丁艷風(fēng) 張玉靈

摘 要：換元法又稱變量替換法，它在參與數(shù)學(xué)計(jì)算和其他學(xué)科中起著重要的作用。在數(shù)學(xué)計(jì)算中不僅在所有中學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算中起著舉足輕重的作用，在大學(xué)數(shù)學(xué)上的作用也不可忽視。該文僅就大學(xué)數(shù)學(xué)微積分課程中，換元法在求極限運(yùn)算中的作用做一下簡(jiǎn)單闡述，通過例子我們將會(huì)看到換元法無處不在，只要靈活運(yùn)用，不管多么抽象、多么復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子都會(huì)變得容易多了。極限過程有很多種，我們通過常見的學(xué)生易錯(cuò)的“”型、“”型、“”型等未定式的極限來體現(xiàn)一下?lián)Q元法的妙處。

關(guān)鍵詞：換元法 極限 未定式 羅比達(dá)法則

中圖分類號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）12（a）-0249-03

Abstract：Change element method called variable substitution method，it plays an important role in mathematics and other disciplines.In mathematics not only in the calculation of all the middle school mathematics plays an important role in College Mathematics role can not be ignored.The calculus mathematics courses in universities，change element method in limit operation do a simple exposition，through examples，we will see changing Yuan Law is everywhere，as long as the flexible use，regardless of how abstract，how complex mathematical formula will becomes much easier.Limit process there are many，we through the common student error prone“”type，“”type，“”type without formulary limit to reflect the look for the beauty of element method.

Key Word：Method of Transformation；Limit；Infinitive；Robida Rule

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力”“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”“而數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換”[1]。

換元法就是在解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換對(duì)象，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題化為簡(jiǎn)單的問題，從而變得容易處理。它可以化高次為低次、劃分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。我們僅就換元法在求極限過程中的作用簡(jiǎn)單闡述一下。

1 換元法在極限定義中的應(yīng)用

極限不僅是微積分這門課程的重要工具，也是其他數(shù)學(xué)課程很多問題分析的基礎(chǔ)，所以，求極限就變得很重要。求極限不僅要準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，而且還要能準(zhǔn)確的求出各種極限。求極限是初學(xué)微積分者首先要面對(duì)的問題，不論后續(xù)課程的求導(dǎo)、求積分、判斷級(jí)數(shù)的斂散性及二重積分都離不開求極限。求極限的方法很多，該文僅就一些細(xì)節(jié)部分，大家平時(shí)不易注意的地方稍作一下概括，接下來我們通過例子僅看一下?lián)Q元法在求極限的相關(guān)題目中的使用。

初學(xué)極限時(shí)，有些基本的需要直接用結(jié)果的極限時(shí)，需要驗(yàn)證一下結(jié)論的正確性，而此時(shí)連續(xù)性這個(gè)概念還未介紹，只有極限的定義。接下來我們利用極限的定義和換元法來看一下最基本的求極限的例子。

此例告訴我們，在只有極限的定義可用的情況下，結(jié)合著換元法也同樣起到化繁為簡(jiǎn)的效果。

2 換元法在求極限中的應(yīng)用

求函數(shù)極限出現(xiàn)在微積分課本的第二章，在羅比達(dá)法則未介紹之前，對(duì)于有些“”型、“”型等未定式的極限，若采用換元法會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)單，學(xué)生也更能接受。接下來我們分幾種情況對(duì)這個(gè)問題闡述一下。

2.1 換元法在求“”型未定式的極限中的應(yīng)用

例2：求極限。

此例形式為簡(jiǎn)單的“”型，但是要證明二者為等價(jià)無窮小不做換元是不容易解決的，做一下?lián)Q元就豁然開朗了。若我們令，利用反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的關(guān)系既得，從而就化為第一重要極限的形式了。

與此例類似的還有極限，同樣做換元令，就很容易轉(zhuǎn)化為第一重要極限的形式了。接下來看一個(gè)多項(xiàng)式的例子。

例3：證明：當(dāng)X→0時(shí)，-1與是等價(jià)無窮小。

因?yàn)椋藰O限為“”型，若直接利用多項(xiàng)式的因式分解也可以做出來，但是式子太麻煩，原因是多項(xiàng)式的指數(shù)都為分?jǐn)?shù)，學(xué)生不易看懂。若換元令則，從而函數(shù)就化為關(guān)于的多項(xiàng)式的形式了，這樣就很容易把指數(shù)是分?jǐn)?shù)的函數(shù)變成指數(shù)是整數(shù)的函數(shù)了，這樣就化為我們常見的多項(xiàng)式了，因式分解后一目了然，學(xué)生也很容易接受。

