孫朝仁 朱桂鳳

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為理解數(shù)學(xué)提供了內(nèi)源幫助。蘇科版初中《數(shù)學(xué)》教科書(shū)中提供了大量的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素材，為破解難點(diǎn)、突出重點(diǎn)、消除盲點(diǎn)提供了研究載體;江蘇科技出版社出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書(shū)·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》為初中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了教學(xué)載體。但由于課時(shí)長(zhǎng)度、教學(xué)容量、實(shí)驗(yàn)條件的即時(shí)性局限，課堂無(wú)法完整銜接既定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。如何做好教學(xué)上的適應(yīng)性銜接，值得研究。實(shí)踐證明：以“實(shí)驗(yàn)切片”形態(tài)呈現(xiàn)更契合初中數(shù)學(xué)課堂現(xiàn)實(shí)，有利于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的常態(tài)化開(kāi)展。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)切片教學(xué)的價(jià)值探問(wèn)

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中需要培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)思維，這是王光明教授的數(shù)學(xué)教育命題觀(guān)。而建構(gòu)思維的常態(tài)培養(yǎng)離不開(kāi)實(shí)驗(yàn)切片的隨機(jī)切入，因?yàn)榍腥氲倪^(guò)程就是認(rèn)知建構(gòu)“瞬時(shí)”內(nèi)源化的過(guò)程。這里的“建構(gòu)”包括認(rèn)知建構(gòu)的外源化（意義建構(gòu)雙基）、辯證化（再發(fā)現(xiàn)已有概念和命題）和內(nèi)源化（形成個(gè)性化特征的數(shù)學(xué)思想方法），而建構(gòu)內(nèi)源思維是切片實(shí)驗(yàn)努力的主流方向，是數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的動(dòng)力源和原動(dòng)力，具有創(chuàng)造的突發(fā)性并與直覺(jué)思維相聯(lián)接。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)切片（實(shí)驗(yàn)碎片）可以調(diào)和教學(xué)需求和容量有限的矛盾沖突，實(shí)現(xiàn)主實(shí)驗(yàn)有效切入“四基”序列并邏輯化的實(shí)驗(yàn)初衷，能常態(tài)落實(shí)“積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的輔助教學(xué)功能。

就后現(xiàn)代教育心理學(xué)而言，數(shù)學(xué)思維的過(guò)程就是學(xué)習(xí)心理縱向活動(dòng)的過(guò)程。由于實(shí)驗(yàn)切片承載縱向知識(shí)理序化的銜接功能（由數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)），因此實(shí)驗(yàn)“切片”的過(guò)程就是垂直化學(xué)習(xí)心理幡然醒悟的過(guò)程，也是心理學(xué)習(xí)水平漸次攀升的過(guò)程?！吨R(shí)與控制》一書(shū)的作者倫敦大學(xué)的Michael Young教授將知識(shí)分為水平知識(shí)（日常生活經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)）和垂直知識(shí)（系統(tǒng)的概念性知識(shí)），認(rèn)為課程知識(shí)要超越日常生活知識(shí)，垂直知識(shí)教學(xué)要懸置學(xué)生經(jīng)驗(yàn)。這里的“超越”意味著概念心理水平的抬升，而較高層次心理水平的垂直變遷離不開(kāi)切片實(shí)驗(yàn)的直觀(guān)鋪墊，因此切片實(shí)驗(yàn)造就垂直化學(xué)習(xí)心理樣態(tài);這里的“懸置”反映胡塞爾的哲學(xué)思想，意味著“因獨(dú)立而存在，因存在而依存”的個(gè)概念經(jīng)驗(yàn)，唯有騰出原本騰不出的時(shí)空讓學(xué)習(xí)者經(jīng)歷切片實(shí)驗(yàn)，方能契合因垂直而理解并系統(tǒng)化銜接個(gè)概念的學(xué)習(xí)心理。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)切片教學(xué)銜接的案例分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在實(shí)施建議中指出，積極開(kāi)發(fā)和有效利用各種課程資源，注重課程內(nèi)容的整合，鼓勵(lì)教師自制教具以彌補(bǔ)教學(xué)設(shè)施的不足。這里的“利用”“整合”“彌補(bǔ)”反映課程教育對(duì)限量課堂的一種效益期待，“效益”離不開(kāi)難點(diǎn)破解和重點(diǎn)把握，而實(shí)驗(yàn)切片能實(shí)現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達(dá)到甚至夠不到的效果，因此切片實(shí)驗(yàn)貼合“問(wèn)學(xué)”課堂教學(xué)內(nèi)需的現(xiàn)狀。由于概念、符號(hào)、方法規(guī)律的認(rèn)知屬于灰色區(qū)域，對(duì)分析思維尚未健全的初中生而言，研究銜接概念型、符號(hào)型、方法型切片實(shí)驗(yàn)案例尤為迫切和必要。

