☉江蘇省海安縣曲塘中學 倪銅

激活學生思維提高課堂效率
——導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性教學中的“問題導引”

☉江蘇省海安縣曲塘中學 倪銅

隨著新課程理念的貫徹落實，高中數(shù)學課堂逐漸由以教師為主的“傳授式”教學向以學生為主的“探究式”課堂過渡，因此，如何“有效激活學生思維、打造高效教學課堂”成為廣大教育工作者追求的目標.筆者用“問題導學”的模式導引課堂教學，收到了良好的效果，下面以導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的教學為例就“問題導學”法的應用進行探究，與讀者分享.

一、問題的導出

問題1：畫出函數(shù)f（x）=2x的圖像，在f（x）的圖像上任取點A，B，C，…，分別過點A，B，C，…作曲線的切線.

生1：如圖1所示.

生2：如圖2所示.

師：同學們仔細觀察這兩個圖像，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生3：函數(shù)f（x）=2x在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，在f（x）上任取一點作切線，切線的斜率均為正值；函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，在（fx）上任取一點作切線，切線的斜率均為負值.

師：上節(jié)課中，我們學習了導數(shù)的幾何意義，一起來回顧一下.

生眾：函數(shù)f（x）在某點x=x0處的導數(shù)值為函數(shù)在該點的切線的斜率，即k=f′（x0）.

師：由圖1和圖2我們能得出什么結(jié)論？

生4：當函數(shù)f（x）單調(diào)遞增且f（x）在其定義域內(nèi)可導時，有f′（x）>0；當函數(shù)f（x）單調(diào)遞減且f（x）在其定義域內(nèi)可導時，有f′（x）<0.

師：據(jù)此我們可得出函數(shù)單調(diào)性的判定法則是？

生5：（1）如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)，f′（x）>0，則f（x）在此區(qū)間是增函數(shù)，（a，b）為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)，f′（x）<0，則f（x）在此區(qū)間是減函數(shù)，（a，b）為f（x）的單調(diào)減區(qū)間.

評注：部分教師在講解此部分知識時，讓學生記憶利用導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性法則，被動地接受，結(jié)果是學生不清楚問題的來龍去脈，只知其然不知所以然.本文中在此知識點的教學中，筆者只充當了課堂的引導者，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)及結(jié)論的得出都是通過學生的觀察、分析得出的，整個教學過程中學生積極參與其中，由被動接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃犹骄空?，落實了新課改的理念.

二、問題的拓展

師：同學們是否認同生6的解法？

生眾：認同.

問題4：判斷函數(shù)f（x）=x3在R內(nèi)的單調(diào)性.

生7：函數(shù)f（x）=x3是我們熟悉的冪函數(shù)，f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增.

師：能否利用導數(shù)來判斷此函數(shù)的單調(diào)性？

生8：求導得f′（x）=3x2，在區(qū)間R內(nèi)，3x2≥0，所以f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增.

師：請同學們比較一下問題3與問題4的解答，有何異同？

生9：當函數(shù)f（x）在某區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)時，可能包括導數(shù)為零的點，故若函數(shù)f（x）在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則應有f′（x）≥0；若函數(shù)f（x）在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則應有f′（x）≤0.

師：那么我們能得出什么結(jié)論？

生10：函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)可導，則“f′（x）>0”是“f（x）為增函數(shù)”的充分不必要條件.原因是當f（x）為增函數(shù)，f′（x）可能含有有限個點的導數(shù)值為零.即函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)可導，則“f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)單調(diào)遞增（遞減）”是“對任意的x∈［a，b］都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）”的充分條件.

師：請生6更正一下問題3的解答.

評注：對于問題3的解答所存在的錯誤，教師并沒有直接指出，而是通過一個引例問題，使學生自己認識到了錯誤所在，親身感受到了錯誤的發(fā)生、發(fā)展及糾錯的過程，在頭腦中形成了深刻的印象，從而有效地避免了同類錯誤的再次發(fā)生.

三、問題的引申

問題5：畫出函數(shù)g（x）=lnx的圖像，在g（x）的圖像上任取點A，B，C，…，分別過點A，B，C，…作曲線的切線.

生11：如圖3所示.

師：請觀察圖3與圖1，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生12：函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)g（x）=lnx在其定義域內(nèi)均為增函數(shù)，但函數(shù)f（x）遞增的頻率較快，g（x）遞增的頻率較慢.函數(shù)f（x）切線的斜率逐漸增大，函數(shù)g（x）切線的斜率逐漸減小.

師：據(jù)此可得出什么結(jié)論？

生13：函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為可導函數(shù)，若其導函數(shù)f′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則f（x）為上凹函數(shù)；若f′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則f（x）為下凸函數(shù).

問題6：如圖4，半徑為2的⊙O與直線MN相切于點P，射線PK從PN出發(fā)繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)到PM，旋轉(zhuǎn)過程中，PK交⊙O于點Q，設∠POQ為x，弓形PmQ的面積為S= f（x），那么f（x）的圖像大致是圖5中的（）.

生14：可先考慮特征情況：當x=0時，S=0；當x=π時，S=2π；當x=2π時，S=4π.

再考慮一般情況：當x∈（0，π）時，S=S扇形OPQ-S△OPQ=×2×2sinx=2x-2sinx，S′=2-2cosx>0，所以S= f（x）在x∈（0，π）時單調(diào)遞增.又因為S″=2sinx>0在x∈（0，π）恒成立，所以S=f（x）在x∈（0，π）時為下凸函數(shù).

同理當x∈（π，2π）時，S=f（x）為上凸函數(shù).

因此選項為D.

評注：導數(shù)作為一種重要的解決函數(shù)問題的工具，在處理函數(shù)問題中有著廣泛的應用，最重要的應用之一——利用導數(shù)符號來判斷函數(shù)的增減，而對于某些問題我們不僅要知道函數(shù)的增減，而是要知道其增減的快慢.本題探究解法利用導函數(shù)的增減性嚴格地得出了函數(shù)遞增速度的快慢，較教材解答更體現(xiàn)出數(shù)學問題解答的嚴謹性.

綜上，數(shù)學課堂中的問題多姿多彩，數(shù)學因為問題的存在而具有重大的價值和意義.在高中數(shù)學的教學中，通過問題導引，將知識以問題的形式呈獻給學生，從而引導學生對問題進行探究得出一般結(jié)論，既鞏固了知識，又鍛煉了能力，而且增強了學生和教師之間的“互動”，提高了課堂效率.在高中數(shù)學的教學過程當中，將“問題”設成課堂的核心，把“探究”當成達成教學目的的手段，這樣的課堂教學將教師的教和學生的學統(tǒng)一成整體，在教師的引導下，使學生全身心地投入到課堂教學中來，既提高了課學效率，又落實了新課程理念.因此問題導引的教學模式值得廣大教育愛好者深入探究.F