徐建飛

【摘要】"數(shù)形結(jié)合"思想方法是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法，本文對(duì)初中數(shù)學(xué)中的部分問題，談?wù)勅绾芜\(yùn)用"數(shù)形結(jié)合"的思想解題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù) 以數(shù)解形

【中圖分類號(hào)】G633. 6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）14-0277-02

中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。“以數(shù)解形”就是有些圖形太過(guò)于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長(zhǎng)、角度等等，特別是在做選擇題時(shí)，只有一個(gè)答案是正確答案，用此種方法就可能起到意想不到的效果。由于這“以數(shù)解形”比較簡(jiǎn)單，所以這里就不多做介紹了?！耙孕沃鷶?shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法。學(xué)生通常把“數(shù)形結(jié)合”就理解為“以形助數(shù)”，也可以這么說(shuō)，理解了并掌握了“以形助數(shù)”這種思想方法，就是理解了“數(shù)形結(jié)合”?！耙孕沃鷶?shù)”中的“形”，或有形或無(wú)形。若有形，則可為圖表與模型，若無(wú)形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形輔數(shù)”的途徑大體有三種：一是運(yùn)用圖形；二是構(gòu)造圖形；三是借助于代數(shù)式的幾何意義。以下我將從 “數(shù)形結(jié)合”在哪些題型中可以應(yīng)用和使用“數(shù)形結(jié)合”時(shí)要注意哪些事項(xiàng)這兩個(gè)方面來(lái)具體介紹數(shù)形結(jié)合這種思想方法。

一、解決集合問題：在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來(lái)處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問題得以簡(jiǎn)化，使運(yùn)算快捷明了。

例如：某班有54名同學(xué)，其中會(huì)打籃球的有36人，其余的不會(huì)；會(huì)打排球的人數(shù)比會(huì)打籃球的多4人，其余的不會(huì)；另外，這兩種球都不會(huì)打的人數(shù)是都會(huì)打的人數(shù)的 還少1，問既會(huì)打籃球又會(huì)打排球的有多少人？

分析：用韋恩圖畫出示意圖，借助圖形去分析解決此問題，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，借助方程去求解。

解析：不妨設(shè)54名同學(xué)組成的集合為S，會(huì)打籃球的同學(xué)組成的集合為A，會(huì)打排球的同學(xué)組成的集合為B，兩種球都會(huì)打的同學(xué)組成的集合為C

設(shè)C中有元素x個(gè)即既會(huì)打籃球又會(huì)打排球的同學(xué)有x人

則 （36-x）+（40-x）+（ x-1）=54 則 x=9

所以說(shuō)既會(huì)打籃球又會(huì)打排球的同學(xué)有9人.

通過(guò)圖示先將無(wú)形的東西轉(zhuǎn)化成有形，再將有形的東西轉(zhuǎn)化成方程去求解是復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化

二、解決函數(shù)問題：借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。

例如，代數(shù)中，二次函數(shù)圖象y=ax2+bx+c（a≠0）， △= .

當(dāng)△>0 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

△=0 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。

△<0 y=ax2+bx+c的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)。

三、在理解數(shù)量關(guān)系及概念上的作用

初中數(shù)學(xué)有代數(shù)和幾何兩部分內(nèi)容，它門是互相滲透與推進(jìn)的，如代數(shù)列方程解應(yīng)用題中的行程問題，往往借助幾何圖形，靠圖形感知來(lái)“支持”抽象的思維過(guò)程，從而數(shù)量之間的相依關(guān)系，所以數(shù)形結(jié)合是尋找解決問題途徑的—種思維方法。又如初一教材引入數(shù)軸，就為數(shù)形結(jié)合的思想奠定了基礎(chǔ)。教材借助于數(shù)軸：（1）直觀地給出了相反數(shù)的定義，在數(shù)軸上表示該兩數(shù)的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩旁，離開原點(diǎn)的距離相等；零的相反數(shù)仍是零。（2）直觀地給出了有理數(shù)大小的比較法則，即在數(shù)軸上表示的幾個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，（3）直觀地給出了“絕對(duì)值”的定義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是在數(shù)軸上表示—個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，因此，借助數(shù)軸使數(shù)和最簡(jiǎn)單的圖形——直線上的點(diǎn)之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了“數(shù)”與“形”之間的緊密內(nèi)在聯(lián)系，充分顯示出數(shù)與形結(jié)合起來(lái)產(chǎn)生的威力，這種抽象與形象的結(jié)合，能使學(xué)生的思維得到鍛煉。

四、數(shù)形結(jié)合在平面幾何中《圓》中的運(yùn)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，也是通過(guò)數(shù)形聯(lián)系來(lái)描述的。

例如：圓與圓的位置關(guān)系，設(shè)兩圓的半徑分別為R、r（R>r），圓心距為d，則

當(dāng)d>R+r 兩圓外離

當(dāng)d=R+r 兩圓外切

當(dāng)R-r

當(dāng)d=R-r 兩圓內(nèi)切

當(dāng)d

這種描述，正是通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)揭示事物本質(zhì)特征，既直觀又能體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律.“數(shù)”與“形”的教學(xué)不能孤立進(jìn)行，而應(yīng)是交錯(cuò)進(jìn)行，相輔相成。

五、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時(shí)，把方程的根的問題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

在解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合能使解題速度快，思維敏捷。如求二次不等式 的解集，依代數(shù)方法是轉(zhuǎn)化為解不等式 再轉(zhuǎn)化為不等式組：

