數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》在課程理念中對數(shù)學(xué)素養(yǎng)有專門的描述：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)教育以及自身的實(shí)踐和認(rèn)知活動(dòng)，所獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和解決問題能力的總和。張奠宙先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)包括數(shù)學(xué)意識、問題解決、邏輯推理和信息交流這樣四個(gè)部分?？梢?，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是主體對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感悟、反思和表現(xiàn)。因此，教學(xué)中，教師只有組織有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生真正經(jīng)歷知識的形成和運(yùn)用過程，才能最終達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。本文結(jié)合個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧谶^程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的一些數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力

數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)，一般會經(jīng)歷一個(gè)“現(xiàn)實(shí)原型的感知、概念的抽象、概念的識別與現(xiàn)實(shí)原型的再尋求、概念的情境運(yùn)用”這樣一個(gè)大致的過程。教學(xué)中，教師應(yīng)注意讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)概念的形成過程，在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力。

【案例1】反比例函數(shù)教學(xué)片斷（蘇科版數(shù)學(xué)八下11.1）

師：剛才同學(xué)們用函數(shù)表達(dá)式表示實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系.

①s=90t;②y=20x+100;③t=■;④s=3a2;

⑤a=■;⑥y=■;⑦m=-■;⑧y=-300x+80.

那么，你能將它們分類嗎？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論）

師：有結(jié)果嗎？哪位同學(xué)代表本組說一說，你打算分幾類？你分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生1：第一類含分母③、⑤、⑥、⑦;第二類不含分母①、②、④、⑧;

師：還有其他分類方法嗎？

生2：把上述第二類再分成兩種，因此可以分為三類，第一類①、②、⑧它們都是一次函數(shù);第二類④自變量指數(shù)為2;第三類③、⑤、⑥、⑦分母是字母。

師：函數(shù)④九年級研究，下面請同學(xué)們分組合作探究函數(shù)關(guān)系式③、⑤、⑥、⑦具有什么共同特征？

生3：③、⑤、⑥、⑦解析式的右邊的代數(shù)式都是分式。

生4：它們分母中都含有字母，這4個(gè)函數(shù)都不是一次函數(shù)。

生5：這些關(guān)系式中的兩個(gè)變量都是反比例關(guān)系;

生6：它們自變量的指數(shù)都是-1。

師：如何描述？你有這樣的經(jīng)驗(yàn)嗎？

生7：類比一次函數(shù)的概念，它們都具有y=■的形式。

師：k是什么數(shù)？有限制條件嗎？

生8：k是常數(shù)，且k≠0。

師：自變量x有沒有范圍呢？為什么？

生9：因?yàn)榉帜覆荒転榱?，所以，x≠0的實(shí)數(shù)。

師：因變量y呢？

生10：y≠0的實(shí)數(shù)。

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：函數(shù)③、⑤、⑥、⑦變量與變量的積是定值。

師：你的發(fā)現(xiàn)了不起！如果讓你給這類函數(shù)起個(gè)名字，你能嗎？

生12：形如y=■（k是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)是反比例函數(shù)。

師：還能寫成什么形式？

生13：xy=k（k≠0）與y=kx-1（k≠0）。

上述教學(xué)片斷首先從函數(shù)概念出發(fā)，列舉生活中不同類型的函數(shù)關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生分類，把上述函數(shù)關(guān)系分成已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、即將學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)和以后要學(xué)的二次函數(shù)，在此基礎(chǔ)上引入反比例函數(shù)概念。這種以“知識背景-知識形成-揭示聯(lián)系”為線索，來呈現(xiàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)材料，更能幫助學(xué)生了解反比例函數(shù)在函數(shù)中的位置，進(jìn)一步理解函數(shù)的本質(zhì)，明確與正比例函數(shù)的異同，有助于學(xué)生形成知識結(jié)構(gòu)。老師的啟發(fā)追問使學(xué)生思維逐步深入，使反比例函數(shù)的本質(zhì)特征逐步得到揭示，教學(xué)難點(diǎn)得到突破。這一過程中教師有機(jī)地滲透了“特殊到一般”、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，有效地培養(yǎng)了學(xué)生抽象概括及符號化的能力，這是對學(xué)生學(xué)習(xí)力積極地“外爍”，也是學(xué)生良好學(xué)習(xí)品質(zhì)的“悄然”“內(nèi)生”。

2.在定理發(fā)現(xiàn)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)

定理的教學(xué)，一般會經(jīng)歷“情境引入、探究發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證證明、理解與鞏固運(yùn)用”的過程。讓學(xué)生經(jīng)歷定理的探索過程、發(fā)現(xiàn)過程，就是讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)命題、提出猜想、推理論證進(jìn)而獲得定理的過程。

【案例2】蘇科版九年級6.4探索兩個(gè)三角形相似的條件（2）教學(xué)片斷。

師：研究一個(gè)圖形，一般從定義、判定、性質(zhì)三個(gè)方面進(jìn)行。今天我們開始研究三角形相似的條件。如何研究呢？能找到方向嗎？想一想，這與以前學(xué)過的什么知識有關(guān)聯(lián)？

