何南榮 鐘結(jié)枚 王海青

【摘要】數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié). 本文通過對(duì)數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，建立數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的深廣度“方程式”和思維導(dǎo)圖“方程式”，有效地提高中學(xué)生分析和解決問題能力、數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力，進(jìn)而達(dá)到解題訓(xùn)練的效果. 實(shí)踐結(jié)果表明，其可行性和解答率均相對(duì)較高.

【關(guān)鍵詞】深廣度;思維導(dǎo)圖;數(shù)學(xué)解題;解題訓(xùn)練

隨著數(shù)學(xué)教育改革的不斷深入，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力已成為數(shù)學(xué)教育界討論的重大課題. 處在高考模式下的中學(xué)生的創(chuàng)新能力偏低現(xiàn)象已愈趨嚴(yán)重，亟待改革. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)當(dāng)中，解題訓(xùn)練對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)知，提高數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力起著重要的作用，因此，對(duì)數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的方法展開研究對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的改革有著深遠(yuǎn)的意義. 目前，國內(nèi)外已提出許多不同層次的解題策略，如波利亞等人已有大量而系統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題的研究成果，但對(duì)于如何進(jìn)行解題訓(xùn)練來說，其方法仍然達(dá)不到更加具體的訓(xùn)練效果. 本文力求適于目前中學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的基本狀況，對(duì)波利亞的解題方法加以改進(jìn)優(yōu)化，望能為教學(xué)改革和學(xué)習(xí)方法帶來更好的幫助，讓中學(xué)生在解題訓(xùn)練中更大程度上提高數(shù)學(xué)思維能力和培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

一、數(shù)學(xué)解題的結(jié)構(gòu)認(rèn)知

數(shù)學(xué)解題過程就是獲取信息、轉(zhuǎn)換信息和實(shí)現(xiàn)目標(biāo)信息的過程，具體是根據(jù)已知的條件信息，以目標(biāo)信息為目的，在知識(shí)儲(chǔ)備中以最熟悉的方式進(jìn)行全局搜索，找出條件與目標(biāo)的最佳匹配方式的過程.

數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)雖清晰明了，但“解題難”的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)當(dāng)中早已司空見慣，究其原因主要由知識(shí)點(diǎn)的牢固程度、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建程度、題型的量度和熟練程度、分析和思考的方向等五大方面造成，因此，克服“解題難”問題應(yīng)從這五方面展開探究，再結(jié)合波利亞的《怎樣解題》，本文認(rèn)為：一個(gè)完整的解題過程必須具備六大條件，即：

知識(shí)儲(chǔ)備：缺乏一定的知識(shí)量和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，解題便無法進(jìn)行. 只有儲(chǔ)備大量的基本知識(shí)點(diǎn)和構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，才能搭建解題的基本支架.

積極心態(tài)：對(duì)于復(fù)雜繁多的問題，往往會(huì)眼花繚亂，挫敗解題信心，干擾解題思維和判斷. 因此，在解題之前應(yīng)給予自己積極的心理作用，需找到一種戰(zhàn)斗而自信的狀態(tài)，如“我是肯定行”等. 當(dāng)然，遇到不會(huì)的問題，亦要有恰當(dāng)?shù)男睦戆凳?，如“不?huì)的問題才是解題訓(xùn)練的理由”等.

理清問題：理清問題中顯示和隱藏的條件并嘗試建立條件之間的聯(lián)系，弄清要解決什么問題，將其羅列出來，問題變得更清晰.

搜索方案：結(jié)合自己已有的知識(shí)，將條件和目標(biāo)轉(zhuǎn)換為最熟悉的數(shù)學(xué)表達(dá)方式，而后搜索出條件與目標(biāo)最佳的匹配方式（即建立條件與目標(biāo)的關(guān)系）. 當(dāng)所有條件都用上之時(shí)，解題便成功一大半，故在匹配過程中注意用上所有條件.

目標(biāo)實(shí)現(xiàn)：找到匹配方式之后，用數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語詳略得當(dāng)?shù)膶?zhǔn)確無誤的思路和計(jì)算結(jié)果淋漓盡致地表述出來.

反思總結(jié)：反思就是在解題之后思考“為什么想不到”“錯(cuò)在哪里”或“自己應(yīng)該怎樣改正”等. 總結(jié)即是將自己在解題過程中不會(huì)的知識(shí)點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)或奇妙之處等總結(jié)描述出來，并在更深層次上理解和熟練解題技巧.

二、數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)“方程式”

對(duì)于中學(xué)生和中學(xué)教師來說，數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練是其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，其主要通過解題訓(xùn)練獲取相關(guān)知識(shí)、鍛煉分析和解決問題的能力、培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維和獨(dú)特的創(chuàng)新能力等. 因此，在解題訓(xùn)練的過程中，應(yīng)注重訓(xùn)練方法的恰當(dāng)性. 本文在解題結(jié)構(gòu)的六大條件的基礎(chǔ)上提出下面解題訓(xùn)練的兩個(gè)基本模式.

1.數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的深廣度“方程式”

本文認(rèn)為：一個(gè)完整、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題是通過深廣度來分析和解決數(shù)學(xué)問題，即給定一道數(shù)學(xué)題，先通過廣度思考如何分析和解決問題，進(jìn)而嘗試發(fā)散思維找出不同的解法;通過深度思考針對(duì)相應(yīng)的問題條件嘗試提出多種更深層次的問題并能用類似方法解決. 因此，一個(gè)完整、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的“方程式”是由深度思考和廣度思考兩個(gè)支架構(gòu)成.