或 解之

但若以形代數(shù)，架起直覺思維之橋，其獲得結(jié)論的速度是上述推導(dǎo)所望塵莫及的。其方法是：先求一元二次方程 的兩根x1=-3，x2=1，

再畫略圖：

不等式 的解集，便一目了然。同時(shí)。又可以把三個(gè)“二次”即一元二次方程ax2+bx+c=0，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）及一元二次不等式通過(guò)圖象直觀地聯(lián)系起來(lái)，而其系數(shù)a.b.c的幾何意義，即a確定拋物開口方向，a與b確定對(duì)稱軸位置（ ），c確定圖象在y軸上的截距，都可以通過(guò)圖象得到直觀形象的解釋。一旦學(xué)生能從數(shù)形的結(jié)合上把握三個(gè)“二次”的聯(lián)系，那么就能加強(qiáng)對(duì)重要知識(shí)的理解與掌握，從而提高分析問題，解決問題的能力.

六、利用幾何圖形，幫助解決代數(shù)問題。

例1：在一塊底長(zhǎng)為a，高為h的三角形鐵板ABC上，截出一塊矩形鐵板EFGH，使它的—邊FG在BC上；求矩形鐵板EFGH的面積S與矩形的邊EF（設(shè)為x）之間的函數(shù)關(guān)系。

解：矩形EFGH EH‖BC △AEH∽△ABC

可得

由此

∴矩形鐵板EFGH的面積S與矩形的邊EF之間的函數(shù)關(guān)系為：

七、求最值

例2：如果實(shí)數(shù) 滿足 則 的最大值為

分析：等式 有明顯的幾何意義，它表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，

圓心為（2，0）半徑 ，（如圖），而 則表示圓上的點(diǎn) 與坐

標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率。如此一來(lái)，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾可問題：動(dòng)點(diǎn)A

在以（2，0）為圓心，以 為半徑的圓上移動(dòng)。求直線OA的斜率的最大值，由圖可見，當(dāng) 在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得最大值為

以上例1，例2說(shuō)明了有關(guān)“數(shù)”方面的問題，借用“形”的性質(zhì)之后，可以使許多抽象的關(guān)系直觀化，形象化和簡(jiǎn)單化，也有助于對(duì)問題的內(nèi)在聯(lián)系更進(jìn)一步的了解，從而變難為易，化繁為簡(jiǎn). 同時(shí)，這對(duì)于幫助學(xué)生開闊思路，突破思維定勢(shì)，有極好的作用。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，有意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維，往往更容易看清事物的本質(zhì)，收到事半功倍的效果。

八、利用代數(shù)計(jì)算解決幾何問題

例3： 已知⊙O內(nèi)切于△ABC，AB=10，BC=13，AC=11.求：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A、B、C各點(diǎn)的切線長(zhǎng)。

解：設(shè)⊙O與△ABC各邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，則

AD=AF，BD=BE，CE=CF

又設(shè)AD=x，BE=y，CF=z，則

x+y=10，y+z=13，z+x=11

解方程組： 得

∴過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A、B、C各點(diǎn)的切線長(zhǎng)分別為4，6，7。

例4：已知：三角形三邊長(zhǎng)a、b、c滿足 ，

試確定三角形的形狀。

解：∵

∴

∴

∴a=b，b=c，c=a 即a=b=c

∴該三角形是等邊三角形。

由例3，例4說(shuō)明幾何方面的問題，如果借用代數(shù)方法解決，解題方法就易于尋找，解題過(guò)程也變得比較簡(jiǎn)便，因?yàn)閹缀晤}顯然由形較直觀，但若遇到已知和結(jié)論之間相距較遠(yuǎn)的問題，解題途徑常常不易找到，因而用代數(shù)方法解題，思維就比較明確，有規(guī)律，因此也就容易找到解題方法。

總之，在數(shù)形轉(zhuǎn)化過(guò)程中，必須遵循等價(jià)轉(zhuǎn)換原則，數(shù)形互補(bǔ)原則。初中數(shù)學(xué)教材中，數(shù)形結(jié)合的例子很多，僅從舉過(guò)的例子可以看出，代數(shù)，幾何雖然各有不同特點(diǎn)和思考問題的方法，但是，完全有可能，有必要把它們的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，因而我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在抓好代數(shù)，幾何的基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)分析問題和解決向題，在此，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生以下幾點(diǎn)： （1）觀察圖形，挖掘圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。（2）正確繪制圖形，反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。（3）切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。進(jìn)而，加深對(duì)知識(shí)的理解與掌握，開拓思維。這種開拓思維對(duì)學(xué)生來(lái)講，可稱是創(chuàng)造，其思維的基礎(chǔ)在于多次地完成數(shù)形溝通的訓(xùn)練，為創(chuàng)造思維積累了所需的潛在能量，在遇到新異問題時(shí)，才能閃現(xiàn)出創(chuàng)造性的火花。只要我們?cè)诮虒W(xué)中有意識(shí)地訓(xùn)練，不惜從點(diǎn)滴做起，堅(jiān)持實(shí)踐，學(xué)生思維素質(zhì)便可望提高，同時(shí)，也為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ).

數(shù)形結(jié)合的確是一個(gè)非常好，也非常實(shí)用而且重要的思想方法，應(yīng)用性強(qiáng)。但它又是一把雙刃劍，時(shí)時(shí)充滿誘惑和危險(xiǎn)。因此，我們要慎之又慎，要揚(yáng)長(zhǎng)避短，要全面合理分析，直觀的同時(shí)，輔有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[.

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