葉仁壽

摘 要：創(chuàng)設問題的探究情景，引領學生對問題進行探究、類比、提出猜想，通過實驗驗證、分享交流，學會對探究問題進行歸納、總結與拓展，通過對問題的探究基本方法的操作，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)良好的數(shù)學思維習慣，促進數(shù)學學科學生發(fā)展所需的核心素養(yǎng).

關鍵詞：問題；探究；驗證；拓展

我國在基礎教育特別是有著高考壓力的高中數(shù)學教學過程中，教師的課堂教學更多關注講授與認知量，忽略關注學生學習過程中的情感與探究思維的培養(yǎng).教師更多的成了課堂的播放器，學生成了課堂的錄音機.這種課堂的特點就是容量大，進度快，學生被動接受知識，缺少主觀能動性，看似完成了教學目標任務，但在培養(yǎng)學生數(shù)學“四基”與“四能”方面未必有效.什么才是真正有效的數(shù)學課堂？所謂有效教學，是指在師生雙方的教學活動中，通過運用適當?shù)慕虒W策略，使學生的基礎性學力、發(fā)展性學力和創(chuàng)造性學力得到很好的發(fā)展.《基礎教育課程改革綱要（試行）解讀》指出：所謂“有效”，主要是指通過教師在一段時間的教學之后，學生所獲得的具體的進步或發(fā)展.也就是說，學生有無進步或發(fā)展是教學有沒有效益的唯一指標.有效的數(shù)學課堂是以關注能否促進學生的思維發(fā)展為主，課堂中學生積極主動參與學習，并在思考的快樂中探究知識、發(fā)展思維.

有效的數(shù)學探究式教學案例：“已知函數(shù)在定義域內某一個子區(qū)間的解析式，求它在其他區(qū)間內的解析式”這一問題上的一堂教學公開課.這堂課主要由教師“導演”，學生“主演”，有歸納，有拓展，有效率，有深度，受到聽課老師的一致肯定.現(xiàn)將課堂實況部分記錄如下：

1 創(chuàng)設問題的探究情景

老師：同學們，在前面學習函數(shù)解析式的求法中，主要通過常用的三種方法：換元法、迭代法、解方程組法來解決問題，今天這節(jié)課我們一起探索這樣一類問題：已知函數(shù)在定義域內某一個子區(qū)間的解析式，求其他區(qū)間內的解析式.這也是屬于函數(shù)解析式求法的范疇.即把這類問題稱之為：“已知函數(shù)的一部分”求“函數(shù)的另一部分” .

2 引領學生對問題進行探究、類比、提出猜想，通過實驗驗證、分享交流

下面請同學們思考這一具體的問題：已知y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當x≥0時， f（x）=x2-2x，則在R上f（x）的解析式為（ ）.

A. -x（x-2） B. x（|x|-2） C. |x|（x-2） D. |x|（|x|-2）

在給出題目后，學生們開始思考，并在草稿紙上演算，幾分鐘后，學生們有了思考結果.

教師用手機把有代表性的幾種做法拍成相片，通過云同步，在多媒體屏幕上出現(xiàn)相應的內容：

學生1：x>0則-x<0，所以f（-x）=x2+2x，由f（x）為奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），f（x）=-x2-2x，故選B.

學生2：設x<0則-x>0，所以f（-x）=x2+2x，由f（x）為奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），f（x）=-x2-2x，故選B.

學生3：f（x）=f（-x）=-f（x）=-x2+2x，故選A.

教師追問：

①以上解法是否正確，為什么？

②你認為哪種解法比較好？

③你還能提供其它解法嗎？

學生們開始思考以上三位同學的解法，并交流討論判斷出只有學生2的解法是正確的，但無法給出比較合理的解釋.

學生4認為應該這樣分析：設t<0則-t>0，所以f（-t）=t2+2t，由f（x）為奇函數(shù)，f（t）也是奇函數(shù)，得f（-t）=-f（t），f（t）=-t2-2t，即f（x）=-x2-2x，故選B，

這時，同學們的意見不統(tǒng)一，有人說錯，有人說對，還有人不理解為什么要引入字母t？

師：你能對這類問題的解法用自己的語言進行歸納嗎？

3 學會對探究問題進行歸納、總結與拓展

學生們在教師的幫助引導下，共同整理歸納出解這類問題的基本方法：（1）所求自變量假設；（2）將自變量轉化到已知區(qū)域范圍內；（3）將轉化后的自變量代入已知區(qū)域的函數(shù)解析式；（4）通過函數(shù)性質化簡求出f（x）.

