duì)于1923年的混編教材，由于有些學(xué)校不適應(yīng)，在實(shí)施混合課程時(shí)仍用分科教材．”[4]1929年，南京政府大學(xué)院（10月改組為教育部）根據(jù)全國(guó)教育會(huì)議議決組成中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)起草委員會(huì)編訂《初級(jí)中學(xué)算學(xué)暫行課程標(biāo)準(zhǔn)》，令各省作為暫行標(biāo)準(zhǔn)，試驗(yàn)推行．初中設(shè)14科目，共180學(xué)分，其中算學(xué)為30學(xué)分．三角在三年級(jí)下學(xué)期與幾何同時(shí)教授，三角每周授課時(shí)數(shù)為3小時(shí)．

1936年頒布的《初級(jí)中學(xué)算學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》是教育部根據(jù)各地反映“教學(xué)總時(shí)數(shù)之過(guò)多”，對(duì)1933年頒布的“課程標(biāo)準(zhǔn)”進(jìn)行修正而成，其中規(guī)定：“三角之正式教授，宜移至高中，但三角應(yīng)用方面極廣，初中亦不可不知．故宜就實(shí)例入手，講授三角函數(shù)定義，及直角三角形解法，簡(jiǎn)易測(cè)量，余可從略．”[3]

1941年的《修正初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中取消了三角這門(mén)課程，三角僅在高中第一學(xué)年講授，并在《修正高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有相關(guān)的要求，每周課時(shí)為2小時(shí)．

3.2 三角函數(shù)內(nèi)容設(shè)置的比較

（1）三角函數(shù)內(nèi)容的整體安排．

1913年本是辛亥革命勝利后，商務(wù)印書(shū)館出版的第一套國(guó)人自編教科書(shū)．為了合乎于“共和民國(guó)”的宗旨，故取名為《共和國(guó)教科書(shū)》．這套教科書(shū)順應(yīng)世變，適合民國(guó)政體更新的需要，奠定了民國(guó)初年中小學(xué)新式教科書(shū)的基礎(chǔ)[5]．1913年本共兩篇十一章，55頁(yè)．其中，三角函數(shù)占28頁(yè)．主要內(nèi)容有[6]：銳角之圓函數(shù)、普通角之圓函數(shù)．書(shū)中附有希臘文字對(duì)照表，包括希臘字母的大、小寫(xiě)寫(xiě)法及其名稱(chēng)，并用希臘字母表示角，如sinα、cosβ等．書(shū)中的定理、例題、習(xí)題等開(kāi)始滲透分類(lèi)的思想．

1929年本共八章，106頁(yè)，三角函數(shù)占29頁(yè)．主要內(nèi)容有：三角術(shù)之目的、銳角之三角函數(shù)、直角三角形解法、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)計(jì)算、普通三角形邊角的關(guān)系、普通三角形解法、任何角的三角函數(shù)、幾個(gè)重要的恒等式．在此引用該書(shū)“編輯大意”說(shuō)明當(dāng)時(shí)的編排情況[7]：

① 這本小書(shū)，是編給中等學(xué)校做教科書(shū)用的．中等學(xué)生對(duì)于三角術(shù)只要在實(shí)用方面夠用，所以本書(shū)注重實(shí)用；至于理論方面，也不偏廢，不過(guò)別為補(bǔ)篇．書(shū)名雖定為初中三角術(shù)，但是舊制中學(xué)第四年，也可采用，因?yàn)橛醒a(bǔ)篇可以伸縮．

② 應(yīng)用問(wèn)題的選擇，以能鼓起學(xué)生的興味為標(biāo)準(zhǔn)．這里面大多數(shù)是從著名的教科書(shū)內(nèi)摘譯下來(lái)的，還有一部分是特別為這本書(shū)做的．

③ 書(shū)中常常插入關(guān)于三角術(shù)歷史上的談話(huà)——本國(guó)和外國(guó)兩方面，都有一點(diǎn)——使學(xué)生知道三角術(shù)大概的沿革，并且可以引起他們研究的興趣．

④ 后面所附的四位表，在本國(guó)算是很新的一種．他的排列得當(dāng)，檢查便利，很足以保證他的實(shí)用價(jià)值，用不著編者多說(shuō)話(huà)．

