梅麗

【摘要】對(duì)目前流行的國(guó)內(nèi)線性代數(shù)教材的主要內(nèi)容進(jìn)行了分析，指出其明確的幾何意義，通過(guò)幾何直觀和形象思維討論其抽象思維過(guò)程，借助其幾何意義可以幫助理解其抽象性，從而更好掌握其內(nèi)容，對(duì)線性代數(shù)教學(xué)具有一定指導(dǎo)意義.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；幾何；抽象思維

線性代數(shù)是研究線性空間和線性變換的一門學(xué)科，其核心內(nèi)容包括矩陣以及向量空間理論，這些概念和理論不僅為各個(gè)專業(yè)領(lǐng)域提出相關(guān)問(wèn)題時(shí)提供了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)語(yǔ)言，而且也為解決問(wèn)題準(zhǔn)備了有力的工具.線性代數(shù)的主要內(nèi)容有矩陣與線性方程組、矩陣代數(shù)、向量與向量空間、行列式、線性變換、歐氏空間等.現(xiàn)在，它的一些成果已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到了概率統(tǒng)計(jì)、微分方程、離散數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)科，并對(duì)這些學(xué)科的發(fā)展起到了積極的推動(dòng)作用.它是大學(xué)階段理工科、經(jīng)濟(jì)、管理等學(xué)科有關(guān)專業(yè)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一，對(duì)提高學(xué)生思維品質(zhì)以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都有很大幫助.但由于課程本身高度的抽象性和邏輯性，很多學(xué)生掌握不好，有的同學(xué)即使上課聽(tīng)懂了，但是做起作業(yè)來(lái)又感到特別困難，從而影響了對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)課程甚至專業(yè)課程的學(xué)習(xí).究其原因，在于學(xué)生對(duì)線性代數(shù)中的基本概念、結(jié)論等掌握得不準(zhǔn)確，而抽象性是學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的障礙和困難所在.

抽象性是線性代數(shù)的一大特點(diǎn)，正是其抽象性決定了其應(yīng)用的廣泛性.線性代數(shù)的教材中到處可見(jiàn)抽象定義，這是由線性代數(shù)這門學(xué)科本身的特點(diǎn)決定了的.抽象本身并非壞事，“一切科學(xué)的抽象，都更深刻、更正確，更完全地反映著自然”（列寧語(yǔ)），在線性代數(shù)教學(xué)中我們要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，卻要克服這種抽象帶來(lái)的困難，使學(xué)生消除對(duì)線性代數(shù)的抽象感、陌生感和恐懼感，從而激活其求知欲，增強(qiáng)學(xué)好、用好線性代數(shù)的信心.

形象思維與抽象思維是思維過(guò)程中兩個(gè)不同質(zhì)的階段，它們是辯證統(tǒng)一的.數(shù)學(xué)的抽象離不開(kāi)形象直觀，線性代數(shù)正是這樣，雖然抽象，卻有非常明確的幾何意義，借助其直觀意義可以幫助理解其抽象性，從而更好掌握其內(nèi)容，下面以幾個(gè)例子加以說(shuō)明.

一、行列式的概念

行列式是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容之一，它在線性代數(shù)中有很多應(yīng)用，因此，學(xué)好行列式是非常重要的.但是大多數(shù)教材中，介紹行列式概念時(shí)采用了比較抽象的定義方式.對(duì)此，很多學(xué)生只會(huì)機(jī)械記憶、死記硬背而不能理解其意義，以至于對(duì)n階行列式的概念感到無(wú)所適從.事實(shí)上，一般教科書中都首先介紹了二階和三階行列式作為過(guò)渡，但在給出一般n階行列式定義時(shí)仍然比較抽象，這時(shí)可以繼續(xù)以四階行列式作為過(guò)渡，將四階行列式作為具體例子詳細(xì)討論其定義然后再過(guò)渡到一般n階行列式定義，實(shí)踐證明效果較好.

為了加深對(duì)n階行列式含義的理解，還可以從幾何意義上加以抽象.對(duì)于二階行列式D2=a11 a12a21 a22就是以向量α1=（a11，a12），α2=（a21，a22）為邊的平行四邊形的有向面積；當(dāng)平行四邊形是由α1沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到α2形成時(shí)，面積為正；而當(dāng)平行四邊形是由α1沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到α2形成時(shí)，面積為負(fù).同樣三階行列式的值就是三個(gè)向量α1，α2，α3在空間形成的平行六面體的體積，當(dāng)α1，α2，α3構(gòu)成右手系時(shí)，體積為正；而當(dāng)α1，α2，α3構(gòu)成左手系時(shí)，體積為負(fù).這樣不難得到n階行列式的幾何意義（n個(gè)n維向量構(gòu)成的平行多面體的有向體積）.

二、n 維向量空間

線性代數(shù)的中心課題是向量空間，n維向量空間中向量之間的關(guān)系特別是線性相關(guān)性一直是該課程的難點(diǎn).要使學(xué)生理解一般n維向量空間，可以以一維、二維、三維幾何空間為實(shí)例模型.一、二、三維空間是線性代數(shù)n 維空間的特例，可以將一、二、三維空間中的點(diǎn)（向量）推廣到四維乃至一般的n維向量空間中的點(diǎn)（向量），一般一、二、三維空間中的線性運(yùn)算推廣到一般的n維向量空間.由于n維向量空間中的向量有無(wú)限，因而有必要討論向量之間的關(guān)系，可以分為四類，即向量與向量之間的關(guān)系，向量與向量組之間的關(guān)系，向量組與向量組之間的關(guān)系，向量組內(nèi)向量之間的關(guān)系，它們是一、二、三維空間中向量共線、共面關(guān)系的推廣.

