李百勉

摘 要：宏觀元素，是指幾何圖形中的背景圖形或概念中的主體；微觀元素是指構(gòu)成宏觀圖形的各個(gè)子圖形——隱含在其中的基本圖形或概念中的修飾語(yǔ).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)概念辨析不準(zhǔn)、幾何證明分析不出的情況，我們可以把原因歸結(jié)為學(xué)生沒(méi)有很好地把握數(shù)學(xué)概念和幾何圖形中的“宏觀元素”和“微觀元素”。將從代數(shù)概念教學(xué)的“宏觀微觀分析法”、挖掘幾何圖形中的宏觀元素與微觀元素、圖形運(yùn)動(dòng)中的“宏觀化”和“微觀化”以及幾何概念中的宏觀元素與微觀元素等方面例談在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探索與嘗試。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；宏觀元素；微觀元素；幾何圖形

依照相對(duì)性原則，現(xiàn)實(shí)世界的客觀事物都可以根據(jù)事物整體與局部的相對(duì)性，就其結(jié)構(gòu)作出宏觀與微觀兩個(gè)層次的劃分.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)概念辨析不準(zhǔn)、幾何證明分析不出的情況，這也一直是令每位教師困擾的問(wèn)題.很多教師會(huì)說(shuō)這是因?yàn)閷W(xué)生概念理解不透徹、思考問(wèn)題不全面、綜合分析能力差等原因，我把它歸結(jié)為學(xué)生沒(méi)有很好地把握數(shù)學(xué)概念和幾何圖形中的“宏觀元素”和“微觀元素”.

宏觀元素，是指從幾何圖形中的背景圖形或概念中的主體；微觀元素是指構(gòu)成宏觀圖形的各個(gè)子圖形——隱含在其中的基本圖形或概念中的修飾語(yǔ).如果學(xué)生解題時(shí)善于從這兩方面進(jìn)行分析，解題的效率一定會(huì)有所提高.

一、代數(shù)概念教學(xué)的“宏觀微觀分析法”

數(shù)學(xué)概念（mathematical concepts）：是指人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對(duì)象的“質(zhì)”的特征（宏觀元素）及其外延——對(duì)象的“量”的范圍（微觀元素）.“宏觀與微觀”分析法在數(shù)學(xué)代數(shù)概念的教學(xué)中應(yīng)用比較多.

【舉例】下列方程中，一元高次方程是（ ）

解析：B、C選項(xiàng)應(yīng)該首先排除掉，因?yàn)檫@兩個(gè)方程根本不具備宏觀元素——整式方程，而A、D選項(xiàng)已經(jīng)具備宏觀元素，但還要由微觀元素——含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)大于2來(lái)衡量，因此，應(yīng)該選D.

二、幾何圖形中的宏觀元素與微觀元素

初中數(shù)學(xué)中，幾何證明是難點(diǎn)，很多學(xué)生不知從何入手，找不到解題的策略與方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過(guò)程中，迫切想要知道的就是幾何問(wèn)題思考方法、分析方法的規(guī)律性，最迫切地想要知道的就是幾何問(wèn)題中添加的每一條輔助線是怎樣想出來(lái)的.教師該如何幫助學(xué)生分析問(wèn)題，找到解題策略顯得尤為重要.實(shí)際上，解題時(shí)善于找出幾何圖形中的宏觀元素和微觀元素，會(huì)給解題帶來(lái)事半功倍的效果.

【教學(xué)片段】（外出教研活動(dòng)的素材）

題目：如圖，正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG、CG.

（1）如圖2-1（1），求證：EG=CG且EG⊥CG

（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2-1（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.

（3）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖2-1（3），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明.

生：自主思考問(wèn)題，尋求解題思路.（能夠填出輔助線的學(xué)生為數(shù)不多）

師：（師生共同分析）本題是以正方形為背景的幾何證明題，我們應(yīng)該知道正方形的性質(zhì)，如，四條邊都相等、對(duì)邊平行、四個(gè)角都為直角、對(duì)角線相等且互相垂直平分、每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.從而得出∠EBF=∠EFB=45°.要證明“EG=CG且EG⊥CG”，則在本題的背景下應(yīng)該考慮到證“全等”.由于本題中沒(méi)有這兩條邊所在的全等三角形，所以，要“構(gòu)造全等三角形”——過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MG交DC于點(diǎn)N（為了構(gòu)造△GME與△CNG全等），同時(shí)，也出現(xiàn)了“一線三等角”的基本圖形，如圖2-1（4）結(jié)合點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，容易證出AM=ME=DN=GN，從而得證.

