●黃兆麟 (天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 天津 300456)

一道不等式習(xí)題的探究性學(xué)習(xí)

●黃兆麟 (天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 天津 300456)

求差法是證明不等式最基本的理論方法之一.雖然是最基本的，但其中也同樣能孕育出創(chuàng)新元素.例如人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)選修4-5)》“不等式選講”第41頁習(xí)題3.2第6題:

例1 設(shè)x1，x2，…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=1，求證:

本題是教材柯西不等式的課后習(xí)題，編者的目的很明顯，是希望人們能用柯西不等式解決該題.今天我們希望有所創(chuàng)新，看看不用柯西不等式，只用簡單基本的求差法，到底能不能解決該題.

數(shù)學(xué)家華羅庚在他的名著《數(shù)學(xué)歸納法》中曾教導(dǎo)我們，要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅!

1 探究

1.1 退

我們先“退”到三元的情形.

例2 設(shè)x1，x2，x3∈R+，且x1+x2+x3=1，求證:

證明 由不等式(2)的全對(duì)稱性，不妨設(shè)x1≥x2≥x3，則

故不等式(2)成立.

師:以上證法有2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是三元排序后，不等式左、右2邊必須平均分配作差;二是平均作差后，表達(dá)式M1中有左、中、右3項(xiàng)，其中的左項(xiàng)非負(fù)，中項(xiàng)符號(hào)不確定，而其中的右項(xiàng)非正，以中項(xiàng)為平衡點(diǎn)(即中項(xiàng)不動(dòng))，左、右2項(xiàng)可同時(shí)同向放縮即達(dá)目的，我們不妨稱這種放縮法為“正負(fù)同向放縮法”(或稱為“左右平衡放縮法”).有道是:有正項(xiàng)，有負(fù)項(xiàng)，放縮之后同方向;左右正負(fù)不相同，放縮中間找平衡.

生1:此法很實(shí)用，回避了利用高等不等式以及絕妙的配湊技巧，連初中生都能接受.

1.2 進(jìn)

我們?cè)佟斑M(jìn)”到四元的情形.

例3 設(shè)x1，x2，x3，x4∈R+，且x1+x2+x3+x4=1，求證:

生2:老師，在四元不等式中，我們到底應(yīng)該選哪一項(xiàng)為平衡點(diǎn)，是第2項(xiàng)還是第3項(xiàng)?

師:這個(gè)問題問得好，在三元情形中，肯定是選中項(xiàng)，因?yàn)橹许?xiàng)的符號(hào)不確定，是不進(jìn)行放縮的.但對(duì)于四元情形，首次排序后，應(yīng)該有2項(xiàng)符號(hào)不確定，即第2項(xiàng)和第3項(xiàng)，故應(yīng)有2個(gè)平衡點(diǎn).

證明 由不等式(3)的全對(duì)稱性，不妨設(shè)x1≥x2≥x3≥x4，則

故不等式(3)成立.

師:以上證明過程原來要進(jìn)行2次放縮!其中第1次放縮后需要將前2項(xiàng)及后2項(xiàng)分別合并，合并后的新2項(xiàng)符號(hào)可確定，前項(xiàng)非負(fù)，后項(xiàng)非正，再進(jìn)行一次放縮，不等式右邊即可歸零.

1.3 證明

現(xiàn)在我們來證明n(其中n≥3)元情形.

生3:老師，對(duì)于n(其中n≥3)元情形，是不是應(yīng)該有n－2個(gè)平衡點(diǎn)，這樣就將要放縮n－2次，是否太麻煩了?

師:你的擔(dān)心也不無道理，如果是這樣的話，左右平衡放縮法在多元情形中就將失去生命力，那么只能解低元情形了.但車到山前必有路，對(duì)于n元情形，我們可以根據(jù)n個(gè)元的算術(shù)平均值來確定一個(gè)平衡點(diǎn)的位置，這個(gè)平衡點(diǎn)可以在n元中，甚至可以不在n元中!

至此，表達(dá)式M中共有n個(gè)差項(xiàng)，其中前m個(gè)差項(xiàng)分子均非負(fù)且遞減，同時(shí)后n－m個(gè)差項(xiàng)分子均非正且遞減.又注意到

故不等式(1)成立.

生4:太棒了!老師，我覺得對(duì)于證明n元情形，這種證法叫“正負(fù)同向放縮法”很恰當(dāng)，其中共有m個(gè)非負(fù)項(xiàng)，n－m個(gè)非正項(xiàng)，可同時(shí)同向放縮，而更神奇的是，這個(gè)m，我們并沒有求出其值，而是設(shè)而不求!數(shù)學(xué)真是太美妙了!

師:說得好!對(duì)于三元情形，求差后表達(dá)式M中共有左、中、右3項(xiàng)，故可稱此法為“左右平衡放縮法”.而對(duì)于n元情形，稱為“正負(fù)同向放縮法”更貼切!在n元情形中，正是由于這個(gè)n并未給出具體的數(shù)值，具有抽象性，理論上我們才得以確定出相應(yīng)(抽象的)m的位置;如果給出n的具體數(shù)值，反而不好確定相應(yīng)(具體的)m的值了.這正是數(shù)學(xué)的抽象性給人帶來的美感!