師：本例的已知條件是“函數(shù)為奇函數(shù)”，你能從函數(shù)的基本性質（教師著重強調了“基本性質”四個字）去考慮，改變它的條件或結論，對這類問題進行比較深入的研究嗎？

4 通過對問題的探究基本方法操作，激發(fā)學生的探究欲望

此時，同學們積極投入對問題的思考，教師到學生中收集到學生的典型之作，并把這些典型之作當作例題進行分析點評：

學生作品1：已知y=f（x）是R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x，求f（x）在R上的解析式.

師：把條件改為偶函數(shù)，換二次函數(shù)為指數(shù)函數(shù).

學生作品2：已知f（x）定義域為R，且f（2+x）=f（x-2），當x≤1時，f（x）=lnx，求x>1時，f（x）的解析式.

師：介入周期性知識，換二次函數(shù)為對數(shù)函數(shù).

學生作品3：已知f（x）定義域為R，且f（2+x）=f（2-x），當x≤2時，f（x）=sinx，求x>2時，f（x）的解析式.

師：介入對稱性知識，換二次函數(shù)為三角函數(shù).

學生作品4：定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=x2，求f（x）在[-4，4]上的解析式.

師：這位同學“更狠”，把奇偶性、對稱性都介入進來了，好樣的.

由于時間關系，教師安排同學們先思考四道題的解題思路，然后按組對應分別做一道題，速度快的同學做完本組題后，可以做其他組的題，課堂上無法完成的題，課后再完成.這樣很好地保證課堂效率.

5 培養(yǎng)良好的數(shù)學思維習慣，發(fā)展數(shù)學學科學生所需的核心素養(yǎng)

訓練完這組題型后，教師引導同學們比較這5個例題，并發(fā)問： “通過比較，你能發(fā)現(xiàn)剛才歸納出的每一步驟的注意事項嗎？請對它一一細化.”（結合例題，師生一起歸納）

（1）假設（一定要設x在所求區(qū)間，即要求哪部分的解析式就把變量設在哪部分，不能對調）；（2）轉化（把x的范圍轉化到解析式已知的區(qū)間上，不能隨意轉化，而要根據(jù)已知的性質進行轉化，否則代入后將無法化簡.這是解決問題的關鍵，常用奇偶性、對稱性、周期性等性質進行轉化）；（3）代入（把轉化后的變量代入到已知解析式中去）；（4）化簡（由（3）結合已知函數(shù)的性質化簡出f（x）的解析式）.（這些文字也已經(jīng)放在了課件里）.

歸納完了，同學們露出歡快的表情，甚至有些得意.教師拋出一句：“同學們，我給你來個‘更狠的，有信心挑戰(zhàn)嗎？”“有”，同學們異口同聲.“很好，愛思考也會思考?。　苯處煷蛉さ卣f道，并順勢給出了課后思考的作業(yè)：

（1）函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且對任意x∈R，均有f（x）=f（x+2）成立，當x∈[0，1]時，

f（x）=loga（2-x）（a>1）.

①當x∈[-1，1]，求f（x）解析式；

②當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，求f（x）的解析式.

（2）（2010年福建省高考理科第15題改編）已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；當x∈（1，2]時，f（x）=2-x.給出如下結論：

①對任意的m∈Z，有f（2m）=0；②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；

④“若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞減”則 “存在k∈Z，使得（a，b）？哿（2k，2k+1）”.

其中所有正確結論的序號是 .

本節(jié)課堂教學在學生的積極思考中快樂地完成了學習目標任務.

匯集聽課老師的評議是：本節(jié)課，教師在教學過程中引領學生明確了對數(shù)學問題的思考方向，理解并運用探究數(shù)學問題的基本思考方法，引領學生對問題進行類比、拓展、猜想、驗證、歸納、總結，促使學生對數(shù)學問題進行深入的研究，建立出解決數(shù)學問題探究的基本模型.課堂高效、靈活，氛圍融洽，教學內容中對問題思考有梯度、有深度且能做到深入淺出.這對提高課堂教學質量，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和學科素養(yǎng)有重要意義，是一個很好的問題探究教學案例.