⑤ 編者僅向南開(kāi)大學(xué)算學(xué)教授姜立夫博士表示至誠(chéng)的感謝，因?yàn)樗M(fèi)了很多的功夫，把這本書(shū)的稿子看過(guò)了，并且加以許多有價(jià)值的批評(píng)，尤其是關(guān)于歷史方面的材料承他很費(fèi)心的幫助搜集．又南開(kāi)同事算學(xué)教員張芷賓先生，在搜集應(yīng)用問(wèn)題方面，很替編者幫忙，并且編輯中也得他的臂助不少，謹(jǐn)記于此，以至感謝．

1929年本后兩章為補(bǔ)篇，具有一定的彈性，不但可供新制初中使用，也可供舊制四年級(jí)使用．其中，任意角的三角函數(shù)安排在補(bǔ)篇中，教師可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行講授．書(shū)中常穿插國(guó)內(nèi)外關(guān)于三角術(shù)的歷史，使學(xué)生了解三角術(shù)的沿革，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣．同時(shí)，增加了對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)計(jì)算一章．

1933年本共六章，有87頁(yè)．三角函數(shù)占24頁(yè)．主要內(nèi)容有[8]：三角比、基本公式、三角函數(shù)及其應(yīng)用、對(duì)數(shù)解法、任意三角形的解法、三角法的應(yīng)用．書(shū)中的習(xí)題，為切合學(xué)生的生活狀況，大多選擇實(shí)際問(wèn)題，與前幾本教科書(shū)不同，1933年本除應(yīng)用上必需的三角函數(shù)公式以外，其它一切的恒等式均被省略．對(duì)于內(nèi)容的講授，如果時(shí)間不足，第四章和第五章可酌情縮減，或?qū)⒌诹峦耆∪ィ?/p>

1947年本共三編七章，有75頁(yè)．其中三角函數(shù)占31頁(yè)．主要內(nèi)容有[9]：開(kāi)端、銳角和三角函數(shù)的關(guān)系、直角三角形的解法和應(yīng)用．整書(shū)中都沒(méi)有用希臘字母表示角，而是用大寫(xiě)的英文字母表示．書(shū)中加入了變式習(xí)題，利于學(xué)生加深對(duì)問(wèn)題的理解．

將4本三角學(xué)教科書(shū)中的內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)量化，具體見(jiàn)表2．

表2 三角函數(shù)的內(nèi)容

（2）三角函數(shù)概念引入方式的異同．

民國(guó)時(shí)期這4本教科書(shū)中三角函數(shù)定義都是直接給出的，之前沒(méi)有做任何鋪墊，都是在直角三角形中利用三角比進(jìn)行定義的．并且僅給出6種三角函數(shù)，對(duì)于正矢和余矢兩種函數(shù)沒(méi)有提及．但4本教科書(shū)中6種三角函數(shù)給出的方式有所不同．對(duì)于三角函數(shù)的定義是以比率引入的，是在直角三角形中進(jìn)行定義的，先限于直角三角形內(nèi)的銳角，然后利用坐標(biāo)，將定義推演于任意角，用以解決含有直角三角形的簡(jiǎn)單問(wèn)題．

1913年本僅在直角三角形中定義了正弦和余弦，正切和余切是通過(guò)正弦和余弦的比值給出的，而正割和余割是利用正弦和余弦的倒數(shù)進(jìn)行定義的．1929年本和1933年本基于正弦、余弦和正切3個(gè)函數(shù)使用較多的原因，在直角三角形中首先定義了這3個(gè)函數(shù)，而余切、正割和余割則作為前3個(gè)函數(shù)的倒數(shù)給出，因?yàn)橹灰懒饲?個(gè)，后3個(gè)的值就可以算出來(lái)．1947年本在直角三角形中定義了6種三角函數(shù)，并利用表格的形式給出了6個(gè)比例和相應(yīng)的符號(hào)表示．從引入方式來(lái)講，1929年本和1933年本突出強(qiáng)調(diào)了6個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系，利于學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，不至混淆，方便后續(xù)三角函數(shù)關(guān)系的學(xué)習(xí)．

（3）三角函數(shù)圖像和誘導(dǎo)公式的比較．

民國(guó)時(shí)期三角教科書(shū)大多將三角函數(shù)安排在第一章或第二章，內(nèi)容較多，也是三角教科書(shū)的主要內(nèi)容，所占課時(shí)較多．1913年本中的三角函數(shù)內(nèi)容所占篇幅最多，例題和練習(xí)題的數(shù)量也最多，這樣的安排在民國(guó)初期比較普遍．相比而言，周元瑞和周元谷編的教科書(shū)再版次數(shù)相當(dāng)驚人，其受歡迎的程度可見(jiàn)一斑．

函數(shù)圖像方面，這4本教科書(shū)都沒(méi)有直接給出三角函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像．1913年本雖然沒(méi)有直接給出三角函數(shù)的圖像，卻用表格的形式給出了3個(gè)函數(shù)（正弦、余弦、正切）在4個(gè)象限的符號(hào)．1929年本除了給出6個(gè)三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)外，還給出了函數(shù)值在各個(gè)區(qū)間的變化情況，相當(dāng)于已經(jīng)給出了大致的函數(shù)圖像，只是沒(méi)有畫(huà)出具體的圖像而已．1933年本和1947年本對(duì)圖像的相關(guān)問(wèn)題沒(méi)有提及．

1913年本和1929年本的誘導(dǎo)公式多而全，而1933年本和1947年本的內(nèi)容明顯縮減，除應(yīng)用上必須的三角函數(shù)公式之外，其它恒等式都被省略．值得一提的是，在這4本教科書(shū)中，僅1947年本引入了三角比之六角形（如圖2），用于記憶三角函數(shù)之間的關(guān)系，可看作是一種進(jìn)步．

圖2 三角比之六角形

三角比之六角形將三角函數(shù)按sin，cos，tan，cot，sec，csc的次序，每?jī)身?xiàng)取水平位置，書(shū)寫(xiě)于六角形各頂點(diǎn)處，并將1標(biāo)于六角形的中心．則有以下結(jié)論[9]：

（1）左右兩側(cè)，在下者之值較大，即大小關(guān)系為：sinA＜tanA ＜sec A 及cosA＜cotA＜cscA ；

（2）各對(duì)角線(xiàn)兩端二函數(shù)之積，等于其中心數(shù)即1，是為二重關(guān)系．即

sinAcsc A=1，cosAsecA=1，tanAcotA=1；

（3）在相鄰三角頂之三函數(shù)，其一端之函數(shù)，等于中間函數(shù)，以他端函數(shù)除之，是為三重關(guān)系．

（4）同一水平線(xiàn)上相鄰兩函數(shù)之平方和，等于其下側(cè)中央數(shù)之平方，是為平方關(guān)系．即：

sin2A+cos2A=1，1+tan2A =sec2A，1+cot2A =csc2A．

以上這8種關(guān)系均非各自獨(dú)立，可由任意一平方關(guān)系，及其他任意四關(guān)系以求其余三關(guān)系．從記憶方面看，三角比之六角形具有一定的優(yōu)勢(shì)，但這個(gè)圖形在現(xiàn)行教科書(shū)中已不出現(xiàn)．

（4）解決實(shí)際問(wèn)題的比較．

生活是數(shù)學(xué)的源泉，數(shù)學(xué)與生活相互依存．這4本教科書(shū)的編寫(xiě)都較重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，在直角三角形中利用三角函數(shù)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題．這種將數(shù)學(xué)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系、數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化的做法，不僅可以利用現(xiàn)實(shí)生活中的課程資源，開(kāi)闊學(xué)生視野，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．如：

1913年本中雖然有實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，但正文內(nèi)容均不是以實(shí)際問(wèn)題為背景進(jìn)行闡述的，而是將實(shí)際問(wèn)題抽象出具體的圖形，利用圖形來(lái)表示，但在習(xí)題部分，卻都是生活中的實(shí)例．主要有求塔高、求河寬、求房屋與街邊的距離、求巖高、求山高、求云高、求二艦的距離等．

1929年本對(duì)應(yīng)用問(wèn)題內(nèi)重要的術(shù)語(yǔ)進(jìn)行了解釋?zhuān)绱怪本€(xiàn)、垂直面、水平線(xiàn)、水平面視線(xiàn)、仰角、俯角等．具體有：求樹(shù)高、求河寬、求行程問(wèn)題、求山尖高、求墻高、求船距、求塔高等．

