張善斌

（吉林省通化市職業(yè)教育中心 吉林通化134001）

論初中平面幾何教學(xué)中的演繹與歸納

張善斌

（吉林省通化市職業(yè)教育中心 吉林通化134001）

歸納方法和和演繹方法的訓(xùn)練在幾何教學(xué)中的平衡問題是中學(xué)平面幾何教學(xué)中的關(guān)鍵問題，在我國近現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中曾歷經(jīng)多次反復(fù)--或過于強(qiáng)調(diào)歸納下的探索發(fā)現(xiàn)而忽視演繹法，或過于強(qiáng)調(diào)演繹推理訓(xùn)練而忽視探索發(fā)現(xiàn)。本文對現(xiàn)有的幾何教育思想進(jìn)行了梳理和總結(jié)，并以此為指導(dǎo)，研究了我國中學(xué)平面幾何教學(xué)中歸納和演繹的平衡問題。

中學(xué)平面幾何教學(xué) 演繹 歸納 朱德祥 幾何教育思想

一、引言

目前我國中學(xué)平面幾何教學(xué)中有一個尚未解決的問題是歸納基礎(chǔ)上的探索發(fā)現(xiàn)訓(xùn)練和演繹推理的訓(xùn)練不能很好平衡，長期以來中學(xué)平面幾何教學(xué)只重視演繹推理訓(xùn)練而忽視歸納推理訓(xùn)練［1］，直到九年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)才開始重視歸納推理訓(xùn)練，但又有矯枉過正的危險。本文以九年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)平面幾何部分為例，研究了中學(xué)平面幾何教學(xué)中歸納和演繹的平衡問題，對于兩者在實(shí)際教學(xué)中的平衡給出我們見解和教學(xué)建議，同時也為新課程標(biāo)準(zhǔn)的落實(shí)和進(jìn)一步的研究提供富有啟發(fā)性的參考。

二、幾何教學(xué)思想綜述

幾何是數(shù)學(xué)的一個重要分支，本身發(fā)展歷史悠久。徐光啟等人較早認(rèn)識到平面幾何教學(xué)對于彌補(bǔ)中華文化中缺少演繹方法這一缺陷的作用［2］，所以平面幾何教學(xué)在較長時期一直承擔(dān)著演繹推理訓(xùn)練的任務(wù)。上世紀(jì)80年代重新提出幾何證明，但并未在那時全面恢復(fù)教授演繹系統(tǒng)，此時如何將幾何證明與其它問題連結(jié)起來尚待深思；到1990年之?dāng)?shù)學(xué)課程，又提出了空間想象力這一塊，中學(xué)加入了一些新的課題、如幾何變換對稱。20世紀(jì)下半葉以來，中國大陸的數(shù)學(xué)教育在學(xué)習(xí)外國教育經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，不斷強(qiáng)化改進(jìn)，目前中國也許是保存歐式幾何體系完整的少數(shù)國家之一。雖然近年來幾何的占分比例不斷下降，幾何代數(shù)化的傾向越趨明顯，但尚未威脅到本身的獨(dú)立存在。日前，革新的數(shù)學(xué)教材正在編寫，幾何學(xué)將會是一個需要慎重對待的問題。

目前的幾何知識體系，既具有演繹的科學(xué)品質(zhì)，也提供有效而優(yōu)美的邏輯范式。有人認(rèn)為歸納原理是原始的，非科學(xué)的，只有演繹推理才是合于科學(xué)工作的思想方式。簡括地說，歸納法是從觀察到的特殊事例推出一般性質(zhì)、關(guān)系或法則的過程。相反地，演繹法是從議論一開始我們所承認(rèn)的一般原理得出特殊結(jié)論的推理過程。其實(shí)歸納和演繹，各有功績但同時兼具缺陷，單獨(dú)運(yùn)用都不足以支持真正的科學(xué)進(jìn)展。歸納法缺點(diǎn)在于無論我們做了多少正確的觀察，只要一切可能的實(shí)例沒有考察到，便得不出準(zhǔn)確無疑的一般結(jié)論。