例4：求極限。

此例子直接用等價(jià)無窮小代換的推廣形式即可算出，但是初學(xué)者不太會(huì)靈活運(yùn)用，且在使用過程中還容易出錯(cuò)。若此時(shí)令，就是極限過程從轉(zhuǎn)化為，而函數(shù)也變得簡(jiǎn)單了，這樣學(xué)生做起來就更容易接受且不易出錯(cuò)了。

例5：設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，求常數(shù)。

分析：由已知及連續(xù)的定義知函數(shù)在處連續(xù)從而有，而左式的求極限卻是不少同學(xué)的難點(diǎn)。原因是羅比達(dá)法則還未介紹，若使用一步就算出來了。若用換元法令，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)就可以把極限形式化為常見的等價(jià)無窮小的形式了。

2.2 換元法在求“”型極限中的應(yīng)用

“”型未定式求極限一般思路就是化為“”型或“”型，這時(shí)就有一個(gè)把誰放到分母上的問題，有些題目若不做換元直接轉(zhuǎn)化反而會(huì)更麻煩，所以，在轉(zhuǎn)化之前一定要根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活應(yīng)用。

例6：求極限。

這種類型的極限是“”型未定式求極限同時(shí)也是在等價(jià)無窮小代換沒學(xué)之前遇到的，剛學(xué)過第一重要極限，學(xué)生做的錯(cuò)誤百出，什么樣的錯(cuò)誤都有，其實(shí)若在做的過程中做個(gè)換元令，極限過程就從“”轉(zhuǎn)化為“”，而函數(shù)就轉(zhuǎn)化成大家都熟悉的形式了，這樣不僅把過程變得簡(jiǎn)單了，還不容易出錯(cuò)，把所有易出錯(cuò)的地方就都避免了。

例7：求極限。

此極限是“”型未定式求極限，此時(shí)羅比達(dá)法則已經(jīng)學(xué)過，再做這類題目就是把“”型轉(zhuǎn)化為“”型或“”型，這就需要有一個(gè)因子要放到分母上，但都是太麻煩，若作等價(jià)無窮小代換又與平時(shí)常見的等價(jià)無窮小類型不一樣，這時(shí)不妨做個(gè)換元令，極限過程就化為，而同時(shí)函數(shù)也化為常見的等價(jià)無窮小的形式了，這樣學(xué)生做起來就不容易出錯(cuò)，求極限就變得簡(jiǎn)單多了。

例8：求極限。

此極限類型與上題是一種類型，也是“”型未定式求極限，做題方法仍是轉(zhuǎn)化為“”型或“”型，若不做個(gè)換元而直接轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使用羅比達(dá)法則會(huì)越算越麻煩。這個(gè)題目的簡(jiǎn)單做法就是令，則函數(shù)就化為常見的形式，且極限過程也從轉(zhuǎn)化為了。

2.3 換元法在求“”未定式中的應(yīng)用

對(duì)于“”未定式求極限，常常采用的方法是通分或者根式有理化化為“”型或“”型，但是有些問題并沒那么簡(jiǎn)單，大多數(shù)學(xué)生第一步都會(huì)，就是接下來錯(cuò)誤百出，極個(gè)別類型題學(xué)生第一步就不知從何下手，接下來的兩個(gè)題目告訴我們換元法在解決這個(gè)問題時(shí)的方便之處。

例9：求極限。

此極限把函數(shù)通分就可以化為“”型，利用羅比達(dá)法則就可以做出來，但是分母是兩個(gè)函數(shù)的乘積，求導(dǎo)有點(diǎn)繁瑣，若換元令，再結(jié)合等價(jià)無窮小代換就可以避免分母是兩個(gè)函數(shù)乘積的情況，這樣計(jì)算起來不僅簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。

例10：求極限。

此類型亦為“”型，這個(gè)題目有點(diǎn)特殊，通分沒分母，根式有理化沒根號(hào)，一時(shí)間給人一種無從下手的感覺。這時(shí)就要?jiǎng)?chuàng)造分母，做一個(gè)換元就可以解決這個(gè)難題，此換元法也可稱為“倒代換”（即倒數(shù)代換）。

若我們令，就創(chuàng)造了分母，通分后就化為了“”型，直接利用羅比達(dá)法則就很容易做出來了。

3 結(jié)語

由上可知，換元法在求極限的過程中無處不在，不僅在極限的定義中有方便之處，在不同類型的極限中也起著簡(jiǎn)化計(jì)算的作用。其實(shí)換元法在微積分的教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，解題時(shí)大家可以根據(jù)問題的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用，這樣能給問題帶來方便。因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)，特別是計(jì)算數(shù)學(xué)問題時(shí)，要有意識(shí)的訓(xùn)練運(yùn)用換元法的技能，有效地提高解題的應(yīng)變能力與思維能力，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

參考文獻(xiàn)

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