于麗

【摘 要】《線性代數(shù)》是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力的一門(mén)重要課程。本文從兩個(gè)方面對(duì)教學(xué)內(nèi)容改革進(jìn)行研究。首先，分析了傳統(tǒng)的線性代數(shù)課程教學(xué)中存在的問(wèn)題;其次，分析了各章節(jié)之間的邏輯關(guān)系，從本質(zhì)上明確本課程的教學(xué)主線，重新編排了教學(xué)內(nèi)容，成功解決了矩陣求逆的初等變換法的位置滯后問(wèn)題，同時(shí)對(duì)向量組的線性相關(guān)性教學(xué)內(nèi)容的改革進(jìn)行了探索，該工作合理減少了理論描述，降解了教學(xué)難點(diǎn)，較好地適應(yīng)了現(xiàn)代教學(xué)環(huán)境。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 教學(xué)體系

【中圖分類(lèi)號(hào)】O151.2???????????????【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A???????????????【文章編號(hào)】2095-3089（2015）17-0107-01

線性代數(shù)是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題的能力、素質(zhì)的一門(mén)重要課程。隨著國(guó)家高等教育教學(xué)改革的不斷深入和科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段和教學(xué)方法不斷更新，也對(duì)線性代數(shù)課程教學(xué)提出了更高的要求;改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，積極開(kāi)展教學(xué)模式的改革研究，建立以培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的綜合分析和創(chuàng)新應(yīng)用為目標(biāo)的線性代數(shù)教學(xué)體系和教學(xué)模式，已成為值得思考的重要問(wèn)題

1.傳統(tǒng)《線性代數(shù)》教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)與存在的問(wèn)題

1.1大部分國(guó)內(nèi)教材內(nèi)容順序?yàn)樾辛惺健⒕仃?、線性方程組、特征值和特征向量、二次型、向量空間與線性變換。這種模式的教材中對(duì)行列式、矩陣的基本運(yùn)算都要花很長(zhǎng)教學(xué)學(xué)時(shí)和力氣進(jìn)行細(xì)致的講授。準(zhǔn)備階段過(guò)于漫長(zhǎng)，還沒(méi)有接觸到核心問(wèn)題，很多學(xué)生在這個(gè)時(shí)候?qū)@么課程已經(jīng)失去興趣了。

1.2矩陣求逆的初等變換法介紹過(guò)于后置，造成該課程教學(xué)不流暢，對(duì)該課程教學(xué)造成一定的影響.如果能將該矩陣求逆法放在逆矩陣一節(jié)講授，能起到內(nèi)容規(guī)整、教學(xué)一氣呵成的效果。但是由于初等變換沒(méi)有及時(shí)介紹，該方法不得不滯后，形成骨鯁在喉的局面，該問(wèn)題的破解一直為相關(guān)老師教學(xué)所期盼。

1.3《線性代數(shù)》教學(xué)難點(diǎn)扎堆是現(xiàn)行教學(xué)的一大難點(diǎn)，一直沒(méi)能得到完滿(mǎn)的解決。學(xué)生學(xué)習(xí)到矩陣的秩和向量組的線性相關(guān)性這一部分時(shí)感覺(jué)概念、定理太多，教材編排凌亂，理論性太強(qiáng)，理論推導(dǎo)太多，難看、難懂，學(xué)習(xí)起來(lái)很吃力。

1.4?k階子式的引入給學(xué)習(xí)者一種為理論教學(xué)而存在，解題時(shí)幾乎用不到的感覺(jué)，從使用的角度來(lái)看，沒(méi)有必要存在，但沒(méi)有它理論又無(wú)法建立。

1.5《線性代數(shù)》教學(xué)主線不明確，教學(xué)中沒(méi)有將該課程使用的主要方法——初等變換法重點(diǎn)突出出來(lái)。

1.6《線性代數(shù)》教學(xué)學(xué)時(shí)一般介于32—40課時(shí)之間，由于該課程理論性強(qiáng)，實(shí)踐性強(qiáng)，教學(xué)中教師很難平衡兩者：過(guò)于注重該課程理論體系的完整性，則導(dǎo)致教學(xué)布局不盡合理，授課時(shí)言猶未盡，主要解題方法無(wú)法及時(shí)介紹;過(guò)于強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手能力則無(wú)法保證數(shù)學(xué)原理的傳授?，F(xiàn)行的教材重理論輕應(yīng)用，重公式推導(dǎo)輕數(shù)值計(jì)算，不符合工科數(shù)學(xué)“以應(yīng)用為目的，以夠用為度”的原則。

