高 潔，周 瑋

（1．濰坊學院 數(shù)學與信息科學學院，山東 濰坊 261061；2．濟南工程職業(yè)技術(shù)學院 基礎部，山東 濟南 250200）

在高等數(shù)學課程中開展數(shù)學實驗教學的探索與研究

高 潔1，周 瑋2

（1．濰坊學院 數(shù)學與信息科學學院，山東 濰坊 261061；2．濟南工程職業(yè)技術(shù)學院 基礎部，山東 濟南 250200）

對在高等數(shù)學課程中開展數(shù)學實驗教學的內(nèi)涵、教學內(nèi)容、教學設計、教學實施以及評價方法進行深入研究．結(jié)合高等數(shù)學教學內(nèi)容設計了數(shù)學實驗內(nèi)容，將數(shù)學實驗分為基礎實驗和建模實驗，通過具體實例說明了應用Mathematica軟件進行數(shù)學實驗的關(guān)鍵步驟，并對數(shù)學實驗的具體實施進行了詳細論述．

高等數(shù)學；數(shù)學實驗；數(shù)學建模；Mathematica軟件

高等數(shù)學是高等學校一門重要的基礎學科，是理工科大學生的必修課，它不僅是各學科共同使用的精確的科學語言，也對學生后繼課程的學習及思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著重要作用，它已經(jīng)日益成為各學科和工程實踐中解決實際問題的有力工具．高等數(shù)學教學的根本任務就是要通過教學活動讓學生學習掌握數(shù)學的思想、方法和技巧，并能學以致用，這就使得通過高等數(shù)學的學習不僅要培養(yǎng)大學生具有堅實的數(shù)學理論和較高的數(shù)學技能，而且同時要提高他們自覺運用高等數(shù)學理論知識去解決相關(guān)專業(yè)中的實際應用問題的數(shù)學構(gòu)建能力．

目前在許多高等院校高等數(shù)學的教學依然沿用傳統(tǒng)的講授式教學模式，這種模式固然可行但也存在一定的弊端：一是傳統(tǒng)的數(shù)學教學重理論輕應用，學生感覺枯燥無用；二是以教師講授為主的教學方式造成學生被動地學，不利于學生獨立思考和學習能力的培養(yǎng)；三是單純講解書本知識與專業(yè)脫節(jié)，學生體會不到數(shù)學在專業(yè)學習中的重要作用，不利于學生應用數(shù)學解決實際問題能力的培養(yǎng)，更不利于學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)[1]．針對這種狀況，近十幾年來許多院校對高等數(shù)學課程的改革進行了一些討論和探索，提出了調(diào)整優(yōu)化教學內(nèi)容和體系，開設數(shù)學實驗和數(shù)學建模課的設想，還有許多文獻研究了數(shù)學建模和數(shù)學實驗的系統(tǒng)模式，對如何通過這門注重理論聯(lián)系實際的課程培養(yǎng)學生的想象力、洞察力、直覺思維、發(fā)散思維、動手能力，以及應用能力和創(chuàng)新能力進行了探索[2]．但是這些文獻普遍缺乏具體的實施措施和評價標準，同時由于各個學校的師資、生源、設備等條件的不同，也為數(shù)學實驗教學帶來了一定的困難．借鑒國外“從做中學”的教學模式[3]，在完成高等數(shù)學基本教學任務的同時，將數(shù)學實驗教學融入高等數(shù)學課程中，不僅在平時教學中增加數(shù)學實驗內(nèi)容，還定期進行上機實驗，使高等數(shù)學課程從“學數(shù)學”向“用數(shù)學”轉(zhuǎn)變，從“理論教學”向“應用教學”轉(zhuǎn)變，從“手工計算”向“應用計算機軟件計算”轉(zhuǎn)變，充分展現(xiàn)數(shù)學的工具性和應用性，并在實踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗教訓，對在實驗課程中介紹哪些內(nèi)容、怎樣實施、如何對學生進行評價進行了探索和研究．

1 數(shù)學實驗的內(nèi)涵

數(shù)學實驗是在計算機系統(tǒng)的幫助下，利用數(shù)學軟件工具解決數(shù)學問題的一種教學手段，是將數(shù)學科學轉(zhuǎn)化為數(shù)學技術(shù)的主要途徑[4]．數(shù)學實驗需要在安裝數(shù)學軟件的計算機機房進行，是高等數(shù)學課堂教學的補充，它既可以作為一門獨立的課程，也可以融入到數(shù)學課堂教學中，作為課堂教學內(nèi)容的一部分．數(shù)學實驗包括基礎實驗和建模實驗，基礎實驗是注重基本數(shù)學運算的實驗；建模實驗是注重解決實際問題的實驗．每個實驗專題都由實驗目的、實驗準備、實驗任務、實驗過程、思考與練習5個部分組成，其中的實驗任務是實驗專題的核心，由“基礎實驗和建模實驗”共同組成．數(shù)學實驗將數(shù)學知識、數(shù)學建模與計算機應用有機地結(jié)合起來，使數(shù)學不僅僅局限于數(shù)學的證明和計算技巧的訓練，而是更注重于借助數(shù)學軟件解決專業(yè)實際問題[5]．

