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圓錐曲線大題的另類考法

2015-04-09 12:10
新課程(下) 2015年9期
關(guān)鍵詞:聯(lián)立方程差法模擬考試

高 歡 武 斌 范 欣

(陜西省西安中學(xué))

圓錐曲線部分是高考中的重點(diǎn),常常以解答題的形式出現(xiàn)在高考試題的最后兩道大題中,圓錐曲線中最常見的作為壓軸題的考查點(diǎn)是:直線與圓錐曲線的相交弦問題,往往涉及中點(diǎn)弦、弦長(zhǎng)或其他綜合性問題,可利用聯(lián)立方程組消元后所得一元二次方程中根與系數(shù)關(guān)系(韋達(dá)定理)對(duì)相交弦問題設(shè)而不求、整體處理。

下面我就以我校2014 級(jí)高三模擬考試和復(fù)習(xí)過程中遇到的幾道試題為例來說明圓錐曲線壓軸題的另類考法。

例1.(西安中學(xué)高2015 級(jí)第三次模擬考試)橢圓C1以雙曲線的實(shí)軸為短軸、虛軸為長(zhǎng)軸,且與拋物線C3∶y2=12x

(1)求橢圓C1的方程及線段AB的長(zhǎng);

(2)在C1與C3圖象的公共區(qū)域內(nèi),是否存在一點(diǎn)P(x0,y0),使得C1的弦EF與C3的弦MN相互垂直平分于點(diǎn)P?若存在,求點(diǎn)P坐標(biāo),若不存在,說明理由.

(2)假設(shè)存在,由題意將E,F(xiàn)坐標(biāo)帶入C1做差得將M,N坐標(biāo)帶入故滿足條件的P點(diǎn)在拋物線C3外,所以不存在這樣的點(diǎn)P.

點(diǎn)評(píng):上題的解答過程用到了點(diǎn)差法,在解答平面解析幾何中的某些問題時(shí),如果能適時(shí)運(yùn)用點(diǎn)差法,可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,同時(shí),還可以降低解題的運(yùn)算量,優(yōu)化解題過程.這類問題通常與直線斜率和弦的中點(diǎn)有關(guān)。

例2.(西安中學(xué)高2015 級(jí)第七次模擬考試)如下圖所示,橢圓

(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為,求m的值;

(2)若橢圓C上存在點(diǎn)M,使得OP⊥OM,求m的取值范圍.

試題解析:(1)依題意,M是線段AP的中點(diǎn),所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.由點(diǎn)M在橢圓C上,所以

(2)設(shè)M(x0,y0),則,且-1<x0<1.①因?yàn)镸是線段AP的中點(diǎn),所以P(2x0+1,2y0).因?yàn)镺P⊥OM,所以x0(2x0+1)+2y02=0.②

由①,②消去y0,整理得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式等號(hào)成立.

所以,m的取值范圍是

總之,在處理直線與圓錐曲線的相關(guān)問題過程中,要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用, 同時(shí)也要根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活地選擇方法和解決問題的角度,并不是每一道圓錐曲線的大題都需要聯(lián)立方程組,也可以選擇從點(diǎn)的坐標(biāo)入手進(jìn)行代換和變形。

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