查萍偉++朱宸材

[摘 要] 教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，如果對(duì)問題的背景或圖形稍作演變，許多學(xué)生就會(huì)無所適從. 許多實(shí)例也表明：在講解時(shí)教師直接把自己的解題思路灌輸給學(xué)生，就題論題，對(duì)一些學(xué)生薄弱的地方?jīng)]有進(jìn)行深入地思考，處理方法單一，缺乏演變，再加上學(xué)生參與不夠，這樣的課堂就會(huì)變得枯燥無味，只有透析圖形本質(zhì)，深入思考，實(shí)現(xiàn)多題歸一，很多問題才能迎刃而解.

[關(guān)鍵詞] 識(shí)圖；析圖；明圖

大發(fā)明家愛迪生曾經(jīng)說過：“如果一個(gè)人不下決心去思考，他就會(huì)失去生活的樂趣——?jiǎng)?chuàng)造.”作為數(shù)學(xué)老師，我們教會(huì)學(xué)生的不僅僅是解幾道數(shù)學(xué)難題，掌握幾種解題的妙招，更應(yīng)注重帶領(lǐng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住問題的精髓. 近幾年，利用對(duì)稱性求最值是各地中考的一個(gè)熱點(diǎn)，下面，筆者就以中考復(fù)習(xí)“利用對(duì)稱性求最值”這一堂課為例，簡(jiǎn)單談?wù)劷鉀Q此類問題的一些理解和思考.

識(shí)圖

基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)習(xí)中一個(gè)最基本、也最重要的部分；是影響學(xué)生深入學(xué)習(xí)的主要因素. 基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不好，在學(xué)習(xí)此基礎(chǔ)上的拓寬知識(shí)就不容易接受，更談不上對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲和濃厚的興趣，學(xué)生的主動(dòng)性就得不到很好的發(fā)揮，這樣，創(chuàng)新思維能力也就跟著變成無源之泉、無本之木.

在數(shù)學(xué)課中，不管教學(xué)設(shè)計(jì)有多么新穎，筆者覺得還是以抓住基礎(chǔ)知識(shí)為主. 但在數(shù)學(xué)課的基礎(chǔ)練習(xí)設(shè)計(jì)中，絕不能簡(jiǎn)單地羅列幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)或舉幾個(gè)常見的例題，只有拓寬基礎(chǔ)知識(shí)，才能使學(xué)生通過數(shù)學(xué)課對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用有進(jìn)一步的提高.

課本原題 （蘇科版七年級(jí)下冊(cè)）如圖1所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A，B區(qū)到它的距離之和最短？

分析 動(dòng)點(diǎn)P如何選取才能使其到定點(diǎn)A，B的距離之和最短？學(xué)生很容易利用對(duì)稱性及“兩點(diǎn)之間線段最短”（三角形兩邊之和大于第三邊）的原理找到. 是否真正掌握這一基本圖形，關(guān)鍵是看：（1）學(xué)生能否找到兩定點(diǎn)、一定直線；（2）作其中一定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)；（3）連結(jié)直線兩側(cè)的點(diǎn)，交定直線于一點(diǎn)；（4）此點(diǎn)即為所求點(diǎn). 在學(xué)習(xí)此基礎(chǔ)之上能否對(duì)點(diǎn)的位置、定直線，以及線段之間的和、差、最大、最小進(jìn)行拓寬呢？

改編1 已知：如圖2所示，A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，連結(jié)A′B交l于點(diǎn)P，若A′B=a.

（1）求AP+PB；

（2）若點(diǎn)M是直線l上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)， 求證：AM+MB>AP+PB.

分析 （1）此題與課本原型變化不大，只是字母與位置稍加變化，大多數(shù)學(xué)生立馬能口答出來，且信心十足.（2）解此類題時(shí)往往不需要學(xué)生做出證明. 而實(shí)質(zhì)上，有一部分學(xué)生只是死做題而不知為什么，導(dǎo)致在考試時(shí)稍加變化，就算是同一類型也突破不了. 所以，與其讓他們囫圇吞棗，不如讓他們完整地書寫一遍，把基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理弄得更透徹.

改編2 已知：A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)M.

（1）如圖3所示，在l上求作一點(diǎn)M，使得AM-BM最??；

（2）如圖4所示，在l上求作一點(diǎn)M，使得AM-BM最大；

分析 對(duì)于此題，一看便與課本原型變化很大，所以當(dāng)學(xué)生讀完題后，可讓學(xué)生講解此題與上一題的區(qū)別.

生1：原來是線段和，現(xiàn)在變成了線段差.

生2：且有最大、最小之分.

師：那圖形變了沒有？有哪些已知條件？

師：最小，小到幾？最大，大到幾？討論并解決.

（問題一提出，又一次激起了學(xué)生的討論，既使課堂產(chǎn)生了有效地思維互動(dòng)，又達(dá)到了“以一當(dāng)十”“以少勝多”的目的，在不斷地補(bǔ)充修改之中，最終得出答案）

師：（1）當(dāng)所求點(diǎn)為線段AB的垂直平分線與l的交點(diǎn)時(shí)，AM-BM最小，且最小值為0.

（2）AM-BM=AB，原理：三角形兩邊之差小于第三邊.