2 數(shù)學實驗的教學設計

2.1 數(shù)學軟件的選取

數(shù)學實驗可選用多種數(shù)學軟件，Mathematica軟件系統(tǒng)是目前世界上應用最廣泛的符號計算系統(tǒng)之一，提供了與Matlab和Maple等著名數(shù)學軟件同樣強大的功能，主要功能包括3個方面：符號演算、數(shù)值計算和繪圖．由于Mathematica界面直觀、文件小巧，易于安裝，因此研究者將Mathematica軟件包作為主要教學內(nèi)容．

2.2 數(shù)學實驗內(nèi)容和高等數(shù)學教學內(nèi)容的關(guān)系

將Mathematica軟件包融入到高等數(shù)學各章節(jié)的計算方法中，只要求學生掌握高等數(shù)學計算的原理和最基本的計算方法，對需要應用技巧或計算量比較大的計算，要求學生應用數(shù)學軟件解決．高等數(shù)學課時有限，將數(shù)學軟件的計算方法適時引入，不僅可以節(jié)省大量用于介紹各種計算方法和計算技巧的課時，而且可以提高解題速度和解題的準確度．學生在專業(yè)實際問題中遇到的數(shù)學計算往往數(shù)據(jù)量大，復雜度高，如果沒有數(shù)學軟件，那么沒有一定數(shù)學功底的人是算不出來的．現(xiàn)在學生借助計算機解決了計算問題，就可以把精力投入到分析問題的過程中[6]．在高等數(shù)學每個單元教學中增加數(shù)學建模實驗內(nèi)容，就是讓學生體驗數(shù)學工具在實際應用中的作用，借助數(shù)學軟件應用數(shù)學解決實際問題，提高數(shù)學應用能力．下面以積分與應用為例說明如何結(jié)合高等數(shù)學進行數(shù)學實驗．

（1）實驗目的．

理解不定積分、定積分的概念，熟練掌握Mathematica軟件求不定積分、定積分的命令，并會運用數(shù)學軟件解決實際問題．

（2）實驗準備．

Integrate[f, x]計算函數(shù)f [x]的不定積分，也可以使用BasicInput模板上的不定積分符號；

（3）實驗任務．

基礎實驗：求函數(shù)的不定積分和定積分的Mathematica軟件命令

建模實驗：暴雨期間平均降雨量問題

某地區(qū)在夏天經(jīng)常受到暴雨的侵害，為了做好災害的預防工作，通過以往暴雨期間的統(tǒng)計資料，得出一條河流在延續(xù)了12.5小時暴雨期間的流量曲線（如圖1），暴雨覆蓋的面積是100 km2，計算在暴雨期間的平均降雨量是多少[7]？

圖1 暴雨降水量

（4）實驗過程．

基礎實驗過程是要求學生在計算機上利用Mathematica軟件運行不定積分和定積分的命令，得出結(jié)果．建模實驗則需要對實際問題進行分析，建立數(shù)學模型，再利用Mathematica軟件進行計算．

（5）思考與練習．

通過實驗體會數(shù)學軟件的運行方法，總結(jié)有幾種方法可以實現(xiàn)積分計算，并思考如果數(shù)學軟件命令不能求出某函數(shù)的原函數(shù)，是否說明該函數(shù)不可積，當定積分函數(shù)中含有參數(shù)，數(shù)學軟件命令能否對其求定積分．通過思考與練習熟練掌握數(shù)學軟件的應用．

2.3 數(shù)學實驗內(nèi)容的課時分配

數(shù)學實驗內(nèi)容包括數(shù)學基礎實驗和數(shù)學建模實驗兩部分，基礎實驗主要以數(shù)學軟件的學習和應用為主，運用Mathematica軟件進行求導、積分、求解微分方程、級數(shù)等計算．數(shù)學建模實驗是以實際問題為載體，運用數(shù)學軟件工具解決實際問題，主要培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新能力和應用能力[8]．數(shù)學實驗具體內(nèi)容和課時分配如表1：

