楊歡濤

【摘要】函數(shù)是高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，理解、掌握函數(shù)的概念，對(duì)高中數(shù)學(xué)其他相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn).這部分教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)與其他內(nèi)容的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，抓住重點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);函數(shù)教學(xué);問題;關(guān)注點(diǎn)

近年各地高考中都加大了函數(shù)的考查力度.函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)重要的概念和知識(shí)點(diǎn)，滲透在高中數(shù)學(xué)各大版塊的教學(xué)中，函數(shù)已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)的紐帶.掌握函數(shù)的基本思想，對(duì)學(xué)好高中數(shù)學(xué)起著至關(guān)重要的作用，無論是從數(shù)學(xué)的應(yīng)用還是從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展上，函數(shù)的重要性怎樣說都不過分.下面詳細(xì)討論下函數(shù)教學(xué)的幾個(gè)關(guān)注點(diǎn).

一、強(qiáng)化函數(shù)與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生從思想上提升對(duì)函數(shù)思想方法的認(rèn)識(shí)

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中.在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法和隨機(jī)變量等內(nèi)容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想.下面具體談?wù)劜坏仁街泻瘮?shù)思想的運(yùn)用.

在坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f（x）的圖像把橫坐標(biāo)軸分成若干區(qū)域.一部分是函數(shù)值等于0的區(qū)域，也就是{xy= f（x） =0};另一部分是函數(shù)值大于0的區(qū)域，即{xy=f（x）> 0};再一部分是函數(shù)值小于0的區(qū)域，即{xy=f（x）<0}.把不等式的思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思想.所以用函數(shù)的觀點(diǎn)看，解不等式就是確定使函數(shù)y=f（x）的圖像在x軸上方或下方的x的區(qū)域.這樣，就可以先確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)[方程f（x）=0的解]，再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式.所以，解不等式的問題也可歸結(jié)為研究函數(shù)局部性質(zhì)的問題.特別須注意的是，不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，一些不等式的證明往往感覺無從下手，但若運(yùn)用函數(shù)的思想觀點(diǎn)則會(huì)迎刃而解，同時(shí)這也有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).下面舉實(shí)例說明：

例1 設(shè)a，b，c∈R，證明：a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0.

分析 此題的常規(guī)思路是配方法，但由于此題取等號(hào)的條件不易發(fā)現(xiàn)，要把左邊配成完全平方和的形式實(shí)屬不易.但若換一種思路，利用函數(shù)思想把左邊看成關(guān)于其中一個(gè)變量的函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為該二次函數(shù)的值域非負(fù)，因而只需證其判別式值非正，從而有如下證法.

證明 令f（a）= a2+（3b+c）a+3b2+3bc+c2，把它看作關(guān)于a的二次函數(shù)，對(duì)應(yīng)一個(gè)二次方程，因?yàn)棣?（3b+c）2-4（3b2+3bc+c2）=-3（b+c）2≤0，所以f（x）≥0恒成立，即a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0這樣就使這個(gè)不等式問題簡化.

又如：

例2 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（-1）=2，對(duì)任意x∈R，f′（x）>2，則f（x）>2x+4的解集為.（2011遼寧高考）

解 設(shè)g（x）=f（x）-2x-4，則g（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0，又因?yàn)間′（x）=f′（x）-2>0，所以g（x）在R上是增函數(shù)，所以原不等式可化為g（x）>g（-1），所以x>-1.

本題體現(xiàn)了用構(gòu)造函數(shù)法解不等式，說明函數(shù)在解不等式問題中能起到很大的作用.

總之，在高中數(shù)學(xué)課程中，方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、導(dǎo)數(shù)、隨機(jī)變量以及大部分專題的內(nèi)容，都與函數(shù)有著密切的聯(lián)系.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)特別注意揭示函數(shù)與這些內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中不斷體會(huì)、理解函數(shù)思想帶來的“好處”.

二、抓住本質(zhì)，突出重點(diǎn)，淡化純技巧解題

高中數(shù)學(xué)新課程已經(jīng)改革多年，筆者所在的江蘇省高考每年還是有一個(gè)函數(shù)壓軸題和若干函數(shù)知識(shí)小題，這就要求我們一線數(shù)學(xué)老師在函數(shù)課堂教學(xué)中必須要抓住重點(diǎn).

在高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)中，應(yīng)該把主要精力放在理解函數(shù)的圖像、性質(zhì)和變化規(guī)律上，淡化求函數(shù)定義域與值域的訓(xùn)練.例如，對(duì)于單調(diào)性的證明僅限于一些簡單函數(shù)，如y= ax+b，y=ax2+bc+c（a≠0）， y=x，y= x2，y=x3，y = x-1，y=x.另外，根據(jù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，反之，也可以用單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào).這些結(jié)論的證明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的.除了單調(diào)性，周期性也是中學(xué)階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，用周期的觀點(diǎn)來研究周期函數(shù)，可以使我們通過集中研究函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的變化來把握函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的變化情況.在高中數(shù)學(xué)課程中不討論一般函數(shù)的周期性，只討論具體三角函數(shù)，如正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性.奇偶性也是中學(xué)階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)，奇偶性反映了函數(shù)圖形的對(duì)稱性質(zhì)，奇偶性反映圖形的對(duì)稱與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，在高中數(shù)學(xué)課程中，對(duì)于一般函數(shù)的奇偶性，不做深入討論，只討論基本的具體函數(shù)，如：

y=ax+b，y=ax2+bc+c（a≠0），y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x，y=sinx，y=Asin（ωx+φ）的奇偶性，這也就要求我們在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)這方面的內(nèi)容應(yīng)把握合適的度.

三、重視在課堂教學(xué)中根據(jù)不同層次學(xué)生選用不同的教學(xué)方法

我們在函數(shù)實(shí)際教學(xué)中，需要根據(jù)不同學(xué)生水平選擇不同的教學(xué)方法.舉一個(gè)函數(shù)求值域問題的例子.

所以，我們在平時(shí)的函數(shù)教學(xué)中需要多思考，尋求更適合本班情況的教學(xué)方法，才能事半功倍.