凌鵬

摘要：換元法是高中數(shù)學(xué)重要的解題方法，某些數(shù)學(xué)問題中，由于變量間的關(guān)系比較隱蔽，它們之間實質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即便發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，但由于表面形式復(fù)雜而不易直接求解。如果進行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，這樣就容易揭示出它們之間的聯(lián)系，化繁為簡，化難為易，因此便產(chǎn)生了換元法這一重要的解題方法。換元法是高中階段必須掌握的重要解題方法，同時也可以改善學(xué)生的思維方式和提高思維能力。但初學(xué)者對換元法的使用存在著很多誤區(qū)，本文著力于找出這些誤區(qū)，分析錯誤產(chǎn)生的原因，讓初學(xué)者能從中有所啟發(fā)，總結(jié)經(jīng)驗，熟練掌握此法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想 換元法 換元法誤區(qū)

中圖分類號：G633.4

解決數(shù)學(xué)問題時，如果將某代數(shù)式看成一個整體，用一個新變量去代替它，從而使問題得到簡化，這種方法叫做換元法[1]。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。高中階段，該方法首次運用于求函數(shù)解析式，初次講解此方法時，每位數(shù)學(xué)老師都極力用自己的語言去形象生動地闡述它，語言看似簡單明了，但卻難以駕馭。換元法是解題經(jīng)驗的積累，初學(xué)者不易熟練使用。高中數(shù)學(xué)最重要的幾大解題思想方法包括：分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，反證思想等。換元法其本質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想，在高中數(shù)學(xué)中使用頻率高。換元法的關(guān)鍵是“設(shè)元”，理論依據(jù)是“等量代換”，目的是“轉(zhuǎn)化研究對象”，將問題轉(zhuǎn)移到其他知識背景中去研究，使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化。形象而言，換元法能將無法一步登頂?shù)呐_階拆分為多步完成，或不與困難問題正面交鋒，采用迂回戰(zhàn)術(shù)解決。下面以一個數(shù)學(xué)問題為例，展示換元法的精妙之處。

例1.化簡根式： ；

解：設(shè) ，兩邊平方，

得： ；

即： ，由于原式為正數(shù)，故 ；

總結(jié)：本題表面形式復(fù)雜而不易直接求解，看起來十分困難，但仔細觀察可發(fā)現(xiàn) 與 具有一定的關(guān)系，如果能將兩者都平方，不但可以去掉根號，還能將 與 抵消。怎么實現(xiàn)平方呢？如果是方程，左右兩邊同時平方即可，通過分析，便得出了以上解題方法。使用換元法后，解題過程簡單明了，特別適合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生。此題體現(xiàn)了換元法的精妙之處，但如果沒有對換元法進行深入研究，總結(jié)經(jīng)驗，很難想到使用此法。

雖然換元法在解決代數(shù)式化簡、解方程（組）、解不等式（組）、求函數(shù)值域、求函數(shù)解析式，研究復(fù)合函數(shù)以及微積分等問題中起著重要的轉(zhuǎn)化作用，能讓很多難以解決的問題迎刃而解，但初學(xué)者卻感到難以駕馭，稍不注意便漏洞百出。因此，必須強調(diào)使用換元法過程中常常會遇到的以下誤區(qū)：

誤區(qū)一：忘記標注“新元”的取值范圍或標注范圍有誤；

例2.若 ，求 的最小值。[2]

錯解：令 ，因為 ，故 。所以 ，即 ；

當(dāng)且僅當(dāng) 時取最小值2，亦即：當(dāng) 時， 取得最小值2。

分析：“新元”范圍不能簡單的由正負分析而得出，務(wù)必將t看作關(guān)于x的函數(shù)，利用求值域的方法求出t的范圍，由于 ，且 ，無論使用均值不等式還是勾型函數(shù)圖像，都易知 ，所以錯解中“當(dāng)且僅當(dāng) 時， 取得最小值2”是不成立的。

