陳慧

【摘要】 本文測(cè)量和推理證明了三角形的內(nèi)角和的問題，并以三角形的內(nèi)角和是180°這一結(jié)論為依據(jù)，得出了四邊形的內(nèi)角和是360°，進(jìn)而推出多邊形內(nèi)角和為（N - 2） × 180°的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】 多邊形；內(nèi)角和

在和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)了人教版初中數(shù)學(xué)第十一章后，我想和大家一起探究多邊形的內(nèi)角和.

1. 三角形的內(nèi)角和

我們已經(jīng)知道：三角形的內(nèi)角和是180°. 可是你能說明為什么嗎？我和同學(xué)們一起動(dòng)手任意的畫了很多三角形.

經(jīng)過我們的測(cè)量發(fā)現(xiàn)每個(gè)三角形的內(nèi)角和都約等于180°. 可是這個(gè)理由不能作為我們的結(jié)論“三角形的內(nèi)角和是180°”的科學(xué)依據(jù). 于是我們思考能不能用我們已有的知識(shí)來證明這個(gè)結(jié)論？

已知：如圖，在△ABC中，求證：∠A + ∠B + ∠C = 180°.

證法1：延長BC到CD，在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作∠1 = ∠A，于是CE∥BA （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

∴ ∠B = ∠2 （兩直線平行，同位角相等）.

又∵∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°

∴∠A + ∠B + ∠ACB = 180°

證法2：延長BC到D，過C作CE∥BA，∴ ∠A = ∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠B = ∠2（兩直線平行，同位角相等）

又∵∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°

∴ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°

證法3：過A作EF∥BA，

∴∠B = ∠2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠C = ∠1 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

又∵∠2 + ∠1 + ∠BAC = 180°

∴∠B + ∠C + ∠BAC = 180°

證法4：過A作AE∥BC，

∴ ∠B = ∠BAE （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠EAB + ∠BAC + ∠C = 180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠B + ∠C + ∠BAC = 180°

于是，我們得到三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

2. 四邊形的內(nèi)角和

既然我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是一個(gè)定值180°，那么四邊形的內(nèi)角和是多少度？也會(huì)是一個(gè)定值嗎？

我們知道正方形，長方形的四個(gè)角都是90°，故正方形、長方形的內(nèi)角和都是4 × 90° = 360°，梯形的內(nèi)角和也是360°.

已知：梯形ABCD，AB∥CD

求證：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

證明：∵AB∥CD ，∴∠A + ∠D = 180°.

∠B + ∠C = 180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

于是，我們猜想四邊形的內(nèi)角和也是一個(gè)定值，四邊形的內(nèi)角和等于360°. 你能證明嗎？

我們利用三角形的內(nèi)角和定理來證明四邊形的內(nèi)角和等于360°.

已知：如圖，四邊形ABCD.

求證：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

證明：連接BD.

在△ABD和△CBD中，∵∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°

∠C + ∠CBD + ∠CDB = 180°，而∠A + ∠ABC + ∠C + ∠ADC = ∠A + ∠ABD + ∠ADB + ∠C + ∠CBD + ∠CDB = 180 × 2 = 360°.

∴四邊形的內(nèi)角和是360°.

3. 五邊形的內(nèi)角和

類比前面的過程，你能探索出五邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出2條對(duì)角線，將五邊形分割成3個(gè)三角形，而這3個(gè)三角形的內(nèi)角和正好是五邊形的內(nèi)角和所以我們得出五邊形的內(nèi)角和是3 × 180° = 540 °.

下面我們思考一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出幾條對(duì)角線？我們知道對(duì)角線是連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，故剩余n - 1個(gè)頂點(diǎn)，再減去和它相鄰的2個(gè)頂點(diǎn)，就剩余n - 3個(gè)頂點(diǎn)，所以可以作出n - 3條對(duì)角線，此時(shí)正好可以將n邊形分割成為（n - 2）個(gè)三角形.

4. 六邊形的內(nèi)角和

有以上規(guī)律，我們知道六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出6 - 3條對(duì)角線，將六邊形分割成6 - 2個(gè)三角形，所以六邊形的內(nèi)角和就是（6 - 2） × 180° = 640°.

……

以上我們通過從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線將多邊形分割成幾個(gè)三角形，從而探究出多邊形的內(nèi)角和.

我們可以歸納出多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系：（n - 2） × 180°.