仲崇猛

[摘 要] 近年來，一些前沿教育工作者致力于培養(yǎng)學生的數學直覺能力，關注怎么樣利用學生的直覺頓悟能力，使其增加數學知識，增強解題技巧. 然而數學的直覺與頓悟能力并非生而知之，這既需要學習者的數學知識系統(tǒng)為基礎，也需要教授者在教學實踐過程中隨時加以指導性訓練. 指導性訓練方法有很多，其中直覺感知應用、錯題分析理解、知識層面拓展等方法因其操作簡便，較值得重視.

[關鍵詞] 頓悟；教法；應用頓悟指的在偶然間尋求到問題的處理辦法，中國禪宗的頓悟側重于哲學思想，而現代意義上的頓悟思維則起源于格式塔心理學家代表者庫勒，其對黑猩猩學習問題進行研究，從而提出觀點：動物（包括人類在內）解決陌生問題實際上是頓悟的過程. 庫勒將學習給予“知覺接納重組”的解釋，該解釋是庫勒為格式塔心理學所做的最大研究貢獻. 按照庫勒的觀點，頓悟是對一種新研究對象的直接洞察，它側重于直覺悟性，不用或者少用邏輯推理，具有非常明顯的臨時非預期效果，其認識過程充溢著模糊性、跳躍性及獨創(chuàng)性. 從表面上看來，數學知識的邏輯性強、思維過程清晰，并不適用于頓悟思維，而實際上，頓悟思維的產生與應用恰恰可以使學生的數學認知阻礙得到瞬間破解，從而利于發(fā)現數學情境里面各組因果關系的真正含義，達到準確快速處理問題的效果. 因此，筆者認為教師應當認識到學生頓悟思維應用的作用，采取合理手段使其功能最大限度地發(fā)揮出來.

從直覺感知能力中提煉頓悟精神

關注并加強學習者對于直覺思維的感知應用能力，可以讓學生在直覺思維的帶領下領悟到頓悟精神的妙處. 在初中階段，學生思維正處在相對活躍狀態(tài)，對于外界刺激容易感知. 因此在數學課堂教學過程中，教師完全可以按照學生心理發(fā)展規(guī)律，直接針對其直覺感知能力予以訓練，從而使學生可以更加深刻地了解并接受數學知識，更有效地處理陌生數學問題.

在初中數學階段，求取三角形面積數值的問題對于學生而言是常見難題，有相當一部分學生會受到不同三角形形狀、各邊不同關系的困擾，從而對求取面積算法感覺茫然. 此時教師便可以從增強學生三角形感知能力著手，借助三角形穩(wěn)定性這一主要特征，使其變換形狀，從而增強學生的認識把握能力. 例如：△ABC中，G為重心，D，E，F分別為BC，AC，AB三條邊的中點，且AG=6 cm，BG=8 cm，CG=10 cm，求△ABC的面積.

在本題里面，并未說明△ABC各邊長，而僅僅給出各邊中點及中線之長. 但是題中已經給出的三個數據6、8、10則極容易使我們聯想到勾股定理. 因此，教師可以利用改變三角形形狀的辦法給學生提供增強直覺感知能力的機會：若是用題目里面已知條件新建一個各邊長度分別是6 cm、8 cm、10 cm的三角形，那么問題便會很快得到解決.

這樣，教師出于增強學生的直覺感知能力的目的，借助勾股定理刺激頓悟，將重心G定為基本出發(fā)點，將GD向前延伸至點H，帶領學生構建一個新直角三角形△HDC，按照△GDB≌△HDC，即可以得到結論：HC=BG=8 cm，從而了解到△GHC亦為直角三角形，也就是說△GHC面積是△ABC的，因此△ABC面積便可得到.

總之，教師應當按照學生既有思維習慣，將復雜問題簡單化，帶領學生將思維認知層次循序漸進地發(fā)展上去，從直覺思維里面尋求頓悟能力的根本精神.

從病題診斷過程中規(guī)避定勢思維

從病題診斷過程中除了可以離誤向正，同樣可以離開定式思維，發(fā)展發(fā)散思維，這是思維頓悟目標的良好導引渠道. 學生在處理問題過程中經常因為錯用概念、定理、性質等，得到一些謬誤結論. 為了讓學生同時避免錯誤與思維定式，教師可對學生易犯錯誤結論予以診斷，從而使學生頓悟思維進一步成為可能.

如圖1：試證圓內接四邊形對角成互補.

[D][A][B][C]

圖1

錯誤形式如下：如圖1所示，矩形ABCD為圓內接四邊形，其內角均為直角，也就是∠A=∠B=∠C=∠D=90°，因此∠A+∠C=∠B+∠D=180°，也就是圓內接四邊形對角呈互補狀態(tài).

該題誤證過程極具典型性，教師帶領學生診斷錯誤類型、原因，學生極容易走向正確思維途徑，從而避免思維定式的復現.

