在“變教為學(xué)”教學(xué)改革的實踐中，有學(xué)校通過一節(jié)課“前測”和“后測”正確率的對比來檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。如果后測正確率高，認為教學(xué)效果就好，反之則說明教學(xué)效果差。這樣的評價方式是否恰當是值得商榷的，究竟應(yīng)當如何評價一堂課的教學(xué)效果？本期專題希望引發(fā)相關(guān)的討論。

應(yīng)當相信，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個循序漸進、螺旋上升的過程。對知識的理解是過程性的，是逐步深入的。這樣的過程不僅包括對結(jié)論的記憶與應(yīng)用，還應(yīng)當包括對知識發(fā)生與發(fā)展過程的經(jīng)歷、體驗和感悟。因此，任何知識的學(xué)習(xí)不可能是短時間可以完成的。在一些地區(qū)和學(xué)校采用的通過一節(jié)課“前測”和“后測”正確率的對比，評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果以及教師的教學(xué)效果的做法，有急功近利之嫌，是值得商榷的。

“變教為學(xué)”倡導(dǎo)的教學(xué)是過程性的，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在感知、思考和交流的活動中逐漸感悟的過程。這樣的過程所需要的時間可能是相當漫長的，是不能用一時一事的“對與錯”或者“好與壞”進行評價的。對知識背后所蘊含的思想性以及方法性內(nèi)容的理解水平，也不是通過結(jié)果的正確與錯誤能夠看出來的。

以“十進制”為例，有一種說法認為數(shù)學(xué)中的十進制的本質(zhì)就是“位值（Place Value）”，學(xué)會了這個內(nèi)容，就掌握了十進制。因此認為小學(xué)一年級“11～20各數(shù)的認識”這一課就是學(xué)習(xí)十進制，這個內(nèi)容學(xué)好了就意味著掌握了十進制。這種認識實際上是誤解了十進制的本質(zhì)及其所包含的內(nèi)容。

十進制的本質(zhì)屬性是一種“人造（Artificial）”的語言，用以記錄和表達數(shù)及其運算，因此屬于發(fā)明（Invention）的知識。論及發(fā)明知識的本質(zhì)，首先應(yīng)當揭示出發(fā)明的原因，也就是要回答人“為什么發(fā)明”這樣的問題，發(fā)明的原因主要應(yīng)當包括兩個方面，第一是“客觀基礎(chǔ)”，第二是“主觀意愿”或者“主觀需求”。十進制可以說是起源于人類活動中的“數(shù)數(shù)（音： shǔ shù）”和“測量”，也就是對量及其關(guān)系的記錄和表達。這些活動的客觀基礎(chǔ)應(yīng)當是客觀存在的量的“多與少”以及“大與小”等，人類的活動中對于客觀存在的量就有記錄和表達的主觀需求。比如，以物易物的交易活動中需要記錄多與少，出行時需要記錄距離的近與遠，做工時需要記錄時間的長與短，等等。

我國古時出現(xiàn)的“結(jié)繩”和“刻痕”，實際上就是記錄和表達這樣過程的方法。正如《易經(jīng)》中所說，“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”，其中的“書契”就是在物體上刻痕。[1]隨著人類文字語言的出現(xiàn)與發(fā)展，人們開始用符號記錄并表達數(shù)數(shù)與測量的過程和結(jié)果。不同地域、不同文化在歷史上出現(xiàn)過許多不同類型的數(shù)字符號。比如，古希臘用27個希臘字母表示數(shù)，古羅馬采用的羅馬數(shù)字，等等。現(xiàn)在普遍使用的十進制數(shù)字符號是古代印度發(fā)明的，后來經(jīng)阿拉伯傳到歐洲，因此叫作“印度—阿拉伯記數(shù)法”，所使用的數(shù)字符號叫作“印度—阿拉伯數(shù)字”，有時也簡稱為“阿拉伯數(shù)字”。

從字形上看，印度—阿拉伯數(shù)字與漢語中的數(shù)字應(yīng)當是同源的。比如，漢字中的“二”是由兩條橫線構(gòu)成的，如果快速書寫就會出現(xiàn)連筆，連筆書寫的“二”就會成為“”的形狀，與數(shù)字“2”的形狀基本相同。同樣快速連筆書寫“三”，就會出現(xiàn)“”的形狀，與數(shù)字“3”形狀相同。因此有理由相信，印度—阿拉伯數(shù)字符號與漢字的數(shù)字符號具有同樣的淵源。

有了記錄數(shù)的符號，接下來出現(xiàn)的問題是“數(shù)”有無限多，人們不可能發(fā)明無限多個符號去表示無限多的數(shù)。因此就有了“化無限為有限”的主觀需求，用有限多的符號能夠記錄、表達無限多的數(shù)。為此，首先想到的應(yīng)當是“以一代多”。所謂“以一代多”就是將“多個”看作“一個”，我國歷史上流傳至今的“畫正字”的數(shù)數(shù)方法，就是每增加1就寫一筆，寫出一個完整的“正”字，就記錄了一個五。因此一個“正”就表示五個1，體現(xiàn)了以一代多的想法。在英語中的一些詞匯也反映出歷史上人們使用過的方法，比如“Quinary”是把5個看作一個的意思；“Duodecimal”是把12個看作一個的意思；“Vigesimal”是把20個看作一個的意思；“Sexagesimal”是把60個看作一個的意思。

實現(xiàn)用有限個符號記錄、表達無限個數(shù)的，除了目前熟悉的印度—阿拉伯記數(shù)法之外，在古代歐洲應(yīng)用最為廣泛的當數(shù)“羅馬記數(shù)法”。這種方法是用有限的7個符號以及相關(guān)的規(guī)則，能夠表達出所有的數(shù)。從1到10的羅馬數(shù)字分別為：

Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ ，Ⅷ，Ⅸ，Ⅹ

其中僅僅用到了三個基本符號，“Ⅰ”代表“1”；“Ⅴ”代表“5”；“Ⅹ”代表“10”。用三個符號能夠表達十個數(shù)，依賴的是人為規(guī)定并且約定俗成的組合規(guī)則，相當于語言中的語法。表達“2”和“3”運用了對“Ⅰ”的重復(fù)加倍。表達“4”和“9”運用的是“右減左”的規(guī)則，比如，“ Ⅳ ”就是“5-1=4”，“ Ⅸ”就是“10-1=9”。類似地，表達“6”“7”和“8”的規(guī)則是“左加右”，比如，“Ⅵ”就是“5+1=6”，“Ⅶ”是“5+2=7”，“Ⅷ”是“5+3=8”。全部羅馬數(shù)字符號一共只有7個，除了從1～10中的三個符號之外，還有“L”代表“50”，“C”代表“100”，“D”代表“500”，“M”代表“1000”。這些符號組合起來表達數(shù)的規(guī)則主要有四條，前三條分別是前面提及的“重復(fù)加倍”“右減左”和“左加右”。比如，16世紀歐洲出版的一本記載希臘數(shù)學(xué)的書，封面顯示該書的出版年代就是用羅馬數(shù)字書寫的。（見圖1）

圖1 羅馬數(shù)字表達年代示意圖

這個年代用前面介紹的符號和相應(yīng)的規(guī)則可以通過下面的算式計算出來：

1000+500+50+10+10+10+5+1+1+1=1588

因此可以斷定這本書的出版年代是公元1588年。

羅馬數(shù)字表達數(shù)的第四個規(guī)則是針對大數(shù)的，可以叫作“加線乘千”，也就是在某符號上面畫出橫線，就表示將這個符號表示的數(shù)擴大1000倍。比如“”就代表“1000×50=50000”。endprint

綜上可以看出，羅馬記數(shù)法包含兩個要素，第一是七個數(shù)字符號，第二是將數(shù)字符號組合并關(guān)聯(lián)的規(guī)則。由此就實現(xiàn)了對無限多數(shù)的記錄和表達。人們經(jīng)過對諸如此類記錄方法長時間的使用和比較，逐步感受到印度人發(fā)明的十進制記數(shù)法更加便于掌握和計算，而且與人的10根手指相一致。

與羅馬記數(shù)法類似，印度—阿拉伯十進制記數(shù)法同樣也有兩個類似的要素，第一是0～9的十個數(shù)字符號，第二是“滿十變一”的規(guī)則，這一規(guī)則在寫法上體現(xiàn)為“左移乘十”。比如“22”，右邊的“2”代表2個1，左邊的“2”就代表“2×10=20”?！?2”的寫法可以看作是“2×10+2”的縮寫。同樣的數(shù)字符號放在不同的位置上，就表示不同的值，因此稱之為“位值”。與羅馬記數(shù)法相比，印度—阿拉伯十進制記數(shù)法的規(guī)則相對簡單，便于學(xué)習(xí)和使用。除此之外，這種記數(shù)法還有許多方面的優(yōu)勢。

數(shù)作為描述量及其關(guān)系的語言，一個重要內(nèi)容就是比較大小。在整數(shù)范圍內(nèi)，印度—阿拉伯記數(shù)法比較兩個數(shù)的大小的方法可以概括為：“位數(shù)相同看高位，位數(shù)不同長者大”，這樣的方法簡便易行，而且非常直觀。相比之下，羅馬記數(shù)法的大小比較就相對復(fù)雜。

十進制記數(shù)法的第二個優(yōu)勢是很容易推廣到小數(shù)。前面所說的“左移乘十”反過來就是“右移縮十”，也就是右側(cè)數(shù)字的位值是左側(cè)數(shù)字位值的十分之一。這樣小數(shù)與整數(shù)的記錄方法就統(tǒng)一了。比如，整數(shù)22和小數(shù)2.2都符合“左移乘十”和“右移縮十”的規(guī)則。這就使得數(shù)學(xué)中“數(shù)系”的建立成為可能。

十進制記數(shù)法的另一個優(yōu)勢是便于運算。歷史上對于數(shù)的運算是一個難題。特別是對于較大數(shù)的運算，人們一直追尋能夠程序化的操作方法?，F(xiàn)如今數(shù)學(xué)課程中的“豎式”就是這種程序化的操作方法，對于建立在數(shù)字符號和位值基礎(chǔ)上的記數(shù)法，只需要做到“數(shù)位對齊”就可以進行程序化的運算了。[2]

綜上可以看出，諸如0～9十個數(shù)字符號、位值、比較整數(shù)大小、數(shù)與數(shù)之間的運算、認識小數(shù)、小數(shù)比較大小、小數(shù)運算等內(nèi)容都是以十進制記數(shù)法為基礎(chǔ)的。不僅如此，其中蘊含著的對“有限與無限的關(guān)系”的感悟，對“以一代多”的方法的理解，都需要長期的過程，絕不是一節(jié)課能夠?qū)崿F(xiàn)的。因此在“變教為學(xué)”的實踐中，需要耐心地等待，不能期望“澆水后立刻開花”。

參考文獻：

[1]郜舒竹. 問題解決與數(shù)學(xué)實踐[M]. 北京：高等教育出版社， 2012. P89.

[2]郜舒竹.回眸歷史看豎式[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（6）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint