張志昌，賈 斌，李若冰

(西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048)

六圓弧蛋形斷面共軛水深計(jì)算方法的研究

張志昌，賈 斌，李若冰

(西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048)

【目的】 建立明渠六圓弧蛋形斷面水躍共軛水深的計(jì)算方法，為該斷面的設(shè)計(jì)提供支持。【方法】 通過分塊計(jì)算六圓弧蛋形斷面不同水深時(shí)的面積、分塊形心位置和總形心位置，并以此為依據(jù)分析相對(duì)面積、相對(duì)形心位置與相對(duì)水深的關(guān)系，根據(jù)動(dòng)量方程研究并建立水躍共軛水深的計(jì)算方法。【結(jié)果】 給出了不同水深時(shí)六圓弧蛋形斷面形心和面積的計(jì)算公式以及水躍共軛水深的試算方法；擬合了相對(duì)斷面形心和相對(duì)面積與相對(duì)水深的關(guān)系，給出了水躍共軛水深的簡(jiǎn)化迭代計(jì)算公式，并驗(yàn)證了公式的收斂性。與采用理論公式的試算法相比，簡(jiǎn)化計(jì)算方法對(duì)同一算例的躍前、躍后水深計(jì)算誤差分別為0.04%和0.16%。【結(jié)論】 推導(dǎo)的水躍共軛水深的試算法和簡(jiǎn)化計(jì)算方法，其計(jì)算精度完全可以滿足工程實(shí)際要求，可為工程設(shè)計(jì)提供參考。

六圓弧蛋形斷面；水躍；共軛水深；簡(jiǎn)化計(jì)算

水躍是明渠水流從急流向緩流過渡時(shí)發(fā)生的一種水面突然躍起的局部水流現(xiàn)象。對(duì)于矩形斷面,水躍共軛水深已有理論計(jì)算公式[1]，而對(duì)于其他斷面，由于形狀復(fù)雜，水躍共軛水深不易計(jì)算。近年來，學(xué)者們對(duì)復(fù)雜斷面的水躍共軛水深進(jìn)行了很多研究。王學(xué)斌等[2]通過求解一元四次方程，得到了梯形斷面水躍共軛水深的精確解，但其計(jì)算過程仍比較繁瑣。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，劉計(jì)良等[3]根據(jù)水躍函數(shù)曲線的性質(zhì)和幾何意義，提出了梯形斷面水躍共軛水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式；孫道宗[4]給出了梯形斷面水躍共軛水深的迭代方法；趙延風(fēng)等[5]通過引入單位水面寬度的概念，提出了梯形斷面共軛水深的直接計(jì)算公式；馬吉明等[6]研究了城門洞型及平底馬蹄型隧洞內(nèi)的水躍計(jì)算方法，由于計(jì)算比較復(fù)雜，僅給出了水躍共軛水深的計(jì)算曲線。張志昌等[7]和李若冰等[8]研究了U型渠道、標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄型斷面水躍的共軛水深，并給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過程和計(jì)算步驟。

常見的蛋形斷面分為四圓弧和六圓弧2種形式，被認(rèn)為是最優(yōu)的受力斷面[9]。四圓弧蛋形斷面常用于城市排水，關(guān)于其過流能力和臨界水深已有一些研究成果[10-12]。六圓弧蛋形斷面常用于大型的水利工程，例如湖南省臨澧縣青山水輪泵站灌區(qū)的冉鋪灣隧洞[13]、湖南衡東縣的白蓮灌區(qū)武家坳隧洞[14]均采用六圓弧蛋形斷面，但目前對(duì)于其水力計(jì)算的研究甚少，僅有文獻(xiàn)[15]給出了臨界水深的計(jì)算方法，對(duì)于水躍共軛水深的研究尚未見相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。為此，本研究詳細(xì)推導(dǎo)了六圓弧蛋形斷面不同水深時(shí)斷面面積和斷面形心的計(jì)算過程，并從水躍的基本方程出發(fā)，給出了水躍共軛水深的試算計(jì)算方法；為了簡(jiǎn)化計(jì)算，還擬合了相對(duì)斷面形心和相對(duì)面積與相對(duì)水深的關(guān)系，給出了共軛水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，以期為六圓弧蛋形斷面的設(shè)計(jì)與計(jì)算提供參考。

