張薇， 楊瑞瑞， 劉祥清

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引言及主要結(jié)果

考慮下列方程組

(1)

其中N≥3，F(xiàn)u及Fv是次臨界增長(zhǎng)的.如果用λ1、λ2、μ1u3+βuv2、μ2v3+βu2v代替(1)中的a(x)、c(x)、Fu、Fv，則式(1)即是Gross-Pitaevskii方程

(2)

這個(gè)方程組是物理學(xué)中經(jīng)典的非線性模型，出現(xiàn)在非線性光學(xué)和Bose-Einstein凝聚現(xiàn)象中,很多物理學(xué)家已對(duì)其進(jìn)行了研究.近年來(lái)，不少數(shù)學(xué)工作者用不同的方法研究過(guò)它[1-3]，但對(duì)其全空間上非線性橢圓方程組變號(hào)解存在性的研究結(jié)果甚少.最近，劉嘉荃等[4]研究了如下方程組

(3)

變號(hào)解的存在性.其中N=2,3；k≥2；λj>0(j=1,…,k)；βij是常數(shù)且滿足βjj>0(j=1,…,k)、βij=βji(1≤i

受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā)，我們考慮更一般的非線性項(xiàng)，結(jié)合文獻(xiàn)[4]中的定理2.5與下降流不變集方法來(lái)獲得問(wèn)題(1)的無(wú)窮多非徑向?qū)ΨQ的變號(hào)解.因?yàn)榭紤]的是更一般的非線性項(xiàng),所以在某種意義上，得到了更一般的結(jié)果.提出如下假設(shè)：

(A)0≤a(x),c(x)∈L(RN)且

(F1)F(x,u,v)∈C1(RN×R×R,R).

(F2)存在θ>2使得0<θF(x,u,v)≤F(x,u,v)·(u,v)，?(x,u,v)∈RN×R×R.

(F4)F(x,-u,-v)=F(x,u,v).

注意到方程組(1)所對(duì)應(yīng)的變分泛函為

(4)

(5)

其中

并分別賦以內(nèi)積

由于I∈C1(H,R)，那么問(wèn)題(1)的弱解等價(jià)于泛函I的臨界點(diǎn).

記‖·‖a、‖·‖c分別為上述內(nèi)積所誘導(dǎo)的范數(shù)，|·|p為L(zhǎng)p(RN)中的范數(shù)，1≤p<+.則對(duì)任意的(u,v)∈H有如果u、v都是變號(hào)的，則(u,v)是變號(hào)的.c表示不同的正常數(shù).主要結(jié)果如下：

定理1.1 假設(shè)條件(A)及(F1)-(F4)成立，則問(wèn)題(1)存在無(wú)窮多變號(hào)解.

2 必要的引理

引理2.1 ‖·‖a、‖·‖c等價(jià)于范數(shù)‖·‖H1.

證明顯然，對(duì)于u∈H1(RN)，有

因此，存在c使得‖u‖H1≤c‖u‖a. 于是，c‖u‖a≤‖u‖H1≤c‖u‖a. 類似地，可以得到c‖u‖c≤‖u‖H1≤c‖u‖c.

引理2.2I滿足(PS)條件.

證明設(shè){(un,vn)}?H是I的一個(gè)(PS)序列，即|I(un,vn)|≤c且I′(un,vn)→0(n→)，則

o(1) =〈I′(un,vn)-I′(u,v),(un-u,vn-v)〉

(6)

因?yàn)?/p>

(7)

令A(yù)={x∈RN|x|≤R,f(x)≤M}.由于f∈Lr(RN)，對(duì)充分大的R和M，有

由上式及局部收斂性得

≤cε

于是由(7)有

(8)

類似地可以證明

(9)

結(jié)合(6)、(8)和(9)可以得到

‖(un-u,vn-v)‖=o(1).

因此，(un,vn)→(u,v)在H中.即I滿足(PS)條件.

定義H1(RN)中的一個(gè)正錐P,P={u∈H1(RN)|u≥0a.e.x∈RN}.對(duì)任意的δ>0，定義

P1={(u,v)∈H|da(u,P)<δ},P2={(u,v)∈H|dc(v,P)<δ}

Q1=-P1={(u,v)∈H|dc(u,-P)<δ}，Q2=-P2={(u,v)∈H|dc(v,-P)<δ}

對(duì)于一個(gè)函數(shù)u，令u+=max{u,0}，u-=min{u,0}.定義算子

A:H→H,(u,v)(w,z)=A(u,v)

則有

(10)

(11)

引理2.3 對(duì)于充分小的δ>0，有A(?Pi)?Pi，A(?Qi)?Qi，i=1,2.

證明對(duì)于任意的(u,v)∈?P1, 即da(u,P)=δ.注意到

在(10)中取w-作為檢驗(yàn)函數(shù),可以得到

從而得,A(?P1)?P1.類似地，可以得到A(?P2)?P2,A(?Qi)?Qi,i=1,2.