1.概念型實(shí)驗(yàn)切片

在實(shí)驗(yàn)切片“在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)”中，設(shè)置實(shí)驗(yàn)流程為：（1）拼一個(gè)面積為2的正方形;（2）在數(shù)軸上表示這個(gè)面積為2的正方形的邊長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn);（3）經(jīng)歷操作，你得到怎樣的結(jié)論？該實(shí)驗(yàn)切片是由蘇科版《數(shù)學(xué)》“2.3數(shù)軸”第1課時(shí)的教學(xué)環(huán)節(jié)剪切而來(lái)。這節(jié)課共設(shè)計(jì)四個(gè)活動(dòng)，“做一做和練一練”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“自做”“自研”“合研”等外源方式習(xí)得有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;“試一試和說(shuō)一說(shuō)”則是“實(shí)驗(yàn)切片+反思?xì)w結(jié)”，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“心做”“手做”“嘴做”等內(nèi)源方式理解無(wú)理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)個(gè)概念的水平化理解，示范概念型實(shí)驗(yàn)切片隨機(jī)銜接的課堂樣態(tài)。

就《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》七年級(jí)上冊(cè)“實(shí)驗(yàn)2：在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)”設(shè)計(jì)方案而言，切掉計(jì)算機(jī)模擬環(huán)節(jié)和“在數(shù)軸上表示圓周率所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)”操作環(huán)節(jié)，將其放在課后作為兒童發(fā)展思維的載體;就教材呈現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)素材而言，將“2.2有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”的“議一議”活動(dòng)素材（將兩個(gè)面積為1的正方形沿對(duì)角線(xiàn)剪拼成面積為2的正方形）剪切做成實(shí)驗(yàn)切片的流程（1），而流程（2）則是教材呈現(xiàn)的主實(shí)驗(yàn)，只不過(guò)在做的過(guò)程中學(xué)生呈現(xiàn)兩種方案（將小直角三角形的斜邊或直角邊放在數(shù)軸上，一端與原點(diǎn)重合并拼出符合條件的圖形），而教材僅呈現(xiàn)一種直觀(guān)方案（即前一種方案）。執(zhí)教者這樣切片實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠卸皇腔跁r(shí)空受限課堂無(wú)法銜接完整實(shí)驗(yàn)的客觀(guān)現(xiàn)實(shí);二是基于學(xué)生現(xiàn)有分析思維無(wú)法直接夠到“在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)”的理解事實(shí)。實(shí)施該實(shí)驗(yàn)切片，體現(xiàn)“理論”為“直觀(guān)”讓步的教學(xué)機(jī)智，進(jìn)而達(dá)成因切片實(shí)驗(yàn)而破解難點(diǎn)的本質(zhì)初衷，解決了理論課堂與直觀(guān)實(shí)驗(yàn)在邏輯化關(guān)聯(lián)過(guò)程中產(chǎn)生的時(shí)空矛盾，實(shí)現(xiàn)常態(tài)課堂與適應(yīng)性主實(shí)驗(yàn)的有機(jī)接軌。

