●倪新華 (湖州中學 浙江湖州 313000)

老 樹 開 花 枯 木 逢 春
——一道立體幾何高考題的課堂生成教學實錄

●倪新華 (湖州中學 浙江湖州 313000)

前段時間遇到一位剛剛步入教壇的年輕教師，發(fā)現(xiàn)他備課特別認真，幾乎把整堂課要說的話全都寫在了教案里，當然，對一位新教師來說，這也不失為一種好方法.然而，在實際的數(shù)學教學中，卻永遠無法預料課堂將要發(fā)生什么.但或許正是這樣的難以預料才是課堂活力的源泉，才是教師夢寐以求的快樂.

作為培養(yǎng)學生空間思維的重要載體——立體幾何，一直是一些學生難以駕馭的內(nèi)容之一，因此也是教學的重點.最近，筆者準備借助一道浙江省高考題的教學，對立體幾何中線面角的計算進行復習，然而……

師:同學們，前面我們學習了直線和平面所成角的定義，大家說說看，我們一般是怎么作這個角的?

生(齊聲):直線上取一點作平面的垂線，再把垂足和斜足連起來……

師:很好!那么當這個角不太好作時，我們還有哪些方法可以彌補?

生1:體積法.

生2:空間向量法.

師:嗯，不錯!看來，大家對這個內(nèi)容開始熟悉起來了，理論知識已經(jīng)掌握得差不多了，不知道實戰(zhàn)效果如何?今天我?guī)砹艘粋€問題，大家一起來研究研究吧!

圖1

幻燈片(2007年浙江省數(shù)學高考理科第19題):在如圖1所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC= BC=BD=2AE，M是AB的中點.

1)求證:CM⊥EM;

2)求CM與平面CDE所成的角.

此時，學生躍躍欲試，開始解答.筆者巡視每個學生的解答情況，15分鐘以后……

師:好，我發(fā)現(xiàn)大家都做得差不多了，都有了自己認為正確的答案.有些甚至已經(jīng)迫不及待地想要分享自己的方法了.

師:在解決第1)小題之前，我先問大家一個問題，這個幾何體確定了嗎?

這時，一些學生突然坐直了身體，或腦袋往后仰，或瞇起了眼睛，開始思考……

生1:沒定吧，棱長都不知道.

生2:棱長可以設啊!

生(引起共鳴):有道理!點線面的位置關(guān)系好像都已經(jīng)確定了嘛!

師:是啊!事實上，在這個幾何體中，所有的點線面的位置關(guān)系都已經(jīng)確定，因此只要我們假設AE=a(其中a＞0)的話，它就是一個完全固定的幾何體了.我們首先討論第1)小題，如何證明CM⊥EM?

生1:利用勾股定理.

師:不錯!由于CM與EM相交，很自然地將它們放入一個三角形內(nèi)，通過計算3條邊的長，利用勾股定理判斷即可.

生2:利用CM⊥平面ABDE.

師:很好!因為可以證明CM⊥AB，CM⊥EA，且AB與EA相交.

生3(插嘴):還可以利用空間向量.

師:嗯!當然可以啦!那么接下來我們討論第2)個小題:CM與平面CDE所成的角.剛才我發(fā)現(xiàn)有位同學算得最快，簡直神速，來，你來回答一下，你的答案是多少?

生4(略帶驕傲):45°.

此時，班里其他學生投去羨慕的目光!

師:嗯，好!剛才我發(fā)現(xiàn)，在你做好后10分鐘，一些同學還在拼命計算，那你說說看，你是怎么做到這么快的?

生4:因為平面EAC⊥平面ABC，所以點M在平面EAC上的射影落在AC上，因此CM與平面CDE所成的角就是∠MCA=45°.

生5:要求的不是CM與平面CDE所成的角嘛，你求的是CM與平面EAC所成的角了!

生4(有點緊張):難道它們不是同一個平面嗎?

師:這個問題問得好!接下來我們不妨來討論一下，這2個平面到底是不是同一個平面?

學生在下面開始七嘴八舌，有的說是，有的說不是，筆者一一請他們發(fā)言.

生:我是憑感覺的，看上去應該是同一個平面嘛!

師:嗯!雖然感覺不一定準，但有時也是需要的!不過感覺終歸是感覺，沒有說服力，你們說對嗎?

生:對，我感覺他們就不是同一平面的!

其他學生發(fā)出了贊同的笑聲.這時一位學生要求發(fā)言:老師，我不是憑感覺的，我是用其他方法算的，答案也是45°，我覺得應該是同一個平面吧!

師:同一條直線與2個平面所成的角相等，它們一定是同一個平面嗎?

圖2

生:不一定吧!貌似可以對稱的!

師:講得很對!畫個圖大家就明白了(黑板上展示圖形，如圖2所示).

生:嗯!在中間那個對稱平面上的直線和2個平面所成的角應該是相等的.

師:因此不能用這個方法來判斷啊!那么，還能用什么方法來判斷呢?

生:空間向量，只要求出它們的法向量，看是不是共線!

師:有道理!如果共線，加之這2個平面有2個公共點C，E，那么它們一定是同一個平面，反之，如果法向量不共線，那么它們就是不同的平面.

生:老師，我是以點C為坐標原點、以CA，CB分別為x軸和y軸、過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸建立直角坐標系 C-xyz，求出了平面CDE的一個法向量n=(1，2，－2)，而平面EAC的一個法向量是m=(0，1，0)，顯然它們不共線.