1 六圓弧蛋形斷面的形狀及參數(shù)

六圓弧蛋形斷面如圖1所示，該斷面由6段圓弧組成，其中弧ab、ce、df半徑最大，均為r1，弧ef的半徑r2=0.426 042r1，弧ac、bd的半徑r3=(17/56)r1，弧ab的半角α1=25.375°，弧ef的角度α2=121.183 8°，弧ce、df的角度α3=29.408 1°，弧ac、bd的角度α4=40.128 11°，渠道最寬處寬度cd與最大半徑r1相同。由于六圓弧蛋形斷面的復(fù)雜性，現(xiàn)以圖1中的ab、cd、ef處作為分界線，對(duì)應(yīng)的水深分別為hab、hcd、hef，因此可以將斷面水深分為4個(gè)部分，即h≤hab、hab≤h≤hcd、hcd≤h≤hef和hef≤h。

由圖1可以看出，底部弓形的高度hab和兩側(cè)扇形斷面的高度h2分別為：

hab=r1-r1cosα1=r1(1-cos 25.375)=0.096 478r1，

h2=r3sinα4=r3sin 40.128 11=0.644 499r3=0.195 651 4r1。

2 六圓弧蛋形斷面不同水深時(shí)面積和形心位置的計(jì)算

2.1 水深處于底部弓形斷面(h≤hab)

如圖2所示，φ為水深處于底部弓形斷面時(shí)對(duì)應(yīng)的半圓心角，0<φ≤25.375°，A0為計(jì)算區(qū)域斷面面積，yc0為計(jì)算區(qū)域形心距水面的距離。當(dāng)h≤hab時(shí)，斷面面積A和形心距水面的距離yc為：

(1)

yc=yc0=4r1sin3φ/[3(2φ-sin 2φ)]-r1cosφ。

(2)

水深計(jì)算公式為：h=r1-r1cosφ。

(3)

2.2 水深處于最大寬度(含最大寬度)以下(hab≤h≤hcd)斷面

水深處于最大寬度以下斷面時(shí)，斷面面積和形心距水面的距離如圖3所示。將計(jì)算區(qū)域分為底部、兩側(cè)弓形和中央梯形4個(gè)部分計(jì)算，其面積分別為A1、A2、A3、A4，對(duì)應(yīng)形心距水面的距離分別為yc1、yc2、yc3、yc4，則由圖3的幾何關(guān)系可得：

ab=2r1sinα1=2r1sin 25.375=0.857 082r1，

c1d1=r1-2r3(1-cosβ)=[11/28+(17/28)cosβ]r1，

A4=0.5(ab+c1d1)(h2-r3sinβ)=

[0.624 969 5+(17/56)cosβ][0.195 651 4-

h3=(r1/2)tanα3=(r1/2)tan 29.408 1=0.281 829r1。

將A1、h3、r2=0.426 042r1、r3=(17/56)r1代入yc1得：

則斷面面積A和形心距水面的距離yc為：

(4)

yc=(A1yc1+A2yc2+A3yc3+A4yc4)/A=(A1yc1+2A2yc2+A4yc4)/A。

(5)

水深計(jì)算公式為：

h=hab+h2-r3sinβ=0.292 129 4r1-(17/56)r1sinβ。

(6)

式中：0≤β≤40.128 11°。

2.3 水深處于ef線(含ef線)以下(hcd≤h≤hef)斷面

將r3=17r1/56，h2=0.195 651 4r1，α1=25.375°，α4=40.128 11°代入以上各式，整理得斷面面積A為：

(7)

則斷面形心距水面的距離為：

(8)

水深計(jì)算公式為：

h=hab+h2+r1sinβ1=0.292 129 4r1+r1sinβ1。

(9)

式中：0≤β1≤α3。

圖4 水深處于ef線(含ef線)以下斷面
Fig.4 Water depth at theefline of cross section

圖5 水深處于ef線以上斷面內(nèi)
Fig.5 Water depth in the upper bow of cross section

2.4 水深處于頂部弓形ef線以上(hef≤h)斷面

則斷面面積A為：

(10)

形心距水面的距離分別為：

斷面形心距水面的距離yc為：

(11)

