濮志堅

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是否有效，有賴于教學(xué)重、難點是否有效落實，它對教學(xué)起著提綱挈領(lǐng)的作用。所謂教學(xué)重點，是在整個知識體系或課題體系中處于重要地位和突出作用的內(nèi)容，也就是說，這個知識點在今后的學(xué)習中有著廣泛的應(yīng)用，是解決問題的基礎(chǔ)，如概念、法則、性質(zhì)等；所謂教學(xué)難點，是指根據(jù)本班學(xué)生的基礎(chǔ)知識與認知水平，大部分學(xué)生理解起來有一定難度的知識點。那么，究竟應(yīng)如何突破教學(xué)重、難點，使學(xué)生的學(xué)習活動更有效呢？筆者以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊教材中“三角形的特性”一課為例，就教學(xué)中如何突出重點、突破難點談一些自己的想法。

“三角形的特性”是《三角形》單元的起始課，在此之前，學(xué)生對三角形已經(jīng)有了初步的感知，能夠從一些平面圖形中分辨出三角形，但對三角形的特征缺乏清晰的認識。讓學(xué)生理解三角形的定義，了解三角形的特性并能畫出三角形的一條高是本節(jié)課的教學(xué)重點，其中畫高則是本課教學(xué)的難點所在。

一、在靜心“感悟”中揭示定義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出，除接受學(xué)習外，動手實踐、自主探索與合作交流是數(shù)學(xué)學(xué)習的重要方式，“學(xué)生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”。這就需要教師在課堂中適當放慢教學(xué)節(jié)奏，為學(xué)生提供充分的探究時間、鋪設(shè)充實的探究內(nèi)容，靜心等待，讓學(xué)生在看一看、畫一畫、說一說等活動中，“感悟”三角形的特征，抽象出概念。

【教學(xué)片段】教學(xué)三角形的定義

課始，從學(xué)習工具三角板的形狀引出本節(jié)課的課題。（分別沿兩塊三角板的邊畫出兩個三角形）

師：有沒有想過為什么這樣的圖形都叫三角形？

生1：因為它有三個角，所以叫三角形。（師指一指三個角）

生2：因為它有三條邊。（師指一指三條邊）

生2：三角形還有三個頂點。（師再指一指三個頂點）

師：下面的圖形也有三個角、三條邊，是三角形嗎？為什么？

生1：因為這個圖形的三個角碰在一起了。

生2：三角形的三條邊應(yīng)該是線段，不是射線。

生3：三條線段應(yīng)該是端點和端點碰在一起的。

生4：三角形應(yīng)該是一個封閉圖形，而這三條線段沒有圍成封閉的圖形。

師：大家都發(fā)表了自己的想法，那么三條線段怎樣才算是圍起來呢？想不想親自感受一下三條線段圍起來的過程？

師：請你先靜靜地想一想，然后在紙上畫一個三角形。

（待學(xué)生都畫得差不多了，教師拿兩張畫得并不規(guī)范的作品放在實物投影儀上）

師：你覺得畫得怎么樣？有什么建議？

（在全班同學(xué)的幫助下，畫得不規(guī)范的學(xué)生作第二次修改）

師：同學(xué)們，你們在畫三角形的時候，第幾條邊最難畫？畫時要注意什么？ （引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出畫時要注意筆直、封閉、首尾相連）

師：同桌之間指一指三角形的角、邊、頂點。

師：三角形咱們看也看過了，畫也畫過了，誰能用自己的話來說說怎樣的圖形才叫三角形？

……

三角形的特征包括有三個角、三條邊、三個頂點，這些都是顯性的特征。學(xué)生在學(xué)習本課之前，已經(jīng)對三角形有了初步的認識，加之生活中的三角形也有很多應(yīng)用，學(xué)生對其基本特征并不陌生。筆者曾在三年級的學(xué)生中做過課前調(diào)查，讓學(xué)生判斷下面圖形是不是三角形，幾乎全班都能正確判斷，并能說明判斷的理由。但根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生往往對三角形的定義很難表達清楚，而理解三角形的定義正是本節(jié)課的重點。

