雷丹， 王源昌， 張芬

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 問題的提出

隨著我國改革的不斷深化和經(jīng)濟(jì)市場化程度的提高,我國保險公司之間的競爭也越來越激烈.很多保險公司都通過降低保費來擴(kuò)大公司的市場占有率,造成有些保險公司收取的保費越來越低，出現(xiàn)虧損.這樣一來,合理地利用保險資金進(jìn)行投資,獲得利潤,對保險公司的生存和發(fā)展都至關(guān)重要.保險公司應(yīng)該在有效控制風(fēng)險的前提下,選擇最優(yōu)的投資方案,盡可能地提高投資收益率[1].

傳統(tǒng)的最優(yōu)投資問題分析為簡化計算,都假定無風(fēng)險利率是確定的.但事實上，利率會不斷調(diào)整,具有隨機(jī)性.對利率隨機(jī)性的研究在近年來逐步受到重視,人們開始注意到由利率隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險是相當(dāng)大的[2].

本文分別在常利率模型和隨機(jī)利率模型下,利用隨機(jī)最優(yōu)控制的動態(tài)規(guī)劃方法,對保險公司的最優(yōu)投資比例進(jìn)行求解.對兩種模型得出的結(jié)果進(jìn)行比較,表明了考慮隨機(jī)利率的必要性.這對保險公司更加合理的運用保險資金進(jìn)行投資有重要的理論和實際意義.

2 模型構(gòu)建與求解

2.1 動態(tài)規(guī)劃方法簡介

設(shè)(t,x)∈[0,T]×Rn,考慮下面的狀態(tài)方程

成本函數(shù)為

定義它的值函數(shù)為

其中X(·)是初始值條件為X(t)=x，與控制u(·)一致的狀態(tài)過程.

命題2.1.2 如果V(·,·)、Vt(·,·)、Vx(·,·)、Vxx(·,·)都是連續(xù)的，則V(·,·)滿足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman方程

2.2 模型的建立

設(shè)N是一個參數(shù)為λ的泊松過程，Yi>0,i=1,2,…是獨立同分布序列，取值為非負(fù)，且{Yi}與N相互獨立.c>0，令

模型假設(shè)：

(1)用于投保的初始資金X0=x;

(2)投資于風(fēng)險資產(chǎn)的資金比例是由公司自己決定的;

(3)公司的決策總是為了實現(xiàn)終端財富的期望效用最大化;

(4)沒有交易費用;

(5)風(fēng)險資產(chǎn)的收益率高于無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率.

公司的總資產(chǎn)變化滿足如下隨機(jī)微分方程[4]

2.3 常利率模型下求解保險公司的最優(yōu)投資問題

最大化終端財富的期望效用函數(shù)為目標(biāo)：設(shè)T是終端時刻，效用函數(shù)為U(x)，值函數(shù)

首先給出該問題的HJB方程

(1)

解得

代入方程(1)中，整理可得

(2)

設(shè)保險公司追求期末財富效用最大化，在這個過程中，資金的安全性非常重要.所以在效用函數(shù)是常系數(shù)絕對風(fēng)險厭惡的情況下討論.

其中g(shù)(·)是一個待定的函數(shù)，由邊值條件有g(shù)(0)=0.在這種情況下易得

代入方程(2)中，整理可知g(·)需要滿足如下方程

積分并令g(0)=0，則有

(3)

2.4 隨機(jī)利率下求解保險公司的最優(yōu)投資問題

公司的總資產(chǎn)變化滿足如下隨機(jī)微分方程

式中v為初始盈余.

Vasicek隨機(jī)利率模型為

最大化終端財富的期望效用函數(shù)為目標(biāo)：設(shè)T是終端時刻，效用函數(shù)為U(x)，值函數(shù)

首先給出該問題的HJB方程

(4)

其中

對其求最大值，將上式對π求導(dǎo)，并令其等于零可得

解得

代入方程(4)中，整理可得

(5)

其中g(shù)(·)是一個待定的函數(shù)，由邊值條件有g(shù)(0)=0.在這種情況下易得

代入方程(5)中，整理可知g(T-t)需要滿足如下方程

積分并令g(0)=0，則有

(6)

其中λ=1+r(T-t).