水深的計(jì)算公式為

h=hab+h2+r1sinα3+r2[cos (α2/2-β2)-

cos (α2/2)]=0.292 129 4r1+r1sinα3+

0.426 042r1[cos (α2/2-β2)-cos (α2/2)]。

(12)

式中：0≤β2<α2/2。

3 共軛水深的計(jì)算

水躍共軛水深的一般計(jì)算公式[1]為：

(13)

式(13)可以寫成：J(h′)=J(h″)。

(14)

式中：h′、h″分別為躍前、躍后斷面水深。

水躍方程的計(jì)算一般采用試算法，根據(jù)躍前和躍后水深位置的不同，其組合形式見表1。

4 斷面面積和形心的簡(jiǎn)化計(jì)算方法

由以上推導(dǎo)過程可以看出，除了水深處于底部弓形斷面內(nèi)時(shí)，斷面面積和形心計(jì)算比較簡(jiǎn)單外，當(dāng)水深處于底部弓形斷面以上時(shí)，水躍共軛水深的計(jì)算十分復(fù)雜，計(jì)算工作量大。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本研究分析了水深大于底部弓形斷面時(shí)的相對(duì)形心、相對(duì)面積與相對(duì)水深的關(guān)系，結(jié)果見圖6和圖7。由圖6和圖7擬合可得：

yc/r1=0.126 3(h/r1)3-0.052 7(h/r1)2+
0.460 7h/r1-0.005 5，

(15)

(16)

公式(15)和(16)的相關(guān)系數(shù)均為0.999 9。在h/r1=0.095～0.960時(shí)，公式(15)的平均誤差為0.585%，最大誤差為1.7%；公式(16)的平均誤差為0.337%，最大誤差為0.71%。

(17)

式中：y″c和A″用公式(15)和公式(16)計(jì)算，計(jì)算時(shí)公式(15)、(16)中的h用h″代替。

如果已知躍后斷面水深h″，則可由公式(13)計(jì)算出J(h″)，躍前斷面相對(duì)水深的迭代公式為：

(18)

由式(17)、(18)可以看出，h″/r1和h′/r1均小于1，所以迭代的初值在0到1之間選取。

下面證明公式的收斂性。先證明公式(17)，公式(17)可以寫成下面的函數(shù)關(guān)系

(19)

對(duì)式(19)求導(dǎo)數(shù)，得：

式中:φ′(h″/r1)為函數(shù)φ(h″/r1)對(duì)h″/r1的求導(dǎo)。

將上式寫成：

由水躍方程可知：

由上面的水躍方程可得：

由此得：

(20)

對(duì)公式(15)和公式(16)求導(dǎo)數(shù)，得：

(y″c/r1)′=0.378 9(h″/r1)2-0.105 4(h″/r1)+0.460 7，

(21)

(22)

式中：Ak為臨界水深對(duì)應(yīng)的面積，Bk為臨界水深對(duì)應(yīng)的水面寬度。

將上式變形為：

(23)

將公式(23)代入公式(20)，得：

(24)

現(xiàn)證明公式(18)的收斂性，與公式(17)的類似，設(shè)：

(25)

對(duì)式(25)求導(dǎo)數(shù)，得：

(26)

由水躍方程可知：

Q2/(gA′)+A′y′=J(h″)。

上式可以變形為：

(27)

(28)

將公式(16)、(27)和(28)代入公式(26)，可得：

(29)

需要強(qiáng)調(diào)的是，公式(17)、(18)適應(yīng)于躍前和躍后斷面水深在底部弓形斷面以上(圖1中ab線以上)的情況。躍后水深大多數(shù)情況下均在底部弓形斷面以上(圖1中ab線以上)，在用公式(18)計(jì)算時(shí)，如果求得的躍前斷面水深h′

算例 某泄洪隧洞采用六圓弧蛋形斷面，已知六圓弧蛋形斷面的最大半徑r1=10 m，消力池以上總水頭E0=50 m，流速系數(shù)φ=0.86，渠道通過的流量Q=150 m3/s，試判斷是否會(huì)發(fā)生水躍，若發(fā)生水躍，試計(jì)算躍后水深。