解題訓(xùn)練是一種過程，并不在于能否完全解決問題，只要按照解題深廣度“方程式”進(jìn)行，再加以思考后參考，亦能達(dá)到解題訓(xùn)練的效果. 在解題訓(xùn)練中，通過上面方程式的訓(xùn)練，可實(shí)現(xiàn)舉一反三的效果，鞏固基本知識(shí)點(diǎn)和相關(guān)題型的量度及熟練程度;以一種尋找和探索標(biāo)新立異、發(fā)散的思維方式進(jìn)行解題，培養(yǎng)學(xué)生的分析和創(chuàng)新能力.

解決數(shù)學(xué)問題難，但有時(shí)提出數(shù)學(xué)問題更難，通過上面“方程式”的建立，也可很好地在“提出問題難”和“解題難”的問題中得到有效的訓(xùn)練，有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)目標(biāo)，即提出和解決數(shù)學(xué)問題.

2.數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的思維導(dǎo)圖“方程式”

為了在更大程度上簡化問題的難度和更好地實(shí)現(xiàn)解題效果，本文以數(shù)學(xué)解題的結(jié)構(gòu)認(rèn)知中六大解題條件為基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)解題的思維導(dǎo)圖“方程式”：

圖1 思維導(dǎo)圖“方程式”

數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的思維導(dǎo)圖“方程式”是一種有效地簡化問題難度的“方程式”，可在一定的知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上理清問題的條件信息和目標(biāo)信息，并用積極的心態(tài)有效地簡化問題難度，較為直觀地進(jìn)行搜索最佳的匹配方式，最后進(jìn)行反思總結(jié)，從而達(dá)到高效的解題訓(xùn)練效果. 當(dāng)熟練思維導(dǎo)圖“方程式”到一定程度之時(shí)，便無須一一羅列，可直接進(jìn)入最優(yōu)的解題方式的狀態(tài).

三、例談兩個(gè)“方程式”在解題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的過程中，以解題深廣度作為思維訓(xùn)練藍(lán)圖，以數(shù)學(xué)解題思維導(dǎo)圖作為解題訓(xùn)練具體執(zhí)行者，可高效地實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)題型的解答，有效實(shí)現(xiàn)訓(xùn)練效果.

例 在△ABC中，CA⊥CB，OA=（0，-2），點(diǎn)M在y軸上且AM=12AB+AC，點(diǎn)C在x軸上移動(dòng).

（1） 求B點(diǎn)的軌跡E的方程;

（2） 過點(diǎn)F0，-14的直線l交軌跡E于H，G兩點(diǎn)，（H在F，G之間），若FH=12HG，求直線l的方程.

目標(biāo)層：B點(diǎn)的軌跡E的方程轉(zhuǎn)換設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，建立x與y的關(guān)系.

匹配層：結(jié)合條件相應(yīng)地轉(zhuǎn)換以及觀察它們之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)x0，y0，x，y之間已交錯(cuò)建立起等價(jià)關(guān)系，只需用代入法將其轉(zhuǎn)化為問題的目標(biāo)，即x與y的關(guān)系便可求解.

解析 （1） 將④代入①，可得其關(guān)系y=x2（x≠0），所以，點(diǎn)B的軌跡E的方程為y=x2（x≠0）;同理將④、⑤分別代入①、②、③，亦可得y=x2（x≠0），所以，點(diǎn)B的軌跡E的方程為y=x2（x≠0），總共有6種解法.

（2）與上題一樣，本文找到四種相應(yīng)的解法（除常規(guī)解法外，也可由A點(diǎn)在準(zhǔn)線上，利用準(zhǔn)線的性質(zhì)求解），因而，可得到滿足條件的兩條直線，其方程分別為：8x+43y+3=0，8x-43y-3=0.

深度思考

（1）①如圖1所示，在△ABC中，其條件與上題（1）一樣. 假設(shè)BC是一對(duì)情侶，BC的距離定義為容忍度，當(dāng)BC距離越大時(shí)，表示其越不能容忍對(duì)方，當(dāng)越接近時(shí)，表示越容忍對(duì)方，請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型說明雙方在什么時(shí)候才會(huì)在一起？（其模型實(shí)際上就是求軌跡問題，目標(biāo)是找到B和C軌跡的交點(diǎn)，把應(yīng)用和建模引進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力）

②在長方形ABCD中，CA⊥CB，OA=（0，-2），點(diǎn)M在y軸上且AM=12AB+AC，點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)，試求D點(diǎn)的軌跡.（先求B點(diǎn)軌跡，再建立B和D的關(guān)系而求得）

（2）①過點(diǎn)F0，-14的直線l交軌跡E于H，G兩點(diǎn)（H在F，G之間），若FH=12HG，求直線l的方程.（解法與（2）的解法類似）

②過點(diǎn)F0，-14的直線l交軌跡E于H，G兩點(diǎn)（H在F，G之間），設(shè)軌跡E的焦點(diǎn)I，若HI=12GI，求直線l的方程.（解法與（2）的解法類似）

反思與總結(jié) 本題中的（x≠0）是經(jīng)常忽略的細(xì)節(jié)，不易發(fā)現(xiàn)的原因是沒有整體上分析此題，注意函數(shù)問題中的定義域和值域優(yōu)先考慮的原則;通過不斷地聯(lián)想之前所學(xué)過的知識(shí)，建立好匹配方式，解決此問題的關(guān)鍵是對(duì)基本的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)熟悉程度，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.對(duì)于本題所要熟悉的知識(shí)點(diǎn)是：幾何向量與坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系和圓錐曲線的性質(zhì)等.

【參考文獻(xiàn)】

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