2.符號(hào)型實(shí)驗(yàn)切片

在實(shí)驗(yàn)切片“翻牌游戲”中，實(shí)驗(yàn)流程設(shè)置為：請(qǐng)取出7張撲克，全部正面朝上放在桌上，每次翻3張（包括已經(jīng)翻過(guò)的）。你能夠經(jīng)過(guò)若干次翻牌，所有的撲克都正面朝上嗎？若每次翻2張能成功嗎？為什么？本實(shí)驗(yàn)切片由近期《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》使用培訓(xùn)會(huì)的一節(jié)研討課剪切而來(lái)。原實(shí)驗(yàn)是一節(jié)完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，共設(shè)置4個(gè)由特殊到一般的雙向思維活動(dòng)。筆者僅剪切前兩個(gè)活動(dòng)作為破解“有理數(shù)乘法符號(hào)定性”這一難點(diǎn)的研究載體。就蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第59頁(yè)呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)“算24”而言，該實(shí)驗(yàn)由玩撲克活動(dòng)經(jīng)歷內(nèi)顯變式并適度拓展而來(lái);就《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》設(shè)計(jì)的“實(shí)驗(yàn)5：撲克牌游戲”是對(duì)抽象算式的直觀(guān)化探尋和釋義，在本質(zhì)層面也是對(duì)“算24”思維活動(dòng)的水平拓展和垂直延伸。就實(shí)驗(yàn)切片作為直觀(guān)理解的工具而言，筆者認(rèn)為翻牌游戲的主價(jià)值在于“確認(rèn)有理數(shù)乘積符號(hào)”這一結(jié)論的直觀(guān)意義，不在于流程的完備和元認(rèn)知的反復(fù)介入，因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)起于直覺(jué)終歸于理解。

蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“2.6有理數(shù)的乘法與除法”第1課時(shí)，難點(diǎn)是有理數(shù)乘法運(yùn)算“結(jié)果符號(hào)的確定”，而“有理數(shù)乘法法則”理解的難點(diǎn)也是抽象的“同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)”。為此教材編者作了直觀(guān)上的努力，以水文觀(guān)測(cè)中的水位上升和下降為直觀(guān)背景，通過(guò)“做一做”“試一試”“議一議”螺旋上升的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索法則的合理性（重在認(rèn)證符號(hào)規(guī)定的合情性），其難度可見(jiàn)一斑。盡管新蘇科版教材因容量的限制刪掉“有理數(shù)乘法符號(hào)法則”（幾個(gè)有理數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定。當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù);當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正），但在運(yùn)算過(guò)程中學(xué)生依然必須內(nèi)化理解它，方能正確解答。為了后續(xù)相關(guān)學(xué)習(xí)的需要，筆者剪切該實(shí)驗(yàn)切片，在課尾讓學(xué)生在翻牌中體驗(yàn)“7翻3成功，而7翻2不成功”的直觀(guān)原因（-1×（-1）3=1，-1×（-1）2=-1），從而內(nèi)化“符號(hào)規(guī)約”的合理性，釋放實(shí)驗(yàn)切片適切銜接應(yīng)有的直觀(guān)價(jià)值。