萬(wàn)歷三年(1575)，經(jīng)元忭疏通，徐渭正式釋放，心情大好，準(zhǔn)備去游天目山，留有《十四日飲張子藎太史宅，留別(久系初出，明日游天目諸山)》詩(shī)。

注意到〈I′(u,v),(u,v)-A(u,v)〉=‖(u,v)-A(u,v)‖2且‖I′(u,v)‖=‖(u,v)-A(u,v)‖.但是因?yàn)樗阕覣不是局部 Lipschitz 連續(xù)的，為了證明{P1,P2}是泛函I的容許不變集族，首先構(gòu)造局部 Lipschitz 連續(xù)的算子B.

引理2.4 存在一個(gè)局部Lipschitz 連續(xù)的奇算子B:H0→H使得 Φ:=id-B為I在H0上的偽梯度向量場(chǎng)，且有B(?Pi)?Pi，B(?Qi)?Qi，i=1,2，其中H0=HK,K={(u,v)∈H|I′(u,v)=0}(證明類似于文獻(xiàn) [5] 中引理2.3).

考慮初值問(wèn)題

可知Pi和Qi(i=1,2)是下降流τ的不變集.

引理2.5 設(shè)N是Kc的對(duì)稱的閉鄰域，則存在ε0>0使得當(dāng)0<ε<ε′<ε0時(shí)，存在連續(xù)映射σ:[0,1]×H→H滿足：

(1)σ(0,u,v)=(u,v),?(u,v)∈H;

(2)σ(t,u,v)=(u,v),?t∈[0,1],I(u,v)?[c-ε′,c+ε′];

(3)σ(t,-u,-v)=-σ(t,u,v),?(t,u,v)∈[0,1]×H;

(4)σ(1,Ic+εN)?Ic-ε;

特別地，若N是KcW的對(duì)稱閉鄰域，則存在ε0>0,使得當(dāng)0<ε<ε0時(shí)，存在連續(xù)映射η:H→H使得：

(6)η(-u,-v)=-η(u,v),?(u,v)∈H;

(7)η|Ic-2ε=id;

(8)η(Ic+ε(N∪W))?Ic-ε;

證明對(duì)充分小的δ>0，設(shè)N(δ)={(u,v)∈H|d((u,v),Kc)<δ}?N.因?yàn)镮滿足(PS)條件，所以存在ε0、b0>0使得

(12)

定義兩個(gè)偶的局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)g,p:H→[0,1]使得

由常微分方程理論知該初值問(wèn)題存在唯一解τ(t,u,v)，且τ關(guān)于(u,v)連續(xù)，設(shè)[0,T(u,v)]是τ的極大存在區(qū)間.

矛盾.因此

對(duì)于(5)可以直接由B(?Pi)?Pi，B(?Qi)?Qi(i=1,2)推得.

特別地,設(shè)ε′=2ε，η(u,v)=σ(1,u,v)，則η滿足(6)-(9). 從而有{P1,P2}是泛函I在任意水平值c處的容許不變集族.

證明由條件(F3)，我們得到

3 主要結(jié)果的證明

定理1.1的證明定義一個(gè)連續(xù)函數(shù)φ(N):BN×BN→H，φ(N)(t)=φ(N)(t1,t2)=Rn(t1u,t2v)， 其中BN是RN中的單位球且Rn>0充分大，(u,v)∈H是給定的. 于是，φ(N)滿足：

(1)若t1=0，則φ(N)(t)=Rn(0,t2v)∈P1∩Q1，若t2=0，則φ(N)(t)=Rn(t1u,0)∈P2∩Q2；

(3)?t∈BN×BN，φ(N)(-t)=Rn(-t1u,-t2v)=-φ(N)(t)；

事實(shí)上，記(u,v)=R(u0,v0)，其中R=‖(u,v)‖，(u0,v0)∈S，其中S是H中的單位球面.由于

上式兩端在[1,R]上積分，有

lnF(x,Ru0,Rv0)≥lnF(x,u0,v0)+lnRθ

所以，F(xiàn)(x,u,v)=F(x,Ru0,Rv0)≥RθF(x,u0,v0)，其中R=‖(u,v)‖>1.于是

其中

[1] DANCER E N,WEI J C,TOBIAS WETH.A priori bounds versus multiple existence of positive solutions for a nonlinear Schr?dinger system[J].Ann.I.H.Poincare-NA,2010,27:953-969.

[2] LIN T C,WEI J C.Spikes in two coupled nonlinear Schr?dinger equations[J].Ann.I.H.Poincare-NA,2005,22:403-439.

[3] CHEN Z J,LIN C S,ZOU W M.Multiple sign-changing and semi-nodal solutions for coupled Schr?dinger equations[J].J.Differential Equations,2013,255:4289-4311.

[4] LIU J Q,LIU X Q AND WANG Z Q.Multiple mixed states of nodal solutions for nonlinear Schr?dinger systems[J].Calc.Var.Partial Differential Equations,DOI：10.1007/s00526-014-0724-y.

[5] LIU Z L,SUN J X.Invariant sets of descending flow in critical point theory with appli-cations to nonlinear differential equations[J].J.Differential Equations,2001,172:257-299.