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簡(jiǎn)析如何掌握極限的ε語言定義

2015-05-30 05:13楊兆蘭
求知導(dǎo)刊 2015年5期
關(guān)鍵詞:極限不等式定義

楊兆蘭

摘 要:極限的ε語言定義是非常精準(zhǔn)但又極其抽象的定義, 本文從解不等式的角度出發(fā),討論了如何理解并掌握這種定義,為數(shù)學(xué)專業(yè)的初學(xué)者提供了一種思考的新角度,有助于學(xué)習(xí)者能巧妙而快速地應(yīng)用ε語言定義求極限。

關(guān)鍵詞:極限;ε-δ定義;不等式

極限理論是微積分的理論基礎(chǔ),而極限的ε語言定義是從量化的角度給出了用數(shù)學(xué)解析式計(jì)算數(shù)列an(函數(shù)f(x))與某個(gè)常數(shù)A的依賴于自變量n(x)的距離的一種定義形式。極限的ε語言定義中核心的是兩個(gè)不等式及其之間的邏輯關(guān)系。就不等式本身而言,其求解就是數(shù)學(xué)中比較難的一個(gè)環(huán)節(jié),在極限的ε語言定義中涉及兩個(gè)不等式,而計(jì)算的核心是由一個(gè)不等式出發(fā)求證另一個(gè)不等式的存在性,由于極限的語言定義的極度抽象,使得初學(xué)者對(duì)它的學(xué)習(xí)感到很難掌握。本文從不等式出發(fā),解析兩個(gè)不等式之間的這種邏輯結(jié)構(gòu),給出它們之間更為清晰的關(guān)系以便初學(xué)者能快速地應(yīng)用極限的ε語言定義解題。

一、數(shù)列極限的ε-N定義

定義1 設(shè){an}為數(shù)列,a為已知的常數(shù),若對(duì)任意的ε>0,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)有

|an-a|<ε

則稱a為數(shù)列{an}的極限,記作liman=a。

在數(shù)列極限的ε-N定義中有兩個(gè)不等式,即:

n>N和|an-a|<ε。

它們的邏輯關(guān)系是:任給ε>0,

希望不等式|an-a|<ε成立;為能使不等式|an-a|<ε成立,需對(duì)n的取值大小給出限定,當(dāng)n滿足不等式n>N時(shí),在|an-a|中,將其中的n用不等式n>N右側(cè)的N替換,就會(huì)推出不等式|an-a|<ε成立。

基于數(shù)列極限ε-N這樣的定義,

有以下兩個(gè)問題必須搞清楚:

(1)能否找到使不等式|an-a|<

ε成立的n允許取值的下限N,即不等式n>N;

(2)若能找到,如何找?

對(duì)這兩個(gè)問題的回答是理解和掌握數(shù)列極限的ε-N定義的關(guān)鍵。事實(shí)上,一般情況下,這兩個(gè)問題是在同一過程中解答的,為了找到使不等式|an-a|<ε成立的不等式n>N,有兩方面要去思考。

一方面,雖然n>N是使|an-a|<

ε成立的充分條件,但是為了更快地尋找線索,可以先假設(shè)|an-a|<ε成立,將n>N作為|an-a|<ε的必要條件推出n允許取值的下界N。事實(shí)上,如果推導(dǎo)的過程是等價(jià)關(guān)系的推導(dǎo),這樣所得到的結(jié)果n>N,同時(shí)也即是問題所要的充分條件。保證等價(jià)推導(dǎo)是很容易做到的, 所以,在解題時(shí),思考的方向往往是從|an-a|<ε出發(fā)推出n>N。這是學(xué)習(xí)數(shù)列極限的ε-N定義首先要弄清的地方。

另一方面,為了能從不等式|an-a|<ε正確地推導(dǎo)出不等式n>N,需要搭建合理而巧妙的橋梁。其中一個(gè)是將|an-a|先做適當(dāng)?shù)淖冃?。為了保證|an-a|<ε和n>N的邏輯關(guān)系不變,對(duì)|an-a|只能做恒等或放大變形。變形的目標(biāo)是去掉絕對(duì)值并得到關(guān)于n的一個(gè)真分式,其分子為常數(shù)。此時(shí),再令此真分式小于ε,推出n>N。同時(shí),可以清晰地看到,N是關(guān)于ε的函數(shù),這里要指出的是,將|an-a|恒等或放大變形為n的一個(gè)真分式,并不是很容易做到。