基于這一重點在本節(jié)課的教學(xué)伊始，筆者用學(xué)生最熟悉的三角板在黑板上沿邊畫三角形，讓學(xué)生感知從生活中的三角形到數(shù)學(xué)的三角形的過程，這是初次從感性認識到理性概念進化。接著通過對“為什么這樣的圖形都叫三角形”的思考，簡明扼要地抓住關(guān)鍵問題，凸顯數(shù)學(xué)概念“名副其實”的價值內(nèi)涵。接下來對兩個圖形進行辨析，讓學(xué)生明白“封閉”和“開口”的區(qū)別，使學(xué)生經(jīng)歷一個去粗存精、去偽存真的過程。“想不想親自感受一下三條線段圍起來的過程？”“在畫三角形的時候，第幾條邊最難畫？”更是讓學(xué)生感受“圍成”的真正意義——首尾相連。三角形特征的本質(zhì)至此已經(jīng)基本體現(xiàn)。雖然在接下來的定義概括“誰能用自己的話來說說怎樣的圖形才叫三角形”中，還是有一小部分學(xué)生在說“有三個角、三條邊、三個頂點的圖形是三角形”，筆者以為這已經(jīng)無傷大雅了，因為學(xué)生對“由三條線段圍成的圖形是怎樣圍起來的”已經(jīng)深深地烙在心里。

數(shù)學(xué)概念的形成是一個數(shù)學(xué)化的過程，必須在感性認識的基礎(chǔ)上對概念作辯證的分析，借助多種思維活動體驗概念數(shù)學(xué)化的過程，才能更好地把握概念的本質(zhì)和非本質(zhì)的特征，才能構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)。所以在概念教學(xué)中，教師切不可操之過急，不妨靜下心來，給學(xué)生架一座橋梁，建一個平臺，等學(xué)生積累了豐富的感性認知以后，揭示概念也就水到渠成。

二、在直觀“操作”中彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習需要操作，在直觀操作和形象感知的背后應(yīng)該有一種更高水平的“理性”存在，這種理性，就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。教師要引導(dǎo)學(xué)生通過直觀的操作，從數(shù)學(xué)的角度去進行理性思考，并抽象出數(shù)學(xué)結(jié)論，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【教學(xué)片段】教學(xué)三角形的穩(wěn)定性

（課件出示：生活中的三角形）

師：為什么這些物體的這些部位要做成三角形？僅僅是為了美觀嗎？還有其他原因嗎？ （許多學(xué)生都認為三角形比較牢固，比較穩(wěn)定）

師：真的嗎？我們來做實驗驗證一下好嗎？

師：每位同學(xué)都有一個信封，里面裝有小棒，請你用小棒圍成三角形或四邊形，然后同桌輪流用手拉一拉四邊形框架和三角形框架，仔細觀察你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：誰來匯報一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？（三角形拉不動）

師：三角形為什么會拉不動呢？請圍三角形的同學(xué)把三角形框架舉起來（教師隨機拿了10個三角形框架，擺在投影儀上）你又發(fā)現(xiàn)了什么？endprint

師：同學(xué)們，當三角形的三條邊長度確定以后，三角形的形狀和大小就完全確定了，所以在拉的時候，三角形才不會變形，這種不變的性質(zhì)就是三角形的穩(wěn)定性。

師：我們再看用同樣的2藍2黃四根小棒圍成的圖形，有的是平行四邊形，有的是一般的四邊形。雖然四邊形的四條邊長短固定，但形狀不能固定，容易變形。

師：怎樣使容易變形的四邊形固定??？

……

了解三角形的穩(wěn)定性是本節(jié)課的另一個重點，如何突出這個重點，筆者認為，應(yīng)該還原到三角形的本質(zhì)特性，從直觀操作中追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)。三角形很牢固，拉不動，這是大部分學(xué)生的認知，但三角形的穩(wěn)定性不是簡單的“拉得動，拉不動”的問題，其實質(zhì)應(yīng)該是“三角形各邊長度確定，其形狀和大小就確定了”，即三角形的“唯一性”。如果只是讓學(xué)生了解三角形“拉不動，很牢固”，利用學(xué)具圍四邊形和三角形框架，通過拉兩個框架后就可以輕易證實這一點，但這樣的操作結(jié)果對學(xué)生會有多少提升呢？筆者認為，應(yīng)該讓學(xué)生深入地去思考“為什么三角形會拉不動呢？”通過眾多三角形的比較，去發(fā)現(xiàn)三角形框架拉不動的真正原因，從而突破本節(jié)課的一個重點。