三、 線性方程組解的理論

在二、三維空間中的線性方程表示的是直線或平面，一般n維向量空間中的線性方程可以表示n維向量空間中的超平面，由三維空間中平面的相交情況可以推出三元一次方程組解的情況，將之推廣，可得一般n維向量空間中n個(gè)未知量的線性方程組解的情況.對(duì)于一般的線性方程組可能有解可能無(wú)解，無(wú)解對(duì)應(yīng)的是這些超平面沒(méi)有公共交點(diǎn)，有解對(duì)應(yīng)的是這些超平面至少有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)可以唯一、成一直線（或一超平面），從而得到線性方程組解的結(jié)構(gòu).這樣做，會(huì)達(dá)到使學(xué)生對(duì)兩種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（一個(gè)是線性代數(shù)結(jié)構(gòu)，一個(gè)是空間解析幾何關(guān)系結(jié)構(gòu)） 的認(rèn)識(shí)互相聯(lián)系，互相增強(qiáng).

四、二次型

將二、三維空間中的直線或平面推廣到一般n維向量空間中的超平面以后，接下來(lái)的問(wèn)題是將二維空間中的二次曲線與三維空間中的二次曲面推廣到一般n維向量空間中的超二次曲面

2a13xz+2a23yz的化簡(jiǎn)與分類.一般n維向量空間中超二次曲面的形狀（圖形性質(zhì)）自然就由n個(gè)變量的二次齊次式 f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj 確定，它就是一個(gè)n元二次型（n維向量空間中的超二次曲面）.與二維空間中的曲線、三維空間中的曲面研究類似，欲知n維向量空間中的超二次曲面的形狀，就必須對(duì)二次型化簡(jiǎn)，化二次型所用的變換一般為射影變換，它改變了曲線的形狀，只有在所用的變換為正交變換時(shí)才不改變曲線的形狀.講完二次型的理論之后，自然應(yīng)該回過(guò)頭來(lái)用二次型的理論研究一般曲線或曲面的化簡(jiǎn)與分類問(wèn)題.

五、 矩陣與線性變換

二維空間中旋轉(zhuǎn)變換 x′=cosθx+sinθyy′=-sinθx+cosθy 可以用矩陣表示為

x′y′= cosθ[]sinθ-sinθ[]cosθxy，x′y′=a[]00[]dxy表示二維空間中相似變換，

x′y′=-1[]0 0[]1xy或x′y′=1[]00[]-1xy都表示二維空間中的對(duì)稱變換，而

x′y′=a[]bc[]dxy表示二維空間中一般變換.n維向量空間中的一般變換自然就可以表示為X′=AX，其中變換的性質(zhì)（分類）取決于矩陣A的性質(zhì)，一個(gè)矩陣是一個(gè)線性變換在選定基底下的表示，兩個(gè)矩陣A，B 相似，就是同一線性變換在兩組不同基下兩種表示之間的關(guān)系.正交矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱矩陣分別是二維空間中相應(yīng)變換的抽象.

六、內(nèi)積空間

將二維、三維空間抽象到一般內(nèi)積空間，得到一般向量的長(zhǎng)度、向量的夾角、標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念，就有了正交變換并可以用以研究二次型.

需要指出的是，線性代數(shù)雖然是普通幾何內(nèi)容的抽象，但是并沒(méi)有將所有的幾何內(nèi)容都抽象到線性代數(shù)里來(lái)，所以還有很多內(nèi)容值得學(xué)生去探究，比如一般內(nèi)積空間中點(diǎn)到超平面（曲面）的距離、外積混合積等等.

數(shù)學(xué)的抽象和其他事物一樣，是在逐漸的不顯著的量變的積累過(guò)程中，經(jīng)過(guò)一系列階段而產(chǎn)生、形成和發(fā)展起來(lái)的，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，抽象思維能力的形成和發(fā)展也不例外，它是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的理解和逐步掌握而形成發(fā)展的，教師要善于引導(dǎo)，從形象思維逐步過(guò)渡到抽象思維.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]馬莉，吳翠芳.改進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（1）.

[3]游宏.關(guān)于修訂線性代數(shù)與空間解析幾何課程教學(xué)基本要求的幾點(diǎn)思考[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)， 2004（5）.

[4]王穎.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)中的思考[J].高師理科學(xué)刊，2013（4）.

[5]杜建衛(wèi)， 蘇欣.讓線性代數(shù)課程易教易學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011（5）.

[6]李尚志.讓抽象變得顯然——建設(shè)國(guó)家精品課程的體會(huì)[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2006（7）.

[7]劉學(xué)詠.理科線性代數(shù)教學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)（人文社會(huì)科學(xué)版），2006（4）.

[8]毛寶安，楊策，隋文斌.在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)注意學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)的培養(yǎng)[J].現(xiàn)代教育科學(xué)，2008（S1）.