3 實證分析

本論文在建立模型時,假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的收益率是比無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率高的.但是由于全球經(jīng)濟(jì)危機(jī)的影響,從2007年開始,投資于風(fēng)險資產(chǎn)的收益率普遍下降,低于存款利率,有時還是負(fù)值.所以在對本模型的實證研究中,采取2005年全年以及2006年上半年的數(shù)據(jù).

3.1 無風(fēng)險利率的確定[6]

我國以銀行存款利率作為金融資產(chǎn)定價的基準(zhǔn),所以采用銀行存款利率作為無風(fēng)險利率.本文采用一年期的定期存款利率作為無風(fēng)險資產(chǎn),那么,利率的平均值就可以作為無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率.本文收集了從1990年1月至2012年7月的中國人民銀行公布的一年期定期存款利率,計算得平均值為rf=4.27%,波動率為σf=0.007 89.

3.2 風(fēng)險資產(chǎn)的確定

選取上證國債指數(shù)、上證企債指數(shù)、上證180指數(shù)和上證基金指數(shù)作為風(fēng)險資產(chǎn).選取從2005年1月至2006年6月之間的收盤數(shù)據(jù)作為研究樣本,計算其年平均收益率作為風(fēng)險資產(chǎn)的收益率.計算其方差,作為風(fēng)險資產(chǎn)的波動率.計算結(jié)果見表1.

表1 四種風(fēng)險資產(chǎn)的年平均收益率及波動率

對四種風(fēng)險資產(chǎn)的平均收益率和波動率取平均值,來作為投資于風(fēng)險資產(chǎn)的平均收益率和波動率.計算得μ=20.46%,σs=4.97%.

在計算風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)時,采用的是1992年1月至2012年7月的數(shù)據(jù),計算得ρ=-0.31.

3.3 實證研究

采用中國人壽保險公司的投資情況來做實證研究.在2005年全年和2006年上半年中，中國人壽保險公司可用來進(jìn)行投資的資金平均為55 921 900萬元.風(fēng)險偏好系數(shù)為0.5.

將以上計算所得的數(shù)據(jù)代入(3)式和(6)式中，計算得，在不考慮利率的隨機(jī)性的情況下，投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例為0.000 306%.在考慮了利率隨機(jī)性的情況下，投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例為5.45%.而在實際情況中,中國人壽保險公司投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例為4.2%(本數(shù)據(jù)來源于中國人壽2005年報和2006中報).顯然,在考慮了利率隨機(jī)性的情況下,計算所得的比例更接近實際情況.

4 結(jié)束語

保險公司的最優(yōu)投資比例問題是近年來學(xué)術(shù)界關(guān)注的一個問題，但是現(xiàn)有的研究很少考慮到利率的隨機(jī)性.本文在考慮隨機(jī)利率的情況下,建立了HJB方程.同時，因為保險公司在投資時，最重要的是保證資金的安全性，所以采用指數(shù)效用函數(shù)作為保險公司的效用函數(shù)，解出了最優(yōu)投資比例.

最后將求解的結(jié)果運用到實際中，采用中國人壽保險公司的數(shù)據(jù)進(jìn)行實證.結(jié)果顯示，考慮了利率的隨機(jī)性的模型,計算出的結(jié)果更加符合實際，也就更加的現(xiàn)實指導(dǎo)意義.

[1] BROWNE S.Optimal investment policies for a firm with a random risk process exponential utility and minimizing the probability of ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(4):937-958.

[2] TAKSAR M,MARKUSEEN C.Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios[J].Finance Stochastics,2003(7):97-121.

[3] 郭文旌.保險公司的最優(yōu)投資策略選擇[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2010,29(1):144-149.

[4] 袁遠(yuǎn),施齊焉.基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程求解保險業(yè)最優(yōu)投資策略[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2012,29(4):105-110.

[5] 榮喜民,范立鑫.常彈性方差保險模型下保險人的最優(yōu)投資策略[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2012，32(12),2619-2628.

[6] 張景肖.隨機(jī)最優(yōu)控制及其在保險中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2013.