許寶祿

【摘要】據(jù)新課改精神，教學(xué)課堂不僅僅是傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力的課堂，而且更應(yīng)該是生命體悟有生成性的課堂.通過余弦定理證明時(shí)數(shù)學(xué)情景導(dǎo)入思考一題多解，體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)應(yīng)該是慢悟的過程，有師生積極數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性，從而讓學(xué)生幸福成長(zhǎng)著.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)悟;慢悟;情景創(chuàng)設(shè);一題多思

“教之道在于‘度，學(xué)之道在于‘悟.”讓學(xué)生定向自悟，教師導(dǎo)向致悟;學(xué)生心悟，教師啟悟，學(xué)生方能捕捉在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的靈感.基于數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，進(jìn)行數(shù)學(xué)悟性培養(yǎng).在育人導(dǎo)悟過程中，把握三個(gè)心理特點(diǎn)，一是指向性學(xué)習(xí)，二是情緒性學(xué)習(xí)，三是動(dòng)力性學(xué)習(xí).為此，必須強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的自悟?qū)W(xué)能力.讓學(xué)生在慢悟中樂學(xué)，在體悟中會(huì)學(xué)，在心悟中活學(xué)，最終達(dá)到在自悟中創(chuàng)新學(xué)習(xí)之目的.

下面就人教版高中數(shù)學(xué)模塊5余弦定理證明的情景創(chuàng)設(shè)采取一題多解進(jìn)行探究分析.證明余弦定理的方法很多，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引出證明余弦定理教學(xué)內(nèi)容，做好情景創(chuàng)設(shè)顯得尤為重要，本文采取數(shù)學(xué)常規(guī)問題導(dǎo)入新課，即在△ABC中，已知AB=8，AC=5，A=60°，求BC的長(zhǎng)度.題目簡(jiǎn)潔，已知條件清楚，兩邊一夾角，求解的是第三邊的長(zhǎng)度.

一、慢悟在新舊數(shù)學(xué)知識(shí)銜接處

引導(dǎo)同學(xué)問：求一線段的長(zhǎng)度可否有平幾法、解幾法、向量法呢？

學(xué)生甲：利用在平面幾何中，已知兩直角邊的長(zhǎng)，求斜邊的長(zhǎng)，采用勾股定理知識(shí)計(jì)算.

老師答：這是一種很好的思路，現(xiàn)在在此圖形中如何找到直角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手畫出，并加以計(jì)算.巡查發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)計(jì)算速度較快，有的計(jì)算速度較慢，原因在于做垂線構(gòu)造直角三角形時(shí)，有的牽涉到分?jǐn)?shù)，自然計(jì)算量就大了.其中一種解題過程如下：過點(diǎn)B作BD垂直于AC，點(diǎn)D為垂足，易求得CD=1，BD=43，在Rt△CDB中，BC=7.

二、慢悟在不同數(shù)學(xué)模塊知識(shí)不同解法處

學(xué)生乙：利用平面解析幾何知識(shí)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，通過兩點(diǎn)距離公式求得這兩點(diǎn)間的距離.老師：此法關(guān)鍵之處在于建系設(shè)點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真書寫，如圖所示，以線段AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，易得點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)C52，532，則BC=8-522+0-5322=7.

三、慢悟在易錯(cuò)易混知識(shí)點(diǎn)處

老師問：除了以上兩種方法外，還有其他方法能求線段的長(zhǎng)度嗎？

學(xué)生丙回答：可利用向量與本身的數(shù)量積等于此向量模（長(zhǎng)度）的平方.

老師答：很好，向量是學(xué)習(xí)其他知識(shí)的工具，大家動(dòng)手畫畫圖形，并寫寫看.巡視發(fā)現(xiàn)同學(xué)畫圖能力有待提高，向量加法或減法等三角形法則遺忘很多.此種解法關(guān)鍵之處找準(zhǔn)兩向量的夾角.

解 如右圖所示，AB=8，AC=5，∠BAC=60°.

由向量減法原理得BC=AC-AB，

BC·BC=AC-AB·AC-AB=AC2+AB2-2AC·AB.

即BC2=52+82-2×5×8cos∠BAC=25+64-80×12=49.∴BC=7.

四、慢悟在課堂生成數(shù)學(xué)思想中

學(xué)生丁問：剛學(xué)了解三角形的正弦定理，是否可用正弦定理知識(shí)求之？

老師：試試看吧.老師把前后桌變成一學(xué)習(xí)小組，主要培養(yǎng)小組互助，自主探究能力.同學(xué)們都拿起筆在課堂筆記本上寫著，但我們發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)思路受挫.其實(shí)這是一道化歸思想與方程思想等應(yīng)用的題目，確實(shí)思路有點(diǎn)特殊，老師只好在黑板上寫著：在△ABC中，由正弦定理得

ABsinC=BCsinA=CAsinB，又sinB=sinA+C=sinC+60°，

故有8sinC=BCsin60°=5sinC+60°，

則BCsinC=43，（1）

BCsinC+60°=532

即BCsinC+3BCcosC=53.（2）

將（1）代入（2）得BCcosC=1.（3）

由（1）（3）平方和得BC2=49.∴BC=7.

綜上可知，此題經(jīng)過引導(dǎo)點(diǎn)撥可以悟出多種不同的解法，但在證明余弦定理時(shí)選取向量法與坐標(biāo)法即可.此時(shí)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情景目的是在于體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)有化歸與轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想、分解與組合的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等，如化為直角三角形、兩點(diǎn)坐標(biāo)、三角形中數(shù)量關(guān)系等解決，其中教師的慢導(dǎo)起穿針引線作用.學(xué)生的悟是教師在教學(xué)過程中，指導(dǎo)學(xué)生悟出學(xué)習(xí)過程中的規(guī)律與方法，內(nèi)化為自己的東西，有悟才能生慧.數(shù)學(xué)慢悟教學(xué)重要的是教師要充分發(fā)揮集體的力量做好教學(xué)設(shè)計(jì)，把握好課堂生成性知識(shí)有效處理，課堂有效調(diào)控，讓學(xué)生有所思有所悟，雖然教學(xué)進(jìn)度會(huì)慢些，但磨刀不誤砍柴工，只要提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，則學(xué)生的身心與智慧和諧發(fā)展也會(huì)慢慢地得以實(shí)現(xiàn).

【參考文獻(xiàn)】

羅增儒.評(píng)課的視角 課例的切磋[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（1-2）：14-19.