☉江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué)潘蘇琴

以根為本開(kāi)枝散葉
——淺談復(fù)習(xí)教學(xué)中的試題研究

☉江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué)潘蘇琴

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的核心是指導(dǎo)學(xué)生如何解題．從每年高考試卷來(lái)看，要解決的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題基本沒(méi)有變化，因此需要高三復(fù)習(xí)教學(xué)做得更有針對(duì)性．如何體現(xiàn)這一針對(duì)性？筆者以為，復(fù)習(xí)教學(xué)需要完成三方面的教學(xué)設(shè)計(jì)：其一是基本知識(shí)和基本技能的儲(chǔ)備：沒(méi)有扎實(shí)的基礎(chǔ)如何解決高難度的問(wèn)題？有些教師常常讓學(xué)生訓(xùn)練難題、怪題，卻從不對(duì)基礎(chǔ)的知識(shí)進(jìn)行講解、分析和鞏固，這種教學(xué)方式是在“沙灘上建高樓（張奠宙語(yǔ)）”，非常危險(xiǎn)；其二是注重知識(shí)之間的整合運(yùn)用，有了單一知識(shí)點(diǎn)的熟練，可以加強(qiáng)知識(shí)綜合使用的能力；其三是思想方法在解題中的運(yùn)用，可以這么說(shuō)，沒(méi)有思想方法的引領(lǐng)有些問(wèn)題解決起來(lái)非常困難，當(dāng)你將知識(shí)和思想高度結(jié)合在一起時(shí)，對(duì)于知識(shí)的使用更具備了一定的方向性和導(dǎo)向性，問(wèn)題的解決也來(lái)得更為便捷一些．

一、以根為本

數(shù)學(xué)知識(shí)的根在于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，根植于基礎(chǔ)之上的解題是有發(fā)展的、能發(fā)展的，高三復(fù)習(xí)教學(xué)注重對(duì)核心知識(shí)進(jìn)行以根為本的發(fā)散是有必要的．

（2）設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；

（3）設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．

（2）z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，，所以2≤z≤29．

（3）z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)（－3，2）的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到（－3，2）的距離中，dmin＝1－（－3）＝4，dmax＝8，所以16≤z≤64．

說(shuō)明：（1）本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法；（2）解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義；（3）本題錯(cuò)誤率較高．出錯(cuò)原因是，很多學(xué)生無(wú)從入手，缺乏數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí)，不知道從其幾何意義入手解題．以上三種不同的目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題的基本處理，即線性規(guī)劃問(wèn)題的“根”．

變式：（2012年江蘇卷第14題）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是_________．

分析：以題根為本，對(duì)本題進(jìn)行稍加分析即可獲得思路．本題是多元問(wèn)題，其中涉及三個(gè)元a，b，c，最終問(wèn)題只需研究a，b兩元之間的關(guān)系．考慮到需要降元處理，因此本題條件的兩組不等關(guān)系中，兩邊同除以c，即將條件轉(zhuǎn)化為，利用整體換元將代入，則有最后問(wèn)題轉(zhuǎn)換為利用線性規(guī)劃進(jìn)行解決．

說(shuō)明：從江蘇卷考查的線性規(guī)劃來(lái)看，本題屬于稍難題，難在哪里呢？主要是涉及兩個(gè)方面：其一是轉(zhuǎn)化化歸思想的滲透，如何將三元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能進(jìn)一步實(shí)施的二元問(wèn)題，這里轉(zhuǎn)化化歸思想起到了主導(dǎo)作用，在想到了轉(zhuǎn)換的方式之后，問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槔谜w思想換元和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)處理；其二，問(wèn)題的“根”隱藏在例1中的第（1）題中，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為斜率來(lái)處理是基本知識(shí)和基本技能．

二、開(kāi)枝散葉

在掌握基本知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，需要教師將數(shù)學(xué)知識(shí)傳授得更深刻、更廣泛，此時(shí)筆者認(rèn)為需要教師對(duì)“根”進(jìn)行開(kāi)枝散葉．

例2已知a·b=0，向量c滿足（c－a）·（c－b）=0，|a－b|= 5，|a－c|=3，則a·c的最大值為_(kāi)________．

分析：向量問(wèn)題往往是學(xué)生比較懼怕的，筆者以為向量小題多是以“小、巧、靈”著稱，其主要考查的是平面向量基本定理、向量數(shù)量積等．這幾年的向量問(wèn)題并沒(méi)有過(guò)于復(fù)雜的運(yùn)算，因此思維的考查和培養(yǎng)成為解決向量問(wèn)題的關(guān)鍵，而且教學(xué)中要開(kāi)枝散葉——多解嘗試，給予學(xué)生更多的解決思路．