（合作學(xué)習(xí)體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的新課程教學(xué)理念，在培養(yǎng)學(xué)生合作交際能力的同時(shí)，通過合作學(xué)習(xí)不僅能解決自己不能單獨(dú)突破的問題，還能拓寬思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，大大提高他們的解題能力）

師：（1）中的絕對(duì)值能否去掉？（2）中的絕對(duì)值呢？

（思維應(yīng)具有一定的廣度和深度，只有多質(zhì)疑、多總結(jié)、多反思，學(xué)到的知識(shí)才更豐富、更扎實(shí). 一個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)拓寬到2個(gè)例題，設(shè)計(jì)中由線段和到線段差，由最大值到最小值，深入地思考，通過變式等手段，加深了學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵和外延的深層次理解）

析圖

中學(xué)生對(duì)于單一的數(shù)學(xué)知識(shí)易于理解和運(yùn)用，卻總害怕所學(xué)知識(shí)之間的綜合運(yùn)用，因?yàn)樗麄內(nèi)狈χR(shí)間的整合意識(shí)，這就更需要我們帶領(lǐng)學(xué)生透析圖形的本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵.

改編3 如圖5所示，點(diǎn)A，B，C在直線l的同側(cè)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長(zhǎng)最小.

題目一出，學(xué)生馬上注意到：兩點(diǎn)變成了三點(diǎn)，線段距離之和變成了四邊形周長(zhǎng)最小.

老師不做講解，鼓勵(lì)學(xué)生在相互討論中解決.

（靈動(dòng)的課堂應(yīng)是師生共同設(shè)疑、釋疑、解疑的過程，這幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題是以基本圖形進(jìn)行展開的，它們可以引領(lǐng)課堂思維有序地設(shè)問情境，可以引領(lǐng)課堂思維有效展開，并隨時(shí)調(diào)節(jié)課堂氣氛，促進(jìn)師生、生生之間的情感與思維互動(dòng)）

改編4 如圖6所示，已知線段a，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn)P，Q （點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQ=a，使四邊形APQB的周長(zhǎng)最小.

題目一出，學(xué)生再一次感嘆：雖然還是兩定點(diǎn)一定直線，但要求的是兩動(dòng)點(diǎn)，難度明顯上了一個(gè)臺(tái)階. 看得出有部分學(xué)生害怕，于是教師首先要做的是克服他們的畏懼心理，并大膽鼓勵(lì)，與基礎(chǔ)題作比較. 這個(gè)題由于對(duì)學(xué)生的要求較高，所以我不再讓學(xué)生合作解答，而換成師生合作、互相補(bǔ)充，由三角形到四邊形，由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由一次對(duì)稱到兩次對(duì)稱，層層遞推，深入思考. 通過變式等手段，不僅能有效地解決這一難題，使學(xué)生渡過難關(guān)，還可以加深學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵和外延的更深層次理解（答案如圖7所示）.endprint

明圖

利用對(duì)稱的基本圖形求極值很簡(jiǎn)單，單獨(dú)考查有局限性，它往往要通過對(duì)幾何圖形的形狀、位置、大小等各種非本質(zhì)屬性的變化，結(jié)合函數(shù)背景，考查學(xué)生能否透過外部表象認(rèn)清幾何圖形的本質(zhì)特征，全方位地思考問題.

最值的求解是各地中考考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，題目千變?nèi)f化，若能透析圖形本質(zhì)，認(rèn)識(shí)廬山真面目，不難發(fā)現(xiàn)，大都是由一些常見的典型題加以變式而來. 明確了以上內(nèi)容，下面以一個(gè)中考中的實(shí)際問題來進(jìn)一步說明.

問題 （1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖8所示，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小.

（2）如圖9所示，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小.

（3）實(shí)踐運(yùn)用：如圖10所示，已知⊙O的直徑CD為4，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.

（4）拓展延伸：如圖11所示，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD，保留作圖痕跡，不必寫出作法.

分析 （1）直接用前面學(xué)到的結(jié)論即可. （2）由于等邊三角形是極其特殊的三角形，所以根據(jù)勾股定理可以求出CE的長(zhǎng)度. （3）首先求出點(diǎn)P的位置，再結(jié)合圓周角等性質(zhì)，求出最短距離. （4）從（2）（3）可以得出，應(yīng)由軸對(duì)稱來解決，找點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)P，此時(shí)的點(diǎn)P即為所求（如圖12所示）. 點(diǎn)無論在三角形的邊上，還是在圓周上，或是一般四邊形，透析本質(zhì)：兩定點(diǎn)，一定線，通過對(duì)稱求出動(dòng)點(diǎn)位置，就能轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短來求解.

寫在最后

本節(jié)課從最小值到最大值，從線段和到線段差，拓寬了求最值問題，開拓了學(xué)生的視野，設(shè)計(jì)由易到難，且結(jié)合了各種幾何背景加以變化形成了一定的層次，循序漸進(jìn). 在解題時(shí)強(qiáng)調(diào)，必須概括出各題中共同的、本質(zhì)的東西，以達(dá)到由一題向另一題的遷移，給人以新鮮感，能夠喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，因而能夠產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力，保持其參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情. 可見，學(xué)生的思維互動(dòng)是構(gòu)建靈動(dòng)課堂的關(guān)鍵，這就要求教師不僅要關(guān)注教材本身，更要關(guān)注圖形本質(zhì)，需要教師大膽放手，敢于創(chuàng)新，靈活運(yùn)用教學(xué)方法，為學(xué)生提供一個(gè)廣闊的空間，實(shí)現(xiàn)多題歸一. 要相信學(xué)生的潛力是無限的，這樣，學(xué)生將帶給你一個(gè)個(gè)意想不到的驚喜.endprint