3.方法型實(shí)驗(yàn)切片

在實(shí)驗(yàn)切片“借助拼圖把握配方法”中，實(shí)驗(yàn)流程設(shè)置為：（直觀(guān)表示一元二次方程x2+6x-7=0的配方過(guò)程）（1）任意畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)為（x+6），寬為 x的矩形;（2）將該矩形剪成一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形和長(zhǎng)為x、寬為3的兩個(gè)全等的矩形;（3）不重合、不黏貼、不再剪切的情況下能拼成正方形嗎？若想拼成正方形還需添加什么條件？（4）若原矩形的面積是7，新拼成的正方形面積是多少？此時(shí)，能得到怎樣的關(guān)系式？該實(shí)驗(yàn)切片是由新蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“1.2一元二次方程的解法”第2課時(shí)（配方法）“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”素材變式加工而來(lái)。教材站在平方根的基礎(chǔ)上講述一元二次方程的解法直接開(kāi)平方法，又在直接開(kāi)平方的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)配方的方法論體系。尤其是在配方過(guò)程中，對(duì)“方程的兩邊總要加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”這一硬性規(guī)定的理解，學(xué)生處在“知其然，但不知其所以然”的“悱憤”狀態(tài)，所以切入直觀(guān)的圖式語(yǔ)言尤為必要和關(guān)鍵。為此，筆者隨機(jī)切入該實(shí)驗(yàn)切片，可以達(dá)成以下兩個(gè)目標(biāo)：一是通過(guò)剪拼圖形將抽象的配方過(guò)程直觀(guān)顯示，讓學(xué)習(xí)者體驗(yàn)配方規(guī)約的合情性;二是通過(guò)割補(bǔ)矩形構(gòu)造正方形的過(guò)程，直觀(guān)顯化“二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方”的合理性。另外，筆者一直認(rèn)為“照單全收”不是藝術(shù)的剪切，由大量的模仿操練獲得的解題技術(shù)不具有長(zhǎng)久性，會(huì)因“消化不良”而漸次放空。因此“巧做”遠(yuǎn)比“派送”來(lái)得深刻，這與詩(shī)人陸游“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”的“致用”思想血脈相連。

就教材呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素材而言，借助拼圖特例直觀(guān)表達(dá)一元二次方程配方流程的合理性。教材編者為研究x2+2x-24=0的配方過(guò)程，借助“變形+轉(zhuǎn)化”方法構(gòu)造可配方的形態(tài)：x（x+2）=24。這樣具體運(yùn)演配方的過(guò)程，就可看成一個(gè)長(zhǎng)是（x+2）、寬是x、面積是24的矩形割補(bǔ)成一個(gè)正方形。這樣的直觀(guān)思考改造，就為形式運(yùn)演切片實(shí)驗(yàn)的適應(yīng)性制作提供可資借鑒的研究范式。就配方法在教材中的地位而言，具有“萬(wàn)能”稱(chēng)號(hào)的配方法對(duì)解答一元二次方程是不可或缺的，研究方法論意義重大。后續(xù)的一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、一元二次不等式、余弦定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基于定向變形構(gòu)造完全平方式的結(jié)構(gòu)體系都與配方法通體相關(guān)。就配方法的數(shù)學(xué)理解而言，初中生的經(jīng)驗(yàn)思維和直覺(jué)思維尚占主導(dǎo)地位，理解抽象的配方法其難度可想而知。銜接直觀(guān)實(shí)驗(yàn)切片成為解除理解困惑的內(nèi)在需求，所以簡(jiǎn)單的操練必須為直觀(guān)的理解讓步，方能讓技藝性模仿形成產(chǎn)生式系統(tǒng)，否則無(wú)法形成由“知”到“識(shí)”的技能。因此，在課末銜接適應(yīng)性實(shí)驗(yàn)切片意義非凡。

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)切片教學(xué)的銜接觀(guān)點(diǎn)

實(shí)驗(yàn)切片具有直擊主流思維的優(yōu)勢(shì)，但因其輔助工具的地位，不應(yīng)是教學(xué)主流，所以只在必須處插入其理解功能，實(shí)現(xiàn)必要的理解幫助和幫助理解。就目前研究結(jié)論而言，筆者認(rèn)為在以下三個(gè)時(shí)機(jī)必須切入適應(yīng)性實(shí)驗(yàn)切片。