讀題：根據(jù)題中條件，筆者給學(xué)生思考本題，學(xué)生中比較多的想法是將問(wèn)題代數(shù)化，即：

嘗試：這種想法是很自然也是很必要的一種嘗試，在一般情況下也是很湊效的，但作為稍難的客觀題而言，上述的代數(shù)化處理還未能找到最妙的突破口，我們仔細(xì)分析一下我們的解題，在此結(jié)論中，雖然出現(xiàn)了我們所要求的a·c，但由于同時(shí)還涉及|a|，|b|，|c|，b與c的夾角這些未知數(shù)，因此無(wú)法求得a·c，而且代數(shù)化明顯計(jì)算量較大，因此選擇從向量的“根”出發(fā)，即圖形化和思維角度入手．

精讀：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于本題進(jìn)行再思考、再精讀，“a·b=0”、“（c－a）·（c－b）=0”向我們提供了一個(gè)重要的信息：垂直，利用這種垂直關(guān)系可以找到本題的圖形特征——圓，因此根據(jù)題意構(gòu)造圖3．

尋根：我們?cè)俳Y(jié)合問(wèn)題進(jìn)行尋根——問(wèn)題之根：a· c=|a|·|c|cosθ=（x1，y1）（x2，y2）.

定法：根據(jù)求向量數(shù)量積的兩種不同形式，自然能想到求解此題的兩種方法：幾何法、解析法（方法之根）；只要我們準(zhǔn)確找到了題根，破題在即，躍然紙上，利用多解性的方式將問(wèn)題給予呈現(xiàn)也成為了開(kāi)枝散葉、提高思路的一種方式．

開(kāi)枝1：關(guān)注到有條件a·b=0和（ca）·（c－b）=0，也就是存在兩個(gè)垂直關(guān)系，因此引導(dǎo)學(xué)生想到此題中應(yīng)該蘊(yùn)含著典型的幾何圖形，由此可借助于這兩個(gè)垂直關(guān)系去構(gòu)造圖形．如圖4，令向量，則由a·b=0和（c－a）·（c－b）=0，可得∠AOB=∠ACB=90°，因此可得四邊形OACB為圓的內(nèi)接四邊形，AB=|a－b|=5為圓的直徑，CA=|a－c|=3，BC= |b－c|=4．記a與c的夾角為θ，在圓中，由θ=∠AOC=∠ABC，可知cosθ=cos由條件|a－c|=3平方可得a2+c2－ 2a·c=9．則|a·|c||≥2|a|·|c|，可得．所以a·c=|a|·|c|cos

開(kāi)枝2：又注意到題中出現(xiàn)了a－c及a·c，因此結(jié)合a+c便可得到此三者之間的一恒等關(guān)系：［（a+c）2－（a－c）2］［（a+c）2－9］．對(duì)于a+c，可在△OAC中，取AC的中點(diǎn)為M（如圖5），則a+c=因此，要求a·c的最大值，只需求的最大值即可．在圓中，由于AC=3，所以當(dāng)OM經(jīng)過(guò)圓心時(shí)取得最大值．可得，|（a+c）|=9．所max以，代入可得a·c的最大值為

開(kāi)枝3：由于向量具有坐標(biāo)表示及運(yùn)算，根據(jù)題干條件有兩個(gè)垂直關(guān)系，因此，可自然想到通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解．對(duì)于題中所給出的兩組垂直，由于OA、OB的長(zhǎng)度未知，而CB=4，CA=3，因此可以選擇以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CA為x軸和y軸，建立直角坐標(biāo)系更為合理，如圖6．因?yàn)?，這樣更容易得到A，B點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)長(zhǎng)度可得C（0，0），B（4，0），A（0，3），由于AB為圓的直徑，所以可知圓心坐標(biāo)為），則通過(guò)三角代換可設(shè)點(diǎn)O）．因此，得），所以10cosα，因此，可得a·c∈［－2，18］．

總之，復(fù)習(xí)教學(xué)中的試題如何研究是高三復(fù)習(xí)教學(xué)的關(guān)鍵．就上述問(wèn)題而言，筆者認(rèn)為問(wèn)題不在于多而在于精，高考題恰是基本知識(shí)之上的一種能力體現(xiàn)，其中有扎實(shí)的基本功和數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)將大大提高問(wèn)題解決的可能性，如例1；對(duì)于問(wèn)題進(jìn)行多角度開(kāi)枝散葉式的思考，有助于思維的全面性，如例2．因此，教學(xué)中加強(qiáng)試題教學(xué)的研究是高三復(fù)習(xí)教學(xué)的關(guān)鍵．F