師:嗯!有道理啊!看來這2個平面應該不是同一個平面，那么還有沒有其他的佐證，可以進一步堅定我們的信念?我們能不能構(gòu)造一個二面角來判斷?

生:對啊!老師，我知道!可以構(gòu)造二面角A-EC-D，通過求它的平面角，如果是180°或0°，那說明是同一個平面，否則就不是.

師:你的想法很對!那下面大家來求一下二面角A-EC-D的平面角吧!

學生們開始忙碌起來，有的作角，有的計算，有的沉思，教室里分外熱鬧.5分鐘以后……

師:我們發(fā)現(xiàn)，其實這個二面角的平面角直接作很困難.

生(齊聲):是的!

師:當直接作二面角的平面角有困難時，我們還有哪些辦法?

生(齊聲):體積法!向量法!

師:好!我們先用向量法來求，請你們來說說!

生1:設此二面角的平面角為θ，2個半平面的法向量分別為n=(1，2，－2)，m=(0，1，0)，可得

師:接下來，我們再用體積法試試，誰來分享一下?

生2:過點D作DO⊥平面EAC于點O，再過點O作OF⊥EC于點F，聯(lián)結(jié)DF，在Rt△DOF中，∠DFO=α即為二面角A-EC-D的平面角的補角.接下來想辦法求出DO和DF，我已經(jīng)通過△CDE的3條邊長，發(fā)現(xiàn)它是非特殊三角形，因此先利用余弦定理求出∠DCE的余弦，再求出它的正弦，然后利用等面積法求得邊CE上的高，再利用DO即點D到平面EAC的距離.又DB∥EA，那么點D到平面EAC的距離就是點B到平面EAC的距離，即d=BC=2a，因此如圖3所示.

圖3

師:想到了用平行線轉(zhuǎn)移，很好!你的這個轉(zhuǎn)移使我產(chǎn)生了一個想法，既然DB∥EA，點D到平面EAC的距離d=BC= 2a≠0，這一點是不是足以說明點D不在平面EAC上呢?

生2:對啊，恍然大悟!

此時，有些學生捶胸頓足，大聲感嘆:原來如此啊!

師(總結(jié)):非常好!剛才我們通過各種辦法，證明了它們不是同一個平面!以后對類似的問題可不能憑感覺、想當然啦!要看仔細了再來算哦!可惜剛才那位同學，正確的答案錯誤的方法，簡直不可思議!實屬巧合啊!

師:對了，有些走遠了，我們要做的第2)小題是求CM與平面CDE所成的角，可不能用平面EAC來代替平面CDE了!言歸正傳，可以直接作線面角嗎?

生1:行，肯定是行的，但不好作，有困難.

師:那不直接作的話，可以間接作嗎?

生2:那就是體積法了，只需要求出點M到平面CDE的距離就可以了.

師:我們應該利用哪2個三棱錐的體積?

生3:VM-CDE=VC-DEM即可.

師:嗯，不錯!就是這2個三棱錐.這是間接作，也就是作而不算，那么不作可以嗎?

所以這個角是45°.

師:很好!現(xiàn)在我給大家一個挑戰(zhàn)——過點M直接作平面CDE的垂線.

(學生開始苦思冥想.)

師(提示):想想我們可以得到垂線的定理.

生5:面面垂直的性質(zhì)定理.

師:很好，利用這個定理的關(guān)鍵是要找到含點M的一個平面，而這個平面又與平面CDE垂直.

生6:找到了，過點C作CF⊥DE，聯(lián)結(jié)MF，再過點M作MH⊥CF，可以證明MH⊥平面CDE.

學生經(jīng)過思考，覺得不錯，MH確實是平面CDE的垂線，大家對他的做法贊嘆不已.

師:確實如此，不過我們都很想知道你是怎么想到這樣去作的?

生6:我先是注意到了CM⊥平面ABDE，從而CM⊥DE，那么再過點C作一條垂直于DE的直線的話，DE就會垂直于包含M的一個平面了，于是就有了上面這種作法了.

師:非常棒!原來如此，其實這種作法也挺自然.接下來我們要算的角就是∠FCM，而在Rt△FCM中，只需要算FM即可，大家可以算算看.

師:好了，今天這節(jié)課我們在求解一個線面角時，偶然遇到了判斷2個平面是否共面的問題，我們最終通過多種方法加以判斷，同時復習了線面角和二面角平面角的求解策略.我發(fā)現(xiàn)，同學們肯動腦、勤計算，表現(xiàn)不錯!

課后反思 本節(jié)課中的這道題很容易從直覺上認為平面EAC和平面CDE是同一個平面，而且巧合的是2者答案一致.然而這確實不是同一個平面，在以往的教學過程中，筆者要么直接說它們不是同一個平面，要么因為不能確定而直接避開，根本沒有對這2個平面的位置關(guān)系作深入細致的分析.事實上，這樣深入細致的分析，即復習了相關(guān)知識點，又可以訓練學生對數(shù)學所學知識——二面角和空間向量的應用技巧，培養(yǎng)學生嚴謹科學的數(shù)學應用意識，真正實現(xiàn)“明體達用”的思想理念.

筆者原本在備課時還準備了一道題，但是課堂上由于學生提出了“為什么這2個平面不是同一個平面”的問題，順藤摸瓜，順勢對這個問題作了進一步研究，因此第2)小題就來不及分析了.事實上最后發(fā)現(xiàn)，這樣的過程不僅激活了課堂活力，而且提升了學生在數(shù)學方面的學習力，反而因“禍”得福了.