三、在自主“辨析”中矯正畫法

在學(xué)生的學(xué)習過程中，正確是一種模仿，而錯誤卻是一種經(jīng)歷。它能折射出學(xué)生學(xué)習的難點所在，也能發(fā)現(xiàn)教師預(yù)設(shè)中存在的問題，在辨錯的過程中更是展現(xiàn)了學(xué)生的思維歷程，對錯誤根源的探究使理解和記憶更加深刻。

【教學(xué)片段】教學(xué)三角形的高及一條高的畫法

（課件出示）

師：李爺爺家與公路之間有一塊三角形的草坪，村里準備在李爺爺家到公路間的三角形草坪上修一條小路，想一想有幾種不同的修法，最短的是哪一條？指一指。為什么這條是最短的？

師：同學(xué)們，像這樣，從三角形的一個頂點到它的對邊所作的垂直線段就是三角形的一條高，這條對邊就是這條高所對應(yīng)的底。

師：你覺得在這句話中哪些詞比較重要？

師：你能在三角形內(nèi)畫高么？請以BC邊為底，試著在你剛畫好的三角形ABC內(nèi)畫一條高，并標出對應(yīng)的底。

（師投影學(xué)生的作品，全班集體交流）

出示作品1：

師：你有什么話想說？

生1：這個高畫錯了，他畫的高沒有跟底互相垂直。

師：你怎么證明他畫的高沒有和底垂直？

生1：用三角板的直角去比一下好了。

（其他學(xué)生也開始迫不及待地用各自的方法驗證。）

出示作品2：

生2：這張圖的高也不對，沒有經(jīng)過A點。

生3：如果是以BC邊為底，它的高一定要經(jīng)過A點。

出示作品3：（教師故意把學(xué)生畫的三角形轉(zhuǎn)了個方向。）

生4：這次畫對了。

師追問：這樣的方向也是高嗎？

生4：對的，因為它和BC垂直了，還是經(jīng)過A點的。

師：同學(xué)們，通過剛才的交流，關(guān)于畫三角形的高，你有什么想說的？

……

本節(jié)課的教學(xué)難點是在三角形內(nèi)畫出一條底邊上的高。在此之前，學(xué)生已經(jīng)有了“過直線外一點畫已知直線的垂線，畫平行四邊形、梯形的高”這些基礎(chǔ)，但是三角形的高跟平行四邊形、梯形中的高又有不一樣的地方，平行四邊形、梯形中同一條底上的高有無數(shù)條，但三角形因為底邊相對的頂點只有一個，只能畫一條，所以畫三角形的高比畫平行四邊形、梯形的高更有難度。在學(xué)生輕易解決了“李爺爺家的問題”后直接出示高的定義，這時候?qū)W生對高的理解其實是一知半解的。接著馬上讓學(xué)生試著在剛畫好的三角形ABC內(nèi)畫出以BC為底的高，大部分學(xué)生還是可以正確畫出來的，但也不排除像作品1和作品2的錯誤畫法，以及只是模仿畫水平底邊上的高。放開讓學(xué)生自己去辨析，在辨析的過程中讓學(xué)生再自主感知三角形的高必須符合兩個要求：既要與底邊互相垂直，又要經(jīng)過相對的頂點。這既是對高的定義的再次理解，同時又提高了定義的可操作性，因為高的定義是從一個頂點到對邊所畫的垂直線段，而在畫高時往往畫已知底邊上的高，也就是從一條底邊到對面頂點的垂直線段，這種微小的方向變化在一定程度上會影響一部分學(xué)生的操作。筆者就利用生生互評這樣的形式，把課堂還給學(xué)生，讓每個學(xué)生在辨析中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而突破教學(xué)的難點。

總之，在數(shù)學(xué)課堂中如何突出重點，突破難點，并沒有不變的模式，但不管怎么變，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是要讓學(xué)生“知之”，更是要讓學(xué)生“思之”，只有緊緊圍繞這一點，精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，就一定能巧妙地突破教學(xué)重點、難點，從而實現(xiàn)教學(xué)效果的最優(yōu)化。

（浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清鎮(zhèn)中心小學(xué) 312000）endprint