1933年本對(duì)在應(yīng)用題上經(jīng)常遇到的名詞加以解釋?zhuān)绕鋵?duì)仰角和俯角兩個(gè)名詞特別加以解釋?zhuān)酥膺€有垂直線(xiàn)、垂直面、水平線(xiàn)、水平面等．涉及的實(shí)際問(wèn)題主要有：求樹(shù)高、求屋子與樹(shù)的距離、求竿長(zhǎng)、求墻高、求兩塔的距離、求街寬等．

1947年本的實(shí)際問(wèn)題分為水平面內(nèi)的簡(jiǎn)便測(cè)量和鉛錘面的簡(jiǎn)便測(cè)量?jī)深?lèi)．主要涉及求河寬、求旗桿與山的距離、求墻高和墻寬、求樹(shù)的高度等問(wèn)題．

由表2可知，除1929年本，其他3本教科書(shū)的練習(xí)題中實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量較多，均十分重視三角函數(shù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用．

3.3 三角函數(shù)的名詞術(shù)語(yǔ)的演變

民國(guó)初期，采用算術(shù)、幾何、三角的分科編排形式是這一時(shí)期教科書(shū)的編排特點(diǎn)之一．“《布利氏新式算學(xué)教科書(shū)》是20世紀(jì)中國(guó)翻譯的第一套混合算學(xué)教科書(shū)．”[10]中國(guó)于1923年1月開(kāi)始使用混合教科書(shū)，1929年后，在一部分學(xué)者的反對(duì)聲中，教科書(shū)呈現(xiàn)兩種形式，有的學(xué)校繼續(xù)使用分科教科書(shū)，而有的學(xué)校則采用混合教科書(shū)，直至1941年徹底取消混合教科書(shū)．受其影響，三角函數(shù)的名詞術(shù)語(yǔ)在混合教科書(shū)和分科教科書(shū)中略有不同．

如，民國(guó)時(shí)期的分科教科書(shū)中，將三角函數(shù)稱(chēng)為三角比例數(shù)、圓函數(shù)、三角倚數(shù)或三角比．清末時(shí)期把三角函數(shù)稱(chēng)之為三角比例數(shù)，如算學(xué)研究會(huì)編《平三角法教科書(shū)》（1906年）；1913年本中將三角函數(shù)稱(chēng)作圓函數(shù)．受外文原版書(shū)的影響，1923年汪桂榮起草的《高級(jí)中學(xué)第二組必修的三角課程綱要》中，將三角函數(shù)稱(chēng)之為三角倚數(shù)．1933年本將三角函數(shù)也稱(chēng)之為三角比．相比而言，民國(guó)時(shí)期的混合教科書(shū)中三角函數(shù)的名詞術(shù)語(yǔ)不及分科教科書(shū)中的豐富，其中，將三角函數(shù)亦稱(chēng)作三角比，如布利士力著《布利氏新式算學(xué)教科書(shū)》（第三編）（王自蕓譯，商務(wù)印書(shū)館，1922），程廷熙和傅種孫編《初級(jí)混合數(shù)學(xué)》（第三冊(cè)）（中華書(shū)局，1923），段育華編《新學(xué)制混合算學(xué)教科書(shū)》（第四冊(cè)）（商務(wù)印書(shū)館，1925）．

根據(jù)段育華和周元瑞編的《算學(xué)辭典》，可對(duì)民國(guó)時(shí)期三角函數(shù)的定義有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)：

“三角函數(shù)（Trigonometrical Function）超越函數(shù)之一種，亦稱(chēng)圓函數(shù)，又稱(chēng)三角比．若是者一角之正弦余弦正切余切正割余割，稱(chēng)為其角之三角函數(shù)．

三角比（Trigonometrical Ratio）即三角函數(shù)，因三角函數(shù)系由一角兩邊之比推得，故又名三角比．

與段育華和周元瑞編的《算學(xué)辭典》不同的是，倪德基、酈祿琦編《數(shù)學(xué)辭典》和趙繚編《數(shù)學(xué)辭典》中將三角函數(shù)又稱(chēng)之為八線(xiàn)．如：

“角之正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，正矢，余矢，八者謂之角之三角函數(shù)，亦稱(chēng)三角比，或圓函數(shù)或八線(xiàn)．”[12]“角之正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，謂之三角函數(shù)，又謂之圓函數(shù)．三角比同三角函數(shù)．八線(xiàn)舊譯三角函數(shù)之名．謂正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，正矢，余矢也．”[13]