正解：令 ，因 ，故 ，即 ；

原式為： （其中 ），由勾形函數(shù)圖像可知： ；

誤區(qū)二：“設(shè)元”對象選取不當(dāng)；

例3. 求函數(shù) 的值域；

錯解：令 ， ，兩邊同時加1得： ，

即： ，所以原函數(shù)為： ，

因為 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，故 ；

分析：錯解中由“ ”導(dǎo)出“ ”顯然考慮不周，應(yīng)改為： 。此時進行分類討論又顯得過于繁瑣，問題的根源在于“設(shè)元”對象選取不當(dāng)，若改變換元對象，可順利解決。

正解：令 ， ，左右兩邊平方得： ，

即 ，故原函數(shù)為： ， ；

由二次函數(shù)圖像易知：

誤區(qū)三：將原函數(shù)與換元后的新函數(shù)混淆不清；

例4.研究函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性；

錯解：令 ，因 ，故 ，由 的圖像知：

函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ；

分析：“新元” 在解題過程中僅僅是一個中間變量而已，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，不能僅僅關(guān)注中間變量t的范圍，而應(yīng)關(guān)注最終變量x的變化范圍。

正解：令 ，因 ，故 ，由 的圖像知：

當(dāng) 時，函數(shù) 單調(diào)遞增，

當(dāng) 時，函數(shù) 單調(diào)遞減，

反解得： 單增區(qū)間為 ，單減區(qū)間為 ；

誤區(qū)四：夸大換元法的解題效果；

雖然換元法在解決數(shù)學(xué)問題有其獨特的優(yōu)勢，但是夸大換元法的解題效果是不可取的。研究數(shù)學(xué)問題在于看清問題的本質(zhì)，看清知識的內(nèi)在聯(lián)系，切勿死板教條，一些高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常常使用題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生反復(fù)記憶解題方法，雖然題海戰(zhàn)術(shù)在某種意義上能夠強化學(xué)生對知識的理解和記憶，但弊端不少。高中數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該以引導(dǎo)思考為主，對比練習(xí)為輔。

求函數(shù) 的值域時，可令 （其中 ），反解得： ，原函數(shù)變形為： （其中 ），由二次函數(shù)圖像可解出值域為 。若將題目改為：求函數(shù) 的值域，部分學(xué)生便不假思索的開始使用換元法，因為二者具有相當(dāng)高的相似度，但使用換元法求解顯然“不太高明”。顯然函數(shù) 是定義域 上的單調(diào)遞增函數(shù)，故值域為 。雖然換元法也能解決，但反而將簡單問題復(fù)雜化。以上兩個例題雖然簡單，也常常被數(shù)學(xué)教師作為例題引用，但很多老師都沒有為學(xué)生分析過它們兩者的區(qū)別和聯(lián)系，造成學(xué)生的思維困惑。

雖然在數(shù)學(xué)中，換元法有著極其重要的作用，學(xué)會運用換元法，不但可以溝通數(shù)學(xué)各個分支之間的聯(lián)系，還能擴大視野，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。對于一些較難的題目，我們還應(yīng)當(dāng)通過認真觀察問題的結(jié)構(gòu)特征，深入分析問題的隱含條件，采用類比、猜想等手段進行適當(dāng)?shù)膿Q元，并綜合運用各方面的知識給予解決。但在運用時也要注意題目中的一些條件，避免陷入一些常見的解題誤區(qū)。本文在于拋磚引玉，啟發(fā)喜歡研究數(shù)學(xué)的同學(xué)們?nèi)シe極思考其他解題方法的使用范圍以及常見錯誤，歸納總結(jié)好的學(xué)習(xí)方法。

參考文獻：

[1]柳重堪.高等數(shù)學(xué)[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2003.

[2]常佩宇、秦雨萍、楊強、鄒學(xué)東.換元法常見錯誤分析.內(nèi)江科技，2007，2：43.