師：講解了將△GFE繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的方法，如圖2-1（5）

對(duì)于這位教師的分析，我覺(jué)得可以充分肯定兩點(diǎn)：①利用了幾何圖形的宏觀元素——正方形，構(gòu)造出圖形中的微觀元素——②解題的切入點(diǎn)是從要證的結(jié)論入手.這都是幾何證明中的常用思路和方法.但是，我個(gè)人覺(jué)得本題的微觀元素不止這些，還有點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)（即DG=GF）和EF∥AD，如果這樣的兩個(gè)隱性元素結(jié)合在一起，我們自然會(huì)想到利用中心對(duì)稱構(gòu)造三角形全等，即“X型全等”，如圖2-1（4）和2-1（5）.同時(shí)，也引發(fā)出下一個(gè)基本圖形——等腰三角形的“三線合一圖”也就挖掘出兩個(gè)基本圖形.這樣的解題學(xué)生更容易接受，也起到了多題一解的效果，學(xué)生更容易掌握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)的“不變形”，也就充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的通性通法.

因此，在幾何證明中，我比較提倡在“宏觀的背景下，從微觀元素尋求解題方法”.這就要求教師和學(xué)生對(duì)微觀元素的組合比較熟悉.以上兩個(gè)基本圖形，應(yīng)用比較廣泛.如，三角形中位線、梯形中位線的證明.

三、圖形運(yùn)動(dòng)中的“宏觀化”和“微觀化”

學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，最怕圖形中有動(dòng)點(diǎn)或“背景圖形”——宏觀元素變換，經(jīng)常出現(xiàn)束手無(wú)策的情況.這就要求教師在教學(xué)中要有機(jī)地變換宏觀元素與微觀元素，抓住一個(gè)“點(diǎn)”將其放大到“面”，即把微觀元素“宏觀”化（圖形中的特殊元素更加一般化），將宏觀元素“微觀”化（減少背景圖的特殊性），由研究一個(gè)問(wèn)題，變成研究一類問(wèn)題.

在教學(xué)片段1中，如果將教師所構(gòu)造的微觀元素——一線三角圖進(jìn)行放大，將上圖中的微觀元素——“△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°和180°”放大到“繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度”，G為DF中點(diǎn)，如圖3-1（1），結(jié)論仍然成立.

【舉例】如圖3-3（1），已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，

（1）求證：GF=GC.

（2）類比探究，如圖3-3（2），將第（1）問(wèn)中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題中，第（2）問(wèn)，實(shí)際是將（1）中宏觀元素“矩形ABCD”微化到“平行四邊形ABCD”，微觀元素“Rt△GEF≌Rt△GEC（H.L）”宏化到一般三角形，由“∠B=∠AFE=∠GFE=90°”宏化到“非直角”.因此，由圖形3-3（1）變到3-3（2），通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明等線段的方法行不通（因?yàn)椤斑呥吔恰辈灰欢ㄈ龋?但是本源性的元素“BE=EF=EC”和“∠GFE=∠GCE（等角的補(bǔ)角相等）”不變，結(jié)論“GF=FC仍然成立，諸如此類的題目有很多.

四、幾何概念中的宏觀元素與微觀元素

宏觀與微觀是相對(duì)的、辯證的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們教師都應(yīng)該不斷地探索宏觀元素“微”化，微觀元素“宏”化來(lái)研究問(wèn)題.在初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域，不止在代數(shù)概念、幾何圖形分析證明中存在“宏觀微觀說(shuō)”，在幾何概念辨析的教學(xué)中也實(shí)用，如，在四邊形的教學(xué)中，在宏觀元素——四邊形的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)微觀元素，如，“對(duì)角線互相平分”或“一組對(duì)邊平行且相等”或“兩組對(duì)邊分別平行”等，就可以得出該四邊形為平行四邊形.

又如，在宏觀元素——平行四邊形的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)微觀元素——對(duì)角線相等，則會(huì)得出該四邊形為矩形，即對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.如果再將這里的宏觀元素——“平行四邊形”微化成“四邊形”，結(jié)論仍然成立，那么微觀元素——“對(duì)角線相等”則要繼續(xù)“微”化，變成“對(duì)角線互相平分且相等”.因此，在幾何概念教學(xué)中，存在宏觀“宏”，微觀“微”的說(shuō)法.

如果把一堂課的總體達(dá)成度看成“宏觀”元素，那么學(xué)生的個(gè)性發(fā)言則是起主導(dǎo)作用的“微觀”元素.教師在批改作業(yè)時(shí)，要關(guān)注學(xué)生的“微觀”個(gè)體，講評(píng)作業(yè)時(shí)，則要關(guān)注的是學(xué)生的“宏觀”問(wèn)題，即主要問(wèn)題.圖形運(yùn)動(dòng)有規(guī)律，動(dòng)中不變很常見(jiàn)；透過(guò)宏觀看微觀，放大微觀成宏觀；微觀結(jié)合不一般，基本圖形在里邊.通過(guò)“宏觀”看問(wèn)題，分析微觀尋策略.只有在教學(xué)中不斷探索和研究，課堂才會(huì)有效，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)更加得法.

參考文獻(xiàn)：

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[2]林東平.引導(dǎo)學(xué)生正確尋找解題思路的探索[J].中學(xué)教學(xué)參考，2012（10）.

編輯 鄭 淼