生1：與全等三角形的判定有關(guān)聯(lián)。

師：相似三角形與全等三角形的關(guān)系是什么？判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪些？

生2：全等三角形是特殊的相似三角形，判斷兩個(gè)三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL。

師：根據(jù)特殊與一般的關(guān)系，你認(rèn)為判定兩個(gè)三角形相似的條件是變多了，還是變少了？

生3：應(yīng)該變少，由三個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)條件，因?yàn)橐粋€(gè)條件顯然不行。

師：怎么變呢？即判定全等三角形條件中的“角對應(yīng)相等”“邊對應(yīng)相等”應(yīng)作如何改變？由ASA可得到三角形相似的判定方法是什么呢？

生4：“角對應(yīng)相等”不變，“邊對應(yīng)相等”變?yōu)椤斑厡?yīng)成比例”，由ASA可得到三角形相似的判定方法是“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”。

師：很好！但這僅僅是猜想，根據(jù)我們研究全等三角形判定的經(jīng)驗(yàn)，接下來我們應(yīng)該做什么？

生5：應(yīng)該畫圖、觀察、證明。

師：不錯(cuò)，現(xiàn)在同學(xué)們動(dòng)手畫圖，如圖2，已知∠α，∠β，作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β。（學(xué)生動(dòng)手畫圖，工具不限）

師：觀察，同桌兩人所畫的兩個(gè)三角形相似嗎？

生（齊說）：相似。

師：目前，我們證明三角形相似的方法只有預(yù)備定理，你能用學(xué)過的方法證明嗎？即如圖3，在△ABC與△ABC中，已知∠A=∠A，∠B=∠B。求證△ABC∽△ABC。

（學(xué)生先思考，然后四人小組討論，再全班交流）

生6：如圖4，因?yàn)椤螦=∠A，平移△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，AC落在AC上，AB落在AB上.又由∠ABC=∠B，可得BC∥BC，所以△ABC∽△ABC。

師：非常棒！還有不同方法嗎？

生7：在△ABC邊AC、AB分別截取AC=AC、AB=AB，可證△ABC全等于△ABC，并設(shè)∠ABC=∠B，所以∠ABC=∠B，所以BC∥BC，所以△ABC∽△ABC，所以△ABC∽△ABC。

師：很好！可能還有其他方法，但不管哪種方法，都離不開證△ABC全等于△ABC，以及BC∥BC。

師：這樣，我們就得到這個(gè)猜想是正確的.誰能用文字語言敘述？幾何語言呢？

生8：兩角相等的兩個(gè)三角形相似;幾何語言是在△ABC與△ABC中，因?yàn)椤螦=∠A，∠B=∠B，所以△ABC∽△ABC。

從以上教學(xué)片斷不難看出，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)相似三角形與全等三角形的關(guān)系，類比全等三角形的判定方法ASA，得到猜想，再根據(jù)研究全等三角形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過畫圖、觀察、猜想、證明、歸納得到相似三角形的判定定理1.在由猜想到證明的過程中，滲透了類比、特殊與一般、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，學(xué)生通過操作、觀察、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，積累了基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在“猜想——論證”活動(dòng)中，通過對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感悟提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.在公式、法則推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般研究問題的意識

公式、法則的教學(xué)一般都要經(jīng)歷由特殊到一般的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷公式、法則的推導(dǎo)過程，就是通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，讓學(xué)生感受公式、法則學(xué)習(xí)的必要性，理解算理，理解公式、法則的合理性，能舉例說明公式、法則的意義，并由此體會和感悟從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理地思考及語言表達(dá)能力，從而提高學(xué)生從特殊到一般認(rèn)識問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【案例3】有理數(shù)除法的教學(xué)實(shí)錄片段（蘇科版數(shù)學(xué)七上2.6）。

師：有理數(shù)除法怎么研究呢？之前我們有過這樣的經(jīng)驗(yàn)嗎？

生1：之前我們研究過有理數(shù)的加、減、乘運(yùn)算，方法是先研究幾個(gè)特殊的例子，然后歸納運(yùn)算法則。

師：很好！我們采取的是從特殊到一般的方法，用到了歸納的數(shù)學(xué)思想.有理數(shù)除法也采取這個(gè)方法.那應(yīng)該舉出幾個(gè)特殊的例子呢？

生2：因?yàn)槌龜?shù)不能為零，所以只需要舉除數(shù)與被除數(shù)取正數(shù)或負(fù)數(shù)的幾個(gè)例子，比如（-14）÷7，14÷（-7），（-14）÷（-7）。