此外，承認(rèn)實(shí)際所做的觀測都是完全準(zhǔn)確做到的這個假設(shè)，往往是錯的，因而在許多場合，并沒有完全的準(zhǔn)確性作為一般結(jié)論的基礎(chǔ)。而對于演繹法，其本身既不能提供出所要證的結(jié)果，也不能提供展開一個證明所開始出發(fā)的命題。沒有歸納法，演繹法只能閑著等著東西來證明。沒有演繹法，歸納法總是不能自我肯定。抓好中學(xué)數(shù)學(xué)教育，是關(guān)系到社會主義物質(zhì)文明和精神文明的大事。

中學(xué)數(shù)學(xué)教育，除了使廣大學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識外，更要特別注意培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、邏輯思維能力和計(jì)算能力［3］。為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)其他學(xué)科技術(shù)或直接就業(yè)打下良好基礎(chǔ)。

三、數(shù)學(xué)課程平面幾何教學(xué)平衡分析

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

新課改之后，九年義務(wù)教育演繹幾何部分在每個學(xué)段所占的比重并不多，但其中歸納部分則是占了很大的比重。通過上文綜述我們得知?dú)w納和演繹是相輔相成的，二者缺一不可。目前新課改中演繹和歸納的搭配是不合理的，過于強(qiáng)調(diào)歸納下的探索發(fā)現(xiàn)而忽視演繹法。因此后續(xù)修改演繹幾何部分還有待加強(qiáng)。

在實(shí)際教學(xué)中，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在中學(xué)及大學(xué)學(xué)到的演繹幾何內(nèi)容非常有限，他們對整個歐幾里得的幾何公理系統(tǒng)的由來、結(jié)構(gòu)、發(fā)展與改良，所知也極為有限［4］。要讓學(xué)生們理解公理系統(tǒng)，有效的教授演繹幾何，老師就必須掌握公理與定理之間的微妙關(guān)系，當(dāng)中的來龍去脈，要知道得一清二楚。

現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，過分依賴教科書的鋪排，對如何由直觀過渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)內(nèi)容的鋪排，并沒有很周詳?shù)目紤]。教師很多時候不愿意把課時用在幾何尺規(guī)作圖，以及訓(xùn)練學(xué)生的邏輯表達(dá)上，須知證明的很多基本思想均源自幾何作圖的經(jīng)歷，論證的嚴(yán)謹(jǐn)與周詳與否，正是學(xué)生的邏輯思維是否成熟，要有成功的演繹幾何教學(xué)，這兩方面的學(xué)習(xí)，缺一不可。

四、結(jié)論

筆者認(rèn)為，可以在每年的國培計(jì)劃中對脫產(chǎn)置換出來的教師講授這方面的內(nèi)容，這樣既能在課堂有效的教授演繹幾何，使得演繹部分和歸納部分達(dá)到平衡。學(xué)生在開始學(xué)習(xí)傳統(tǒng)的演繹幾何時，對公理系統(tǒng)的作用，往往了解不深，就連什么是基礎(chǔ)或基本的假設(shè)，什么是定理的內(nèi)容和結(jié)論，亦容易混亂。演繹幾何的論證有其特有的表達(dá)方式，它是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，其所表達(dá)的邏輯思想，也自成體系，學(xué)習(xí)這種獨(dú)特的論證，就如學(xué)習(xí)一種獨(dú)特的語言一樣，必須多加嘗試，放能讓學(xué)生掌握大概。

［1］蔣省吾、秦炳強(qiáng)，憶朱德祥教授，朱德祥執(zhí)教五十五周年文集［C］，西南師范大學(xué)出版社，唐家祥、李長明主編，1991年，158-162.

［2］謝明初，全球化背景下的數(shù)學(xué)課程改革，數(shù)學(xué)傳播［J］，1999年9月，34（2），82-90.

［3］熊民福，徐紹珍，學(xué)教初等幾何研究的幾點(diǎn)體會，朱德祥執(zhí)教五十五周年文集［C］，西南師范大學(xué)出版社，唐家祥、李長明主編，1991年11月第一版，92-98.

［4］張景中，幾何新方法和新體系［M］，科學(xué)出版社，2009年8月第一版，167-173.