對(duì)于數(shù)學(xué)美，我們應(yīng)該及時(shí)體會(huì)它，不斷認(rèn)識(shí)它，處處挖掘它，積極利用它.有道是:雅懷深得花中趣，妙慮時(shí)聞筆里香.

2 應(yīng)用

正負(fù)同向放縮法具有較大的應(yīng)用空間，它特別適合全對(duì)稱代數(shù)不等式或三角不等式的證明.下面先證明一道含上界的全對(duì)稱代數(shù)不等式.

例4［1］已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，證明:

原證法利用了2次代數(shù)換元，又通過構(gòu)造三角形的方法，最后利用了一個(gè)三角不等式才完成證明，過程曲折繁復(fù)，人為地抬高了難度.現(xiàn)在我們利用正負(fù)同向放縮法給出其初等簡證.

即可.由不等式(5)的全對(duì)稱性，不妨設(shè)x≤y≤z，則

且y2+z2－2x2≥0及x2+y2－2z2≤0.設(shè)不等式(5)左、右2邊之差為M2，則

即不等式(5)成立，從而

即不等式(4)成立.

下面再證明一道全對(duì)稱三角不等式題.

例5 在△ABC中，已知△ABC的面積為S，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則

文獻(xiàn)［2］利用一個(gè)引理以及許多三角公式才給出以上不等式鏈(6)的一個(gè)證明，這里僅用正負(fù)同向放縮法即給出不等式鏈(6)的優(yōu)化簡證.

證明 首先證明鏈(6)中第1個(gè)不等式.

由鏈(6)中第1個(gè)不等式的全對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則

且a2－bc≥0及c2－ab≤0.又設(shè)鏈(6)中第1個(gè)不等式左、右2邊之差為M1，則

即鏈(6)中第1個(gè)不等式成立.下面再證鏈(6)中第2個(gè)不等式.由鏈(6)中第2個(gè)不等式的全對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則

即鏈(6)中第2個(gè)不等式成立.

3 總結(jié)

正負(fù)同向放縮法具有一般性，特別適合一類全對(duì)稱三角(或代數(shù))不等式的證明，以證明三角不等式為例，我們可歸納總結(jié)出如下4個(gè)主要步驟: 1)利用全對(duì)稱性，首先不妨設(shè)3個(gè)內(nèi)角滿足A≥B≥C，且同時(shí)有及，并令待證不等式左、右2邊之差為M;

2)將不等式2邊各項(xiàng)對(duì)應(yīng)地平均分配作差得M=h(A，B，C); 3)利用及將h(A，B，C)中含A和C正負(fù)(符號(hào))相反的左、右2項(xiàng)同時(shí)進(jìn)行一次同向不等式放縮(含B的中項(xiàng)不進(jìn)行放縮)，得到含B的相同因子的3項(xiàng)后合并(有些題目此步還需分類討論，有些題目則不需要);

4)利用一個(gè)熟知(或已知)的不等式再進(jìn)行一次不等式放縮，最終得到M≥0.

4 思考

當(dāng)今的時(shí)代是需要人們不斷創(chuàng)新的時(shí)代.所謂創(chuàng)新，就是要敢于打破常規(guī)，要敢前人未敢想，干前人未敢干的事!不等式(1)的證明，按照常規(guī)的解法，應(yīng)該用柯西不等式的分式形式，即所謂的權(quán)方和不等式來證明的.而本文則是打破常規(guī)，以基本的求差法為平臺(tái)，開創(chuàng)出“正負(fù)同向放縮”的新思路.數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出:一個(gè)思路使用一次是技巧，使用多次就是方法.正負(fù)同向放縮法正是這樣誕生的新方法，其主要過程可概括為:平均分配作差，正負(fù)同向放縮.它的發(fā)現(xiàn)樸實(shí)自然，水到渠成，它并沒有包含什么新的公式、新的理論，都是用現(xiàn)成的技術(shù)組裝得到的.我們每一個(gè)數(shù)學(xué)工作者在日常的學(xué)習(xí)中，只要做一個(gè)有心人，都能在茫茫的解題過程中不時(shí)地、不斷地發(fā)現(xiàn)新思路、新方法.只有這樣，我們才能“有所發(fā)現(xiàn)，有所發(fā)明，有所創(chuàng)造，有所前進(jìn)”.最后，寫下美國阿波羅登月計(jì)劃總指揮韋伯說過的一句話，與同行們共勉:阿波羅計(jì)劃中沒有一項(xiàng)新發(fā)明的技術(shù)，都是現(xiàn)成的技術(shù)，關(guān)鍵在于綜合.

［1］ 李建泉.數(shù)學(xué)奧林匹克問題［J］.中等數(shù)學(xué)，2015(1):47-49.

［2］ 魏烈斌.a2+b2+c2≥bc+ca+ab≥的一個(gè)類似［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009(2):40.