表1 數(shù)學實驗具體內(nèi)容和課時分配

3 數(shù)學實驗的教學實施

3.1 基礎實驗的教學

（1）以Mathematica的符號運算系統(tǒng)為依據(jù)，掌握算微積分的計算．

高等數(shù)學中微積分教學的一個重點就是極限、導數(shù)、積分的計算方法，這一部分公式多，技巧性強，雖然教師在計算技巧的講解上花費了大量的課時，學生仍然感覺學習困難．Maryland大學的M. Kathleen Heid是最早運用Mathematica調(diào)整微積分課程結(jié)構(gòu)的，傳統(tǒng)課程的學生必須學會微積分計算技巧才能考慮更多的應用，而計算機的使用可以使學生在掌握計算技巧之前就能利用計算機解決應用問題[9]，Mathematica強大的計算功能使微積分的計算變得非常簡單，結(jié)合Mathematica數(shù)學實驗進行微積分的教學，不僅可以提高學生學習興趣，還可以提高學生的學習效率，在有限的課堂教學時間內(nèi)使學生掌握更多的數(shù)學知識和計算技能．

圖2 計算（一）

圖3 計算（二）

（2）驗證高等數(shù)學中的定理公式，加深對數(shù)學知識理解．

圖4 函數(shù)圖像（一）

圖5 函數(shù)圖像（二）

再利用Mathematica解方程，得出ξ值，如圖6．

圖6 計算（三）

其中的實數(shù)解就是滿足拉格朗日中值定理的ξ，約為1.336 65．

（3）將數(shù)值計算與數(shù)學建模相結(jié)合，提高數(shù)學的應用能力．

數(shù)值計算方法是一種研究并解決數(shù)學問題的數(shù)值近似解的方法，是在計算機上使用的解數(shù)學問題的方法，數(shù)值計算方法的計算對象是微積分、線性代數(shù)、常微分方程中的數(shù)學問題，包括插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線性方程組的直接法和迭代法、常微分方程的數(shù)值解等問題．數(shù)值計算是從理論到實際的一個重要橋梁，在計算機成為數(shù)值計算的主要工具以后，應用數(shù)學方法解決實際問題的過程變?yōu)椋簩嶋H問題→數(shù)學模型→計算方法→程序設計與上機計算[10]．數(shù)值分析主要研究數(shù)學問題的數(shù)值方法和理論，數(shù)學建模通常作為應用數(shù)學的任務，數(shù)學實驗為數(shù)學建模內(nèi)容的教學提供了工具．數(shù)值計算是比較復雜的算法，學生在學習上往往感覺比較枯燥，將數(shù)值計算與數(shù)學建模結(jié)合起來，對于與學生所學專業(yè)有關(guān)的問題，他們迫切地想了解如何通過數(shù)學方法獲得問題的解答，因此可以增強學生的學習積極性，應用Mathematica軟件進行計算減少了計算的復雜性，可以幫助學生順利解決實際問題，對提高學生的數(shù)學應用能力有很大幫助．

3.2 建模實驗的教學

建模實驗也稱為運用數(shù)學技術(shù)的探索性實驗，是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁，是數(shù)學實驗從廣度和深度上的進一步深入和提高，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數(shù)學的價值和作用，有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力．

建模實驗內(nèi)容一方面來自教材中的問題原型，另一方面來自生活和專業(yè)實際問題．數(shù)學作為思想與技術(shù)兼顧的學科主要是為了解決實際問題，而數(shù)學建模正是通過識模、析模、建模、解模、驗模的過程，將實際問題數(shù)學化，通過使用數(shù)學工具來解決實際問題[11]．

在建模實驗教學中應注重實驗的適當性、開放性和趣味性，把握好以下幾個教學環(huán)節(jié)：

（1）創(chuàng)設問題情境，把握問題的適當性．

高等數(shù)學實驗中的數(shù)學建模問題應盡量結(jié)合專業(yè)，結(jié)合生活實際，可以從教材中搜集素材，挖掘教材中數(shù)學問題的生活模型，也可以是專業(yè)問題，比如在學完導數(shù)應用中的最值問題時，可以引導學生討論最佳訂貨批量問題．教師創(chuàng)設問題情景，工廠為了生產(chǎn)必須儲存一些原料，如果把全年所需原料一次性購入，則不僅占用資金、占用庫存，還會增加保管成本．但是如果分散購入，則因每次購貨都會有固定成本（與購貨數(shù)量無關(guān)），而使費用增大．現(xiàn)在希望找到一個兩全其美的訂購原料的方案．針對這一問題要求學生建立模型并求解．在設計數(shù)學建模實驗內(nèi)容時，應盡量結(jié)合學生已學的課程內(nèi)容，所選問題難度適中，數(shù)值處理過程也應當較為簡單，降低數(shù)學建模的“門檻”，使數(shù)學建模任務接近大多數(shù)學生的數(shù)學水平．