三角比是隨著角度的改變而改變的．當(dāng)角度一定時(shí)，三角比就有一定的數(shù)值．如果角度改變，三角比也就相應(yīng)地改變．那么照函數(shù)的定義說(shuō)，三角比是角的函數(shù)，所以三角比又叫做三角函數(shù)．而稱(chēng)其為圓函數(shù)是符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史的．

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)上述比較，可以得出一些結(jié)論，民國(guó)時(shí)期三角教科書(shū)的編排特色也讓研究者對(duì)當(dāng)今教科書(shū)的編寫(xiě)產(chǎn)生了一些思考．

4.1 三角函數(shù)的內(nèi)容減少且難度降低

從內(nèi)容上來(lái)講，1913年本的內(nèi)容最少而且最為簡(jiǎn)單，概念、定理、公式等十分簡(jiǎn)潔、明了，例題、習(xí)題的數(shù)量適中，學(xué)生能夠在規(guī)定的學(xué)業(yè)年限中從容畢業(yè)．1929年本從難度上來(lái)講則略高一層，以表格的形式給出了6個(gè)三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)及各區(qū)間的取值范圍，較為全面地向?qū)W生呈現(xiàn)了三角函數(shù)的內(nèi)容．1933年本的內(nèi)容較1929年本大幅減少，其中誘導(dǎo)公式僅給出應(yīng)用時(shí)必須的幾個(gè)，而對(duì)于其它恒等式一概刪去．而且內(nèi)容的講授可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行刪減，具有一定的彈性，這也許是其受各學(xué)校歡迎的原因之一．1947年本比1913年本的內(nèi)容略多，但誘導(dǎo)公式卻從1913年的23個(gè)減少到3個(gè)．從整體難易程度上來(lái)講，大致呈下降的趨勢(shì)．1929年本和1933年本難度大于1913年本和1947年本．由于1913年本編寫(xiě)倉(cāng)促，屬于應(yīng)急的教科書(shū)，所以相比其它3本教科書(shū)，內(nèi)容最為簡(jiǎn)潔．1929年本間接地給出了三角函數(shù)圖像，滲透了三角函數(shù)的周期性，涉及的三角函數(shù)知識(shí)最多，難度最大．

與民國(guó)時(shí)期初級(jí)中學(xué)三角教科書(shū)相比，中國(guó)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中沒(méi)有講授誘導(dǎo)公式，這部分內(nèi)容被放在高中階段進(jìn)行學(xué)習(xí)．民國(guó)時(shí)期在初中就已經(jīng)習(xí)得三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，從這方面來(lái)講，民國(guó)時(shí)期所學(xué)內(nèi)容要比現(xiàn)在的深，難度大．

4.2 內(nèi)容安排次序的變化

民國(guó)時(shí)期三角學(xué)教科書(shū)中，關(guān)于“三角函數(shù)關(guān)系”和“直角三角形解法”這兩部分內(nèi)容的次序安排有兩種不同的形式．在中國(guó)自編的三角學(xué)教科書(shū)中，大多將“三角函數(shù)關(guān)系”放在“直角三角形解法”之前．在當(dāng)時(shí)翻譯的日本教科書(shū)是按照先“三角函數(shù)關(guān)系”，再“直角三角形解法”的順序安排，如遠(yuǎn)藤又藏著《平面三角法教科書(shū)》（葛祖蘭譯，文明書(shū)局，1914年）．而翻譯歐美的三角學(xué)教科書(shū)則是按照先“直角三角形解法”后“三角函數(shù)關(guān)系”，如葛氏三角、溫氏三角等．

汪桂榮在1923年起草的《三角課程綱要》中建議將“三角函數(shù)關(guān)系”放在“直角三角形解法”之后，“斜角三角形解法”放于“諸角三角函數(shù)”之前．這樣的建議也許是受中國(guó)當(dāng)時(shí)由學(xué)習(xí)日本轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)歐美這樣大環(huán)境的影響，或許是由于三角函數(shù)定義本身的呈現(xiàn)方式問(wèn)題．但這些只不過(guò)是編排的問(wèn)題，并不能由此說(shuō)明哪種編排的好壞．至于中國(guó)自編的教科書(shū)為何沒(méi)有采用歐美譯本的編排方式，大概是基于日譯本并不十分適合中國(guó)當(dāng)時(shí)的教育以及課程標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有明確規(guī)定等原因，從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，民國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)教育的自由狀態(tài)也可見(jiàn)一斑．