1.數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)無(wú)法垂直聯(lián)結(jié)時(shí)需要銜接實(shí)驗(yàn)切片。數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的邏輯形態(tài)是梯級(jí)攀升的，垂直聯(lián)結(jié)相關(guān)概念的過(guò)程，就是理解把握科學(xué)形態(tài)數(shù)學(xué)概念的再造過(guò)程。對(duì)于上述概念型切片實(shí)驗(yàn)涉及的有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩概念，前者與小學(xué)算術(shù)緊密銜接，水平化理解有理數(shù)概念不困難，但從有理數(shù)走向無(wú)理數(shù)卻是認(rèn)識(shí)論層面的躍遷（垂直聯(lián)結(jié)），沒(méi)有切片實(shí)驗(yàn)的直觀(guān)分析和數(shù)據(jù)量化實(shí)驗(yàn)，讓兒童感知“找不到一個(gè)數(shù)的平方等于2”和感受“無(wú)限”的過(guò)程，就很難接收“無(wú)理”的無(wú)理數(shù)。因此，垂直概念無(wú)法邏輯貫通時(shí)需要切片實(shí)驗(yàn)的適應(yīng)性幫助。

2.思維內(nèi)源認(rèn)知無(wú)法通達(dá)運(yùn)演時(shí)需要銜接實(shí)驗(yàn)切片。數(shù)學(xué)力的培養(yǎng)應(yīng)以思維概括力的作用為基礎(chǔ)，概括力釋放的過(guò)程就是內(nèi)源認(rèn)知思維通達(dá)運(yùn)演的過(guò)程。正如上述鋪成的符號(hào)型切片實(shí)驗(yàn)，是借助翻牌研究有理數(shù)乘法符號(hào)法則。按條件翻牌的過(guò)程就是學(xué)生內(nèi)源認(rèn)知概括符號(hào)論斷的過(guò)程，也就是抽象的符號(hào)規(guī)約在直觀(guān)運(yùn)演時(shí)得以通達(dá)化，進(jìn)而形成定性的內(nèi)源認(rèn)知產(chǎn)生式（負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)決定符號(hào)的性質(zhì)）。因此，內(nèi)源認(rèn)知打結(jié)時(shí)需要直觀(guān)的切片實(shí)驗(yàn)捷足先登，方能實(shí)現(xiàn)由“識(shí)”到“能”的縱向運(yùn)演而通達(dá)。

3.客體現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)無(wú)法調(diào)和并軌時(shí)需要銜接實(shí)驗(yàn)切片。中學(xué)數(shù)學(xué)課程是數(shù)學(xué)概念、原理和方法的體系，掌握方法遠(yuǎn)比中空訓(xùn)練來(lái)得有價(jià)值。而方法體系的產(chǎn)生依托于客體（學(xué)生）現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)客觀(guān)化，客體個(gè)經(jīng)驗(yàn)調(diào)和并軌的過(guò)程就是客觀(guān)經(jīng)驗(yàn)形態(tài)的形成過(guò)程。由算術(shù)平方根到直接開(kāi)平方是橫向知識(shí)的序列化，而由直接開(kāi)平方到配方法卻是縱向知識(shí)的邏輯化。切片實(shí)驗(yàn)割補(bǔ)圖形的過(guò)程，就是并軌“條件方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”個(gè)經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)過(guò)程。唯有借助切片實(shí)驗(yàn)的直觀(guān)調(diào)和，方能達(dá)成由“能”到“力”集體經(jīng)驗(yàn)的變遷。

此外應(yīng)注意的是，對(duì)新事物的認(rèn)識(shí)需要有自己的判斷力，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)概莫能外。實(shí)驗(yàn)切片更有能力擔(dān)當(dāng)輔助工具的責(zé)任，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書(shū)·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》需要在后續(xù)的改造中進(jìn)行適應(yīng)性革新，讓其貼著課堂現(xiàn)實(shí)行走。

（孫朝仁，連云港市教育科學(xué)研究所，222006;朱桂鳳，連云港市新浦中學(xué)，222003）

責(zé)任編輯：趙赟