（2）以小組交流學習為主，體驗數(shù)學的應用價值．

數(shù)學建模問題由于其條件和結(jié)果的開放性，需要花費較多的時間思考，因此實驗任務一般在課前就布置給學生進行準備，實驗分小組進行，一般3人一組，小組成員在課下共同搜集材料，進行建模．比如住房按揭貸款問題：某人想要購買一套價值100萬元的三室一廳商品房，他自籌了40萬元，要購房還需要貸款60萬元，他準備辦理公積金貸款，按照最新公積金貸款利率，貸款30年的年利率為4.50%，那么這個人需要具備什么償還能力才能貸款？這就需要學生自己去查詢銀行貸款的各項數(shù)據(jù)，通過計算月利率，月還款額，對模型進行求解，并將模型推廣，制定出個人住房公積金貸款萬元還本息金額表．由于大學生畢業(yè)后的頭等大事就是購房，因此通過研究這一問題可以使學生更加體會到數(shù)學的應用價值．

（3）歸納總結(jié)，深化教學目標．

指導學生歸納總結(jié)，撰寫建模論文．建模論文是學生對建模過程的濃縮和記錄，是用數(shù)學語言表述問題解決過程的基本形式，通過建模論文的撰寫，加深對數(shù)學知識的認識和理解，深化教學目標．數(shù)學建模實驗是一個從實際到數(shù)學，再從數(shù)學到實際的過程，在學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的整個過程中，是對學生進行的一種全面的科研實踐和訓練活動，在提高學生的綜合應用和分析能力、語言表達和科技論文寫作能力、洞察力、想象力、團結(jié)協(xié)作和創(chuàng)新精神等方面都起了一定的作用．

4 數(shù)學實驗的評價

數(shù)學實驗內(nèi)容是開放的，學生可以做老師布置的數(shù)學實驗任務，也可以進行擴展和探究，因此數(shù)學實驗成績的評定應更具有開放性和靈活性．教師將學生成績分上機實驗成績、實驗報告成績和建模論文成績3方面進行評定．

學生成績=上機實驗成績×30%＋實驗報告平均成績× 30%＋建模論文平均成績×40%．

（1）上機實驗成績．

基礎實驗主要學習Mathematica軟件的應用，在學期結(jié)束時進行上機考試，要求學生在2課時的時間內(nèi)將所學過的命令自擬題目進行運用并提交．

（2）實驗報告成績．

基礎實驗要求學生上交實驗報告，根據(jù)基礎實驗的目的，制定了實驗報告評分標準，要求學生每次上機實驗后寫出數(shù)學實驗報告．數(shù)學實驗報告評分標準如表2：

表2 數(shù)學實驗報告評分標準

（3）建模論文成績．

建模實驗要求按照建模論文格式提交建模論文，建模論文評分標準如表3：

表3 建模論文評分標準

撰寫建模論文雖然難度較大，但是可以通過小組合作完成，每個學生都能發(fā)揮自己的特長，如搜集信息、計算、分析、寫作等．這種評價其實也包含了對學生的分工合作能力、團結(jié)協(xié)作精神等情感因素的評價[12]．

5 數(shù)學實驗的教學效果

（1）提高了學生的數(shù)學學習興趣，加深了對數(shù)學知識的理解．

數(shù)學實驗課的開設為濰坊學院數(shù)學教學改革帶來了生機和活力，不僅使學生體會到了數(shù)學的應用價值，同時也提高了學生學習數(shù)學的興趣，加深了對數(shù)學知識的理解．很多學生談到了數(shù)學實驗給他們數(shù)學學習帶來的驚喜：“原來對數(shù)學不感興趣，一看數(shù)學計算就頭疼，沒想到數(shù)學實驗能用計算機學數(shù)學，原來費半天勁用那么多技巧才能算出來的極限、導數(shù)、積分等問題，現(xiàn)在用Mathematica一下就算出來了，真是太神奇了！并且用它解決了很多實際生活中的問題，是數(shù)學實驗使我們重新認識了數(shù)學！”

（2）數(shù)學建?；顒訌V泛開展．

數(shù)學實驗課程的開設使學生更多地了解到數(shù)學建模的知識，為此學校還開設了數(shù)學建模實訓課程選修課和組建了數(shù)學建模協(xié)會，得到了學生們的積極響應，為數(shù)學建模愛好者提供了一個展示才華的舞臺，激發(fā)了他們的創(chuàng)造力、創(chuàng)新力，加強了他們的實踐應用能力，培養(yǎng)了他們的團隊精神和拼搏精神，帶動了他們參加“全國大學生數(shù)學建模競賽”的熱情，為大學生科技創(chuàng)新活動開闊了新天地[13]．