總之，教科書(shū)的編寫(xiě)要通俗易懂，平易近人，為大眾服務(wù)，這對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育改革也具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[14]．三角學(xué)教科書(shū)從民國(guó)至今，在經(jīng)歷一個(gè)世紀(jì)的變遷后，數(shù)學(xué)知識(shí)逐步順應(yīng)時(shí)代的需要，發(fā)生了較大的變化．通過(guò)了解三角函數(shù)內(nèi)容的變化，有利于厘清三角學(xué)教科書(shū)的發(fā)展脈絡(luò)，管窺民國(guó)時(shí)期的教育理念．三角函數(shù)從注重函數(shù)、實(shí)用等問(wèn)題逐步與其它學(xué)科相聯(lián)系，如三角關(guān)系式與代數(shù)中的方程之間的關(guān)系，逐步實(shí)現(xiàn)各門(mén)學(xué)科的融合．回顧三角函數(shù)在民國(guó)時(shí)期的變遷歷程，對(duì)中國(guó)目前數(shù)學(xué)教科書(shū)的編寫(xiě)具有重要的參考價(jià)值，并對(duì)當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育教學(xué)具有一定的借鑒意義．

[1] 倪尚達(dá)．全國(guó)中等學(xué)校數(shù)學(xué)科教授狀況之調(diào)查[J]．教育雜志，1920，（5）：16 880-16 886．

[2] 呂世虎．20世紀(jì)中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展（1901—1949）[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2007，（6）：9-13．

[3] 課程教材研究所．20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編：數(shù)學(xué)卷[M]．北京：人民教育出版社，1999．

[4] 呂世虎，吳春燕，陳婷．20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容綜合化的歷程及其啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（6）：1-5．

[5] 李華興．民國(guó)教育史[M]．上海：上海教育出版社，1997．

[6] 黃元吉．共和國(guó)教科書(shū)平三角大要[M]．上海：商務(wù)印書(shū)館，1913．

[7] 劉正經(jīng)．現(xiàn)代初中教科書(shū)三角術(shù)[M]．上海：商務(wù)印書(shū)館，1929．

[8] 周元瑞，周元谷．復(fù)興教科書(shū)三角[M]．上海：商務(wù)印書(shū)館，1933．

[9] 張鵬飛．初中三角法[M]．上海：中華書(shū)局，1947．

[10] 陳婷，呂世虎．二十世紀(jì)混合數(shù)學(xué)教科書(shū)的先河——《布利氏新式算學(xué)教科書(shū)》之考察[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（2）：84．

[11] 段育華，周元瑞．算學(xué)辭典[M]．上海：商務(wù)印書(shū)館，1938．

[12] 倪德基，酈祿琦．?dāng)?shù)學(xué)辭典[M]．上海：中華書(shū)局，1925．

[13] 趙繚．?dāng)?shù)學(xué)辭典[M]．上海：群益書(shū)社，1923．

[14] 代欽，李春蘭．中國(guó)數(shù)學(xué)教育史研究進(jìn)展70年之回顧與反思[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（3）：6-12．

Transition of Trigonometric Functions in the Trigonometry Textbooks Compiled by Our Compatriots during the Period of Republic of China

LIU Bing-nan, DAI Qin
(Institute for the History of Science and Technology, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Huhhot 010022, China)

In each period of the Republic of China, the trigonometric functions in trigonometry textbooks represent varial characteristics. Through sorting out the transition of the requirement of curriculum standards, contents and the usage of terms, we could get a vivid picture of trigonometry textbooks and something of mathematics education in Republic of China. In the textbook, the contents and difficulty had been reduced in the aspects of defination, image and formula of trigonometric functions.

the Republic of China; trigonometry textbooks; trigonometric functions

G40-055

：A

：1004–9894（2015）03–0081–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2015–01–21

內(nèi)蒙古師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（CXJJBZD13002）；2012年高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金聯(lián)合資助課題——中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)整理研究（1902—1949）（20121502110001）

劉冰楠（1986—），女，黑龍江鶴崗人，博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．