對于極容易出現錯誤的問題，教師平時即應當多加留意，隨時提供到學生面前，這就是所謂的誘發(fā)性問題，這類問題在使學生“犯錯”的過程中啟發(fā)頓悟，也利于思維縝密性的提升. 接下來再以一個教學課前導入片段加以展示：

T：將3做底，將1做腰，能不能構成三角形？

S：不能.

T：等腰三角形的一條邊是4 cm，另一條邊是5 cm，那么其周長為多少？

S：14（也有學生回答13）.

T：在以4做底時，其周長為14 cm，在以5做底時，其周長是13 cm，這道題有兩種解法.

S：（頓悟）.

T：等腰三角形其中一個邊是4，另個一邊是9，求其周長.

S：17或者22.

T：一個邊是4，另個一邊是9，能形成三角形么？

S：（頓悟）.

在類似的教學中，教師故布疑陣，誘導學生出錯，從而使學生在錯中頓悟，亦不失為一種良好思維啟發(fā)方法.

從知識層面拓展中培養(yǎng)創(chuàng)新思維

在數學課堂上，教材里面所給出的公式及例題對于學生知識提升、思維啟發(fā)都具有重要意義. 當學生接觸了最基本的公式之后，教師需要給學生提供聽講典型例題的機會，使學生得以探索挖掘，進入到思維的深層次，從而加深基礎知識記憶. 與此同時，教師也應將新知識同舊知識結合起來，教材同課外習題結合起來，以便在鞏固學生既有課堂基礎知識的前提下，引導學生進行聯想思維的應用，使學生思維得以在拓展中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中頓悟.

例如，對于初中學生來說，函數通常不易掌握，很多學生找不到函數及其關系圖形的共通點，這就會使得貌似簡單的函數式無法在坐標圖形里面正常表達出來. 比如已經知道一次函數：y=3x-1和y=-3x+5，現請給出兩個函數處于坐標軸里面的交點. 教師在帶領學生處理此問題時，勿須急于給學生提供解題思路與解題答案，而是要帶領學生從思維體系中已有內容出發(fā)，尋求到不同的解決途徑. 兩個一次函數處于坐標軸里面的圖象均為直線，按照“平面內直線若不平行即為相交”的基本原則，可以將這兩個函數構成一個方程組求解，交點便自然得到. 在該問題里面，教師亦可以指導學生嘗試畫圖，利用親身的觀察與實踐，得到交點也不是難事.

總之，在本問題中，理解知識內容本身固然重要，同時指導學生運用函數知識將已經掌握的方程式加以關聯，亦是訓練發(fā)散思維，從而增強頓悟能力的一種方法，可以讓學生在上下求索的過程中迅速找到思維的適應點，從而達到靈光乍現的理想狀態(tài).

從大膽推測猜想中激發(fā)頓悟潛能

獲取頓悟思維是一個長期的過程，而教師指導獲取頓悟同樣不是短時期的事，逐步引導才能使其深化頓悟思維，繼而形成處理問題的靈感. 當學生已經初步具備頓悟的靈感以后，教師即要給學生提供嘗試頓悟的機會，最好的辦法是讓學生在問題面前大膽推測猜想，從而尋求到可能存在的內部規(guī)律. 初中數學教學內容中，相同數學表面特征通常包含著相似本質特征，學生從條件、結論等的外表形象，很多時候都可以猜測到已經熟知的定理、圖形等，從而給解題提供便利.

例如此題：若某流水線上有按照順序排列的n臺機床，怎樣尋求零件供應站點P，以便讓點P至n臺機床的距離和最??？

該問題的不易解答之處在于：n值并不確定，因此解法同樣不容易得到. 所以教師可以鼓勵學生利用猜想具體值的辦法求解：當n為2時，點P當處何處？當n為3時，點P應處何處？n為4、為5，甚至更大數值呢？利用推測的特殊情況，可以得到什么樣的規(guī)律，并可以做哪些進一步猜想？這是學生需要繼續(xù)解答的問題，加以深入思考，柳暗花明只在眼前.

數學猜想屬于探索思維的一種，它和數學靈感也就是頓悟思維的關系非常密切，所以波利亞才說過：先猜后證對于數學問題的解決永不過時. 我們也可以說，先猜后解，對于培養(yǎng)頓悟思維永不過時.

總 結

對于初中數學教師而言，應該了解到：學生頭腦并不是空白的紙面，他們對于知識的吸納與接收往往要參照既有經驗及信息，在兩相比照的過程中分析其合理性. 因此教師需要在了解學生既有知識儲備及思維習慣的前提下建構合情、合理的課堂結構體系，充分利用猜測推想、錯題分析、知識拓展等方法，有意識地錘煉學生思維、破解學生困惑，從而促進學生頓悟能力的形成，惟其如此，方能收到事半而功倍的良好教學效果.