2.?線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的重新確立

2.1考察《線性代數(shù)》各章內(nèi)容，它們都涉及到線性方程組，因此在開(kāi)始的第一章由具體方程組入手，從解線性方程組的過(guò)程中抽象出矩陣的概念、初等行變換的方法、說(shuō)明線性方程組解的情況及其判別準(zhǔn)則、引入矩陣方程，向量方程的概念、用線性表示解釋方程組的解。初等變換的方法是線性代數(shù)中主要的方法，第一章介紹并練熟對(duì)學(xué)生很有益處。另外很多內(nèi)容可以依賴(lài)方程組的表達(dá)形式，所以方程組的內(nèi)容放在第一章。雖然篇幅較長(zhǎng)，但是適當(dāng)分解了相關(guān)性部分的重難點(diǎn)，與方程組的概念銜接自然，易于學(xué)生理解。

2.2第二章行列式。從一元二次方程組的解法中引入行列式，進(jìn)一步說(shuō)明性質(zhì)、按行列展開(kāi)的方法、最終介紹克拉默法則解方程組。因?yàn)橄嚓P(guān)無(wú)關(guān)、向量組的秩、矩陣的秩、可逆矩陣等內(nèi)容也可利用行列式來(lái)做某些判斷，因此，雖然內(nèi)容上與上一章銜接不多，比較突兀，但是為了下面的內(nèi)容，只能放在這里。

2.3第三章向量組的線性相關(guān)性。因?yàn)橄嚓P(guān)無(wú)關(guān)的概念在三維空間上有很明顯的幾何解釋?zhuān)虼藦膸缀紊系墓裁嬉鋈齻€(gè)向量的相關(guān)無(wú)關(guān)概念，再把這個(gè)概念推廣到n維空間上去。線性表示實(shí)質(zhì)就是研究齊次線性方程組和非齊次線性方程組，因此在教授時(shí)盡量聯(lián)系第一章的內(nèi)容使得學(xué)生可以把內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)。在介紹線性相關(guān)、相關(guān)性質(zhì)、向量的線性表示，向量組等價(jià)，等價(jià)性質(zhì)后，內(nèi)容作如下編排：

定理1.向量組初等變換前后等價(jià)。

定義1.若向量組中子線性無(wú)關(guān)向量組與原向量組等價(jià)，則稱(chēng)此子向量組為原向量組的最大無(wú)關(guān)組。

定理2.向量組與它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。

推論1?等價(jià)向量組的兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組等價(jià)。

定理3.如果向量組1可以由向量組2線性表示，且1的數(shù)量大于2的數(shù)量，則向量組2線性相關(guān)。

推論1?等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含向量的個(gè)數(shù)相等。

定義2?向量組的秩

定理4?向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù)。

定理5?如果向量組1可以由向量組2線性表示，則1的秩小于等于2的秩。

推論1?等價(jià)的向量組有相同的秩。

定理6?矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。

定理7?矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關(guān)性，從而不改變矩陣的列秩。

定理8?任一矩陣的行秩等于列秩。

定義2?矩陣的秩

事實(shí)上，矩陣是由向量組構(gòu)成，理論也表明矩陣的秩等于行向量組的秩及列向量組的秩。所以，如果能直接從向量組的秩入手介紹矩陣的秩將大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，節(jié)約講授內(nèi)容，減少講授課時(shí)，另一方面?zhèn)鹘y(tǒng)的k階子式的引入給學(xué)習(xí)者一種為理論教學(xué)而存在，解題時(shí)幾乎用不到的感覺(jué)。從使用的角度來(lái)看，沒(méi)有必要存在，但沒(méi)有它理論又無(wú)法建立。這種設(shè)置從實(shí)用的角度和體系完整的角度都優(yōu)于傳統(tǒng)課程體系，在第三章最后介紹線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

2.4?第四章矩陣的運(yùn)算。從具體的應(yīng)用問(wèn)題入手介紹矩陣加法、數(shù)乘、乘法等運(yùn)算。再?gòu)慕饩仃嚪匠痰慕嵌纫肽婢仃嚨母拍钜约捌鋬煞N求法，這里注意可以聯(lián)系幾何形式解釋乘法與向量組線性表示的關(guān)系。從而利用矩陣把之前的內(nèi)容做一個(gè)串聯(lián)和總結(jié)。

2.5第五章特征值特征向量，特征值特征向量則是研究特殊的齊次線性方程組。

2.6第六章線性變換、坐標(biāo)變換同樣研究線性方程組解的問(wèn)題。因此，方程組特別是解方程組所使用的初等變換法應(yīng)該成為本課程教學(xué)的主體和主線，它們貫穿整個(gè)教學(xué)始終。

3.實(shí)踐體會(huì)

在我院2012級(jí)重點(diǎn)班的線性代數(shù)教學(xué)中我使用了改革后的教學(xué)體系，在整個(gè)課程中分成12個(gè)大的知識(shí)板塊。在實(shí)踐中我感到，改革后的體系更加貼近實(shí)際應(yīng)用的思路，在每個(gè)版塊開(kāi)始我都會(huì)找一些具有特點(diǎn)的應(yīng)用引例，使學(xué)生能夠看到線性代數(shù)這門(mén)課程究竟解決的是什么問(wèn)題，以及如何解決的。比較傳統(tǒng)的教學(xué)體系更靈活更實(shí)用。