6 總 結(jié)

在高等數(shù)學課程中開設數(shù)學實驗教學的研究為廣大數(shù)學教育工作者提供了新的視角，事實證明數(shù)學實驗教學是學生應用數(shù)學解決實際問題的最佳途徑，是數(shù)學教育的自身目標和社會目標的最完美結(jié)合；是培養(yǎng)創(chuàng)新型、應用型和復合型人才的最佳載體[14]．數(shù)學實驗開展以來為高等數(shù)學課程帶來了活力，提高了學生學習數(shù)學的興趣，加深了對數(shù)學知識的理解，深化了數(shù)學知識的應用，同時數(shù)學實驗課程的開設使學生們更多地了解到數(shù)學建模的知識．數(shù)學建?；顒幼鳛橐豁椏萍紕?chuàng)新活動，受到了學生們的積極響應，為數(shù)學建模愛好者提供了一個展示才華的舞臺，激發(fā)了他們的創(chuàng)新力、加強了他們的實踐應用能力、培養(yǎng)了他們的團隊精神和拼搏精神，帶動了大學生參加“全國大學生數(shù)學建模競賽”的熱情，為大學生科技創(chuàng)新活動開闊了新天地．

雖然數(shù)學實驗在高等數(shù)學教育中所起的作用及價值已得到證實，但是數(shù)學實驗課如何體現(xiàn)“工學結(jié)合”，如何將數(shù)學知識與專業(yè)知識進一步融合還有待于研究．隨著教育教學改革的深入發(fā)展，相信這門創(chuàng)新性的課程一定會在培養(yǎng)和造就各類專門人才中發(fā)揮更大的作用．

[1] 郭迎春．實驗與教學相結(jié)合改革高等數(shù)學教育模式[J]．數(shù)學教育學報，2008，17（3）：76-77．

[2] 曾憲林，李明振．高校數(shù)學建模方法的教學策略研究[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（6）：88-90．

[3] 劉麗穎，黃翔．美國數(shù)學教材中的“動手做”[J]．數(shù)學教育學報，2005，14（2）：53-55．

[4] 曹一鳴．數(shù)學實驗教學模式探究[J]．課程·教材·教法，2003，（1）：46-48．

[5] 周瑋．融數(shù)學實驗于高職數(shù)學教學的實踐與研究[J]．數(shù)學教育學報，2010，19（6）：79-81．

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[11] 洪雙義．一種新型數(shù)學教育方式的探索——“數(shù)學建模教學”實驗小結(jié)[J]．數(shù)學教育學報，2003，12（2）：91-94．

[12] 趙建昕．提高數(shù)學建模能力的策略研究[J]．數(shù)學教育學報，2004，13（3）：50-52．

[13] 張雙德，楊燦榮．大學生數(shù)學建模競賽與高等數(shù)學教育改革[J]．數(shù)學教育學報，1999，8（3）：64-66．

[14] 王光明．高效數(shù)學教學行為的特征[J]．數(shù)學教育學報，2011，20（1）：35-38．

Exploration and Research of Developing Experiment Teaching in Higher Mathematics Course

GAO Jie1, ZHOU Wei2
(1. School of Mathematics and Information Sciences, Weifang University, Shandong Weifang 261061, China; 2. Basic Research Department, Jinan Engineering Vocational & Technical College, Shandong Jinan 250200, China)

In this paper, the connotation of developing mathematics experiment teaching in the higher mathematics course and the teaching content、teaching design、teaching implementation、evaluation method are studied. The mathematical experiment contents are designed combining with the teaching content of Higher Mathematics, the mathematics experiment is divided into basic experimental and modeling experimental, through specific examples illustrate key steps using Mathematics software for mathematical experiment, and the concrete implementation of the mathematics experiment is discussed in detail.

higher mathematics; mathematical experiment; mathematical modeling; mathematics software

G642.0

：A

：1004–9894（2015）03–0086–05

[責任編校：周學智]

2014–12–30

山東省自然科學基金項目（ZR2011AL008；ZR2012AM017）；山東省職成教“十二五”規(guī)劃課題——以提高質(zhì)量為重點的高職數(shù)學教學改革創(chuàng)新研究（2011ZCJG056）；濰坊市科技發(fā)展計劃項目（201101133）

高潔（1971—），女，山東濰坊人，副教授，碩士，主要從事微分方程、數(shù)學學科教學研究．