師：研究這幾個(gè)算式與之前我們研究的哪種運(yùn)算類似？

生3：因?yàn)榧訙p互為逆運(yùn)算，乘除互為逆運(yùn)算，所以它與減法研究過程比較類似。

師：你記得如何研究14-（-7）的嗎？

生3：因?yàn)?7+21=14，所以14-（-7）=21，又因?yàn)?4+7=21，所以14-（-7）=14+7。

師：非常棒！這里用到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把減法轉(zhuǎn)化為加法.誰能類比研究（-14）÷7呢？

生4：因?yàn)?×（-2）=-14，所以（-14）÷7=-2，又因?yàn)椋?14）×■=-2，所以（-14）÷7=（-14）×■。

師：很好！另外兩個(gè)呢？

生5：……

師：誰能類比減法法則，得到有理數(shù)除法法則呢？

在探索有理數(shù)除法法則的過程中，不斷滲透歸納、轉(zhuǎn)化、分類、類比等數(shù)學(xué)思想，并站在已經(jīng)學(xué)過的有理數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)上來研究除法，反復(fù)套用之前的特殊化、類比等研究方法。在這樣的探究過程中，學(xué)生才會“身臨其境”，建構(gòu)起遷移能力強(qiáng)的知識和方法體系。

在數(shù)與式的學(xué)習(xí)中，這種類比、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化等套路會經(jīng)常采用。其實(shí)在不同的知識板塊中都有獨(dú)自或共有的基本套路，如平面幾何中四邊形部分，教材編排是從一般到特殊逐步深入，每一個(gè)特殊四邊形都是圍繞定義、性質(zhì)、判定三個(gè)方面來研究，性質(zhì)與判定是通過操作、觀察、猜想、證明、歸納等過程得到相關(guān)定理。教學(xué)時(shí)，利用特殊化，就能簡明得到圖形的定義，然后從邊、角、對角線來探索圖形的性質(zhì)，再根據(jù)判定與性質(zhì)的互逆關(guān)系，引出猜想，然后證明，得到判定定理。如果每一個(gè)特殊的四邊形都按照這個(gè)套路去做，學(xué)生就會知道下一步要干什么，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會越來越輕松。

4.在解題教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生善于聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、反思的良好習(xí)慣

解題教學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、原理，尋找問題的條件、結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的表達(dá)方式，并連接相關(guān)知識領(lǐng)域通道的過程，也是一個(gè)解決問題的過程。在解題思路的獲得過程中，我們需要通過學(xué)生的思維和操作活動(dòng)，展現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的過程，理清相關(guān)知識領(lǐng)域連接的通道。

【案例4】如圖5，試探究∠A、∠B、∠C、∠BDC之間的關(guān)系。

師：請同學(xué)們探究圖5中∠A、∠B、∠C、∠BDC之間的關(guān)系.

生1：如圖6，連接BC，用三角形內(nèi)角和定理，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C;

師：很好！還有其他證法嗎？

生2：如圖7，連接AD并延長到F，利用三角形外角性質(zhì)，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C;

師：對！這種證法比較簡單，還有沒有其他辦法呢？

生3：如圖8，我是延長BD交AC于E。利用三角形外角性質(zhì)，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C。

生4：我是延長CD交AB于E。利用三角形外角性質(zhì)，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C。

師：都可以。

以上是我校一位青年教師的教學(xué)片斷，該片斷中學(xué)生確實(shí)親眼見到了3種證明的方法，但是，教師自始至終都只關(guān)注問題解決的結(jié)果，不追問問題解決的過程，學(xué)生也沒有從該題的解題中獲得應(yīng)有的思維能力。作為教師，我們要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)剖析到問題的本質(zhì)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考解題方法是怎么得到的，沒有問題解決思路獲得的過程，沒有知識點(diǎn)連接的通道，學(xué)生只能被動(dòng)接受，不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，也不利于基礎(chǔ)知識的掌握，更不要說良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成了。因此，在本題教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生說出解題方法后，教師應(yīng)追問學(xué)生;“你是怎么想到這樣做的？”“為什么要這樣添加輔助線？”應(yīng)讓學(xué)生體會到輔助線的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，無論哪種添加輔助線的方法，都是構(gòu)造新的基本圖形。教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生比較哪種方法更簡潔、進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生思維結(jié)構(gòu)。學(xué)生只有經(jīng)歷了以上的探索過程，才能知道解題思路的由來，才能提高分析及解決問題的能力，也有利于積累添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)，這才算真正經(jīng)歷了解決問題的過程。

講題最高境界=授之方法+培之以能+強(qiáng)之以心。解題后需要教師有意引導(dǎo)學(xué)生思考問題解決的過程，自覺地總結(jié)解題過程中的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);提醒學(xué)生進(jìn)行問題的拓展延伸，思考問題之間的聯(lián)系，從結(jié)構(gòu)的高度思考問題;提醒學(xué)生思考其中蘊(yùn)含的思想方法，遷移運(yùn)用于其他情境等。

（趙庭標(biāo)，南京東山外國語學(xué)校，211100）

責(zé)任編輯：顏瑩