崔帆， 郭春曉

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京 100083)

1 引 言

在航空、化學(xué)及石油等眾多工業(yè)領(lǐng)域中，有關(guān)流體運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的理論和計(jì)算研究正引起廣泛關(guān)注.基于Stokes的假設(shè)，流體的Navier-Stokes模型限制了應(yīng)力張量與速率梯度間的線性關(guān)系[1-3].滿足這一本構(gòu)關(guān)系的流體稱為牛頓流，如水和空氣.但是諸如生物流體、合成纖維等流動(dòng)行為不能用牛頓關(guān)系來描述的流體材料就要建立非牛頓流體數(shù)學(xué)模型.

本文具體考慮如下在二維周期域上的等溫雙極不可壓粘性非牛頓流系統(tǒng)：

ut+u·u-·(γ(u)e(u))+μ1Δ2u-νΔu=-P+f(x),(x,t)∈Ω×[0,T]

(1)

·u(x,t)=0,x∈Ω

(2)

u(x,0)=u0(x)

(3)

(4)

當(dāng)μ0=μ1=0時(shí)，方程(1)變?yōu)镹avier-Stokes方程[2-3]，系統(tǒng)如下：

vt+v·v-νΔv=-

(5)

·v(x,t)=0,x∈Ω

(6)

v(x,0)=v0(x)

(7)

(8)

本文在已知非牛頓流的解u(x)和Navier-Stokes方程解v(x)及具有合適相同初始值的前提下，考慮兩系統(tǒng)解的差w(x)=u(x)-v(x)在不同范數(shù)意義下的估計(jì).文獻(xiàn)[4]中得到了兩系統(tǒng)在給定合適的初始條件下1

為了方便描述,C是一個(gè)通用的常數(shù)，并假設(shè)每一行都代表不同的值，且在本文中均不依賴于粘性系數(shù)μ0、μ1.

2 預(yù)備知識(shí)

首先定義一個(gè)H1(Ω)×H1(Ω)×H1(Ω)上的連續(xù)三線性函數(shù)如下：

易知：b(u,v,w)=-b(u,w,v),b(u,v,v)=0.

利用Galerkin逼近和一些先驗(yàn)估計(jì)可以得到解的存在唯一性，這一方法是經(jīng)典的，更多的細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)[5-7].

下面列出了在文獻(xiàn)[4]中μ0≠μ1時(shí)本文將要使用到的一些結(jié)論：

u0∈H1(Ω),v0∈H1(Ω),f∈H,p>1時(shí)，存在常數(shù)C使得

‖u(t)‖≤C,‖Δu(s)‖2ds≤C,‖v(t)‖≤C,‖Δv(s)‖2ds≤C

v0∈V,f∈H1(Ω) 時(shí)，存在常數(shù)C使得

3 解的收斂性

證明對(duì)(1)式和Δ2u在H中取內(nèi)積，有

(9)

(10)

(11)

應(yīng)用Gagliardo-Nirenberg不等式有

(12)

又計(jì)算可得

(13)

結(jié)合估計(jì)(9)、(11)和(12)，有

(14)

對(duì)(14)式兩邊從0到t積分，則得結(jié)論.

定理3.1 給定相同的初始值u0=v0∈V,對(duì)有限時(shí)刻t∈[0,T],存在常數(shù)C使得w(x,t)遵循如下估計(jì)：

(15)

‖

(16)

證明w(x,t)滿足如下方程：

w(t)+u·w+w·v-νΔw=

(17)

對(duì)(15)式和w在H中做內(nèi)積.由于散度為零，有b(u,w,w)=0,從而

對(duì)上述等式的右端逐項(xiàng)估計(jì)

μ1|(Δ2u,w)|≤μ1‖Δw‖‖Δu‖≤Cμ1(‖Δv‖2+‖Δu‖2)

(18)

(19)

(20)

結(jié)合上述估計(jì)，得到以下不等式

應(yīng)用Gronwall不等式，有

類似地，對(duì)(15)式和-Δw在H中做內(nèi)積

(21)

(22)

結(jié)合文獻(xiàn)[4]中的估計(jì)有

(23)

(24)

得到

同理應(yīng)用Gronwall不等式，即得(14)式.

定理3.2 令u0=v0∈V,則差w(x,t)對(duì)有限時(shí)刻t∈[0,T]有如下估計(jì)：

證明應(yīng)用Gagliardo-Nirenberg不等式有

則

(25)

[1] ROBINSON J C.Infinite-dimensional dynamical systems: an introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors[M].Cambridge:Cambridge Uni.Press,2001.

[2] TEMAM R.Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis[M].3rd Revised Edition.Amsterdan:North Holland Pub.Co.,1984.

[3] TEMAM R.Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics[M].2nd Edition.New York:Springer-Verlag New York Inc.,1997.

[4] GUO B L,GUO C X.The convergence of non-Newtonian fluids to Navier-Stokes equations[J].J.Math.Anal.Appl.,2009,357(2):468-478.

[5] BELLOUT H,BLOOM F,NECAS J.Weak and measure-valued solutions for non-Newtonian fluids[J].C.R.Acad.Sci.Pairs,1993,317:795-800.

[6] BELLOUT H,BLOOM F,NECAS J.Young measure-valued solutions for non-Newtonian incompressible viscous fluids[J].Comm.Partial Differential Equation,1994,19(11-12):1763-1803.

[7] BLOOM F,HAO W.Regularization of a non-Newtonian system in an unbounded channel:existence and uniqueness of solutions[J].Nonlinear Anal.,2001,44(3):281-309.