例1 證明lim—=0,這里α為正數(shù)。

思考過程:由于|—-0|=—,而—已經(jīng)滿足了無絕對(duì)值又是真分式的情形,所以可直接令—<ε,從而推出n>—。其中—正是要求n的取值的下界N。事實(shí)上,N可以取大些也不影響整個(gè)推證的過程。比如,取N=[—]+1。在書寫時(shí),為了符合定義的邏輯順序,證為如下:

證: 由于|—-0|=—,故對(duì)任給的ε>0,只要取N=[—]+1,則當(dāng)時(shí)n>N,便有—<—<ε,即|—-0|<

ε。這就證明了lim—=0。

例2 lim—=0

證:對(duì)任給的ε>0,為使|—-0|=—=—·—……—·—≤—<ε,

只要取N=[—],則當(dāng)n>N時(shí),便有|—-0|<ε。這就證明了lim—=0。

二、函數(shù)極限的ε-δ定義

定義1 設(shè)f(x)為定義在U(∞)上的函數(shù),A為定數(shù),若對(duì)任給的ε>

0,總存在正數(shù)M,使得當(dāng)|x|>M時(shí)

有:

|f(x)-A|<ε

則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于∞時(shí)以A為極限,記作limf(x)=A。

定義2 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U0(x0;δ')內(nèi)有定義的函數(shù),A為定數(shù),若對(duì)任給的ε>0,總存在正數(shù)δ(<δ'),使得當(dāng)時(shí)0<|x-x0|<

δ有 |f(x)-A|<ε,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限,記作limf(x)=A。

如果對(duì)數(shù)列極限的ε-N定義的上述分析理解的話,函數(shù)極限的ε-δ定義也就能順理成章地掌握,這里只需特別注意下面兩點(diǎn):

(1)在定義1中涉及的兩個(gè)不等式是:|x|>M和|f(x)-A|<ε,|x|>

M相當(dāng)于數(shù)列極限中的不等式n>N,即,需要對(duì)|f(x)-A|做恒等或放大變形至去掉絕對(duì)值并得到關(guān)于|x|的一個(gè)真分式,其分子為常數(shù)。此時(shí),再令此真分式小于ε,推出|x|>M。

(2)在定義2中涉及的兩個(gè)不等式是:0<|x-x0|<δ和|f(x)-A|<

ε,0<|x-x0|<δ相當(dāng)于數(shù)列極限中的不等式n>N。即,需要對(duì)|f(x)-A|

做恒等或放大變形至去掉絕對(duì)值并得到關(guān)于|x-x0|的多項(xiàng)式(最好次數(shù)比較低,比如一次或二次)。 此時(shí),再令此多項(xiàng)式小于ε,推出|x-x0|<δ。

和數(shù)列的極限相似,函數(shù)極限難的仍是如何將|f(x)-A|做恒等或放大變形至所需要的形式。所以需要多做題、積累經(jīng)驗(yàn)、積累很多已有的不等式和常見的一些公式,在變形過程中可以起到事半功倍的效果。

例1 證明lim—=1

證:因x→∞,不妨假設(shè)|x|>1,

對(duì)任給的ε<0,因|—-1|=—=

—,為使—<ε,推出|x|2-1>—,有|x|>√1+—,取M=√1+—,

則當(dāng)|x|>M時(shí)就有:|f(x)-1|=

|—-1|<ε。這就證明了lim—=

1。

例2 證明lim(x2-6x+10)=2

證:因x→2,不妨限制|x-2|<

1,即10,為使|f(x)-2|=(x2-6x+10)-2=|x-2|

|x-4|<3|x-2|<ε,推出|x-2|<—,取δ=min{1,—},則當(dāng)0<|x-2|<δ時(shí),就有|(x2-6x+10)-2|<ε,所以,lim(x2-6x+10)=2。

總之,從不等式的角度出發(fā)討論極限的定義,從知識(shí)的銜接上看,使得新知識(shí)建立在學(xué)生原有的解不等式知識(shí)的基礎(chǔ)之上,抽象的理論也有了可操作性的計(jì)算步驟,便于初學(xué)者掌握。

參考文獻(xiàn):

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[4]許雁琴,秦體恒,等.關(guān)于數(shù)列極限ε-N定義的教學(xué)方法研究[J].河南機(jī)電高等??茖W(xué)校學(xué)報(bào),2006(05):108—110.

(作者單位:蘭州文理學(xué)院師范學(xué)院)

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