已知六圓弧蛋形斷面參數(shù)如下：

r2=0.426 042r1=4.260 42 m，

r3=17/56r1=3.035 71 m，

α1=25.375°，α2=121.183 8°，

α3=29.408 1°，α4=40.128 11°,

hab=r1(1-cosα1)=0.964 78 m，

h2=0.195 651 4r1=1.956 51 m。

解法一：用理論公式計(jì)算水躍共軛水深。壩趾收縮斷面以上的總水頭E0為：

臨界水深用公式(23)計(jì)算，假定臨界水深處于最大寬度以上且頂拱以下的斷面內(nèi)，臨界水深對(duì)應(yīng)的面積Ak和臨界水深hk分別用公式(7)和公式(9)計(jì)算，計(jì)算時(shí)將公式中的β1用β1k表示，其中下標(biāo)k表示臨界關(guān)系，則：

hk=0.292 129 4r1+r1sinβ1k。

臨界水深對(duì)應(yīng)的水面寬度Bk由圖4的幾何關(guān)系獲得：

Bk=r1(2cosβ1k-1)。

由以上公式試算得β1k=2.403 6°，臨界水深為3.341 m，大于躍前斷面水深，因此會(huì)發(fā)生水躍。

即當(dāng)躍后水深為9.384 1 m時(shí)，計(jì)算的J(h″)與J(h′)近似相等，此時(shí)的水深即為躍后水深。

解法二：用簡(jiǎn)化公式計(jì)算水躍共軛水深。仍假定躍前水深大于底部弓形斷面，躍前斷面面積用公式(16)計(jì)算，則躍前斷面相對(duì)水深的迭代公式為：

將躍前斷面的水躍函數(shù)J(h′)、流量Q和r1代入公式(17)，迭代得h″/r1=0.939 916 7，即躍后水深為h″=9.399 167 m，驗(yàn)算得J(h″)=410.269 m3。求得的躍后水深與理論公式計(jì)算的躍后水深相差0.16%。

5 結(jié) 語

本研究根據(jù)水躍的一般方程和斷面分割法，研究了六圓弧蛋形斷面水躍共軛水深的計(jì)算方法，給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過程，通過優(yōu)化擬合，得出了六圓弧蛋形斷面底部弓形以上的相對(duì)形心和相對(duì)斷面面積的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。與采用理論公式的試算法相比，簡(jiǎn)化計(jì)算方法對(duì)同一算例得到的躍前水深相差0.04%，躍后水深相差0.16%，表明該計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)試算法一樣精確，但該公式形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，計(jì)算精度完全可以滿足工程實(shí)際要求。

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Calculation method of conjugate water depth of egg-shaped cross section with six arcs in open channel

ZHANG Zhi-chang,JIA Bin,LI Ruo-bing

(InstituteofWaterResourcesandHydro-electricEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an,Shaanxi710048,China)

【Objective】 The calculation method of conjugate water depth of egg-shaped cross section with six arcs in open channel was established to support the design of this kind of section.【Method】 Blocking method was used to calculate areas and centroids under different water depths,and the relationships between relative area,relative centroid position and relative depth were analyzed.Then the calculation method of conjugate water depth of egg-shaped cross section with six arcs was established according to momentum equation.【Result】 The computational formulas of centroids and areas of egg-shaped cross section with six arcs under different water depths and trial method of conjugate water depth were established.The relationships between the relative area,relative centroid position and relative depth were fitted,the simplified calculation method and processes of conjugate water depth were supplied and the convergence was verified.Compared with the theoretical formula of trial method,the errors of depths before and after water jump by simplified calculation method were 0.04% and 0.16%,respectively.【Conclusion】 The accuracy of simplified calculation method for conjugate water depth met the requirement of actual projects.

egg-shaped cross section with six arcs;hydraulic jump;conjugate water depth;simplified calculation

2013-09-22 [作者簡(jiǎn)介] 張志昌(1954-)，男，陜西西安人，教授級(jí)高級(jí)工程師，主要從事明渠測(cè)流、高速水流等研究。 E-mail:zhangzhichang1954@163.com

時(shí)間:2014-12-12 09:30

10.13207/j.cnki.jnwafu.2015.01.025

TV133+.1

A

1671-9387(2015)01-0220-09

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