王凱

不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).

例1 證明不等式[1+12+13+…+1n<2n]（[n∈N*]）.

命題意圖 本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查大家的觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力.知識(shí)依托：本題是一個(gè)與自然數(shù)[n]有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.

錯(cuò)解分析 此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤：

[1+12+13+…+1n<1n+1n+…n個(gè)+1n=nn=n<2n]

這種只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的.

證法一 （1）當(dāng)[n]=1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立.

（2）假設(shè)[n=k（k≥1）]時(shí)，不等式成立，

即1+[12+13+…+1k]<2[k]，

[則1+12+13+…+1k+1<2k+1k+1]

[=2k（k+1）+1k+1

∴當(dāng)[n=k+1]時(shí)，不等式成立.

綜合（1）（2）得，當(dāng)[n∈N*]時(shí)，都有1+[12+][13+…+1n]<2[n].

另從k到k+1時(shí)的證明還有下列證法：

[如：∵2（k+1）-1-2k（k+1）=k-2k（k+1）+（k+1）]

[=（k-k+1）2>0，]

[∴2k（k+1）+1<2（k+1）.]

[∵k+1>0，]

[∴2k+1k+1<2k+1.]

[又如：∵2k+1-2k=2k+1+k]

[>2k+1+k+1=1k+1，]

[∴2k+1k+1<2k+1.]

證法二 對任意[k∈N*]，都有，

[1k=2k+k<2k+k-1=2（k-k-1），]

[因此1+12+13+…+1n]

[<2+2（2-1）+2（3-2）+…+2（n-n-1）]

[=2n.]

證法三 設(shè)[f（n）=2n-（1+12+13+…+1n），]

那么對任意[k∈N*]都有，

[f（k+1）-f（k）=2（k+1-k）-1k+1]

[=1k+1[2（k+1）-2k（k+1）-1]]

[=1k+1?[（k+1）-2k（k+1）+k]=（k+1-k）2k+1>0.]

∴[f（k+1）>f（k）].

因此，對任意[n∈N*]都有，

[f（n）>f（n-1）>…>f（1）]=1>0.

∴[1+12+13+…+1n<2n.]

點(diǎn)撥 證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從[n=k]到[n=k+1]的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省.

例2 求使[x+y]≤[ax+y][（x>0，y>0）]恒成立的[a]的最小值.

命題意圖 本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及大家的邏輯分析能力.知識(shí)依托：本題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求[a]的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把[a]呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.

錯(cuò)解分析 本題解法三利用三角換元后確定[a]的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將[x，y]與[cosθ，sinθ]來對應(yīng)進(jìn)行換元，即令[x=cosθ]，[y]=sinθ（0<θ<[π2]），這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯(cuò)誤的.其原因是： （1）縮小了[x，y]的范圍；（2）這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“[x，y=]1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對的.

解法一 由于[a]的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方得，

[x+y+2xy≤a2（x+y）]，即[2xy≤（a2-1）（x+y）] ①

∵[x，y>0]，

∴[x+y≥2xy]. ②

當(dāng)且僅當(dāng)[x=y]時(shí)，②中等號(hào)成立.

比較①②得，[a]的最小值滿足a2-1=1.

∴a2=2，a=[2]（因a>0）.

∴a的最小值是[2].

解法二 設(shè)[u=x+yx+y=（x+y）2x+y]

[=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y]，

∵[x>0，y>0]，

∴[x+y≥2xy]（當(dāng)[x=y]時(shí)，“=”成立）.

∴[2xyx+y]≤1，[2xyx+y]的最大值是1.

從而可知，[u]的最大值為[1+1=2]，

又由已知得，[a≥u]，

∴[a]的最小值為[2].

解法三 ∵[y]>0，

∴原不等式可化為[xy]+1≤[axy+1].

設(shè)[xy]=tanθ，θ∈（0，[π2]），

∴tanθ+1≤[atan2θ+1]，即tanθ+1≤asecθ.

∴a≥sinθ+cosθ=[2]sin（θ+[π4]）. ③

又∵sin（θ+[π4]）的最大值為1（此時(shí)θ=[π4]），

由③式可知，a的最小值為[2].

點(diǎn)撥 除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)[a]滿足不等關(guān)系，[a≥f（x）]，則[amin=f（x）max]. 若[a≤f（x）]，則[amax=f（x）min]，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題.還有三角換元法求最值用得恰到好處，可以將原問題轉(zhuǎn)化后再處理.