☉江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 葉琳

問題引領(lǐng)讓概念生成更靈動(dòng)
——“用二分法求方程的近似解”課堂實(shí)錄及反思

☉江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 葉琳

概念是對(duì)事物的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是邏輯思維最基本的形式.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，學(xué)生對(duì)概念的理解水平關(guān)乎著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解，很多學(xué)生畏懼?jǐn)?shù)學(xué)緣于對(duì)數(shù)學(xué)概念的不理解.實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師往往側(cè)重于概念的應(yīng)用性，而忽視概念的整體性和本質(zhì)教學(xué).建構(gòu)主義認(rèn)為，概念教學(xué)不在于概念的本身，而是在于概念的建構(gòu)過(guò)程和學(xué)生的思維創(chuàng)造.本文以“用二分法求方程的近似解”一節(jié)課對(duì)概念的生成教學(xué)談?wù)勛约耗w淺的認(rèn)識(shí)，以求教于同行.

一、游戲?qū)?，?chuàng)境激趣

師：大家都看過(guò)《幸運(yùn)52》中猜商品價(jià)格的游戲，下面我們一起來(lái)玩玩猜數(shù)字這個(gè)游戲，如果讓你來(lái)猜這個(gè)兩位數(shù)，你如何猜？

生1：先隨便填入一個(gè)兩位數(shù)，如果大了再每次減少10.

生2：這樣太慢了，隨便填入一個(gè)兩位數(shù)，如果大了，再報(bào)一個(gè)數(shù)；如果低了，就報(bào)兩個(gè)數(shù)的和的一半；每次猜的數(shù)字應(yīng)該是前面最近的大的數(shù)字和小的數(shù)字的和的一半.

師：兩個(gè)同學(xué)的方法哪個(gè)更好？

生眾：生2的好.

師：對(duì)！這個(gè)方法在我們數(shù)學(xué)上有沒有理論依據(jù)？我們有沒有學(xué)過(guò)和這個(gè)方法類似的知識(shí)？

生3：好像和我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理有點(diǎn)兒聯(lián)系，但是不確定.

師：我們知道，游戲中的正確數(shù)字就在一次“大了”和一次“小了”的數(shù)字之間，就像我們剛剛學(xué)過(guò)的函數(shù)和方程的內(nèi)容：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f（a）f（b）<0，那么一定存在c∈（a，b），使得f（c）=0，也就是說(shuō)方程f（x）=0的根一定在區(qū)間［a，b］上.這個(gè)猜數(shù)字的思想就是二分法的思想，這個(gè)方法可以給我們提供一個(gè)解方程的思路：每次把方程的根（游戲中的正確數(shù)字）所在的區(qū)間縮小一半，最后確定方程的近似解.

今天我們就用這種方法來(lái)求方程的近似解.

二、合作學(xué)習(xí)，探索新知

師：請(qǐng)同學(xué)們思考一下你會(huì)求哪些類型的方程的解.生（齊聲）：一次方程、二次方程.

生4：隨便舉個(gè)方程x2+3x-1=0，它的根是

師：結(jié)合前面學(xué)習(xí)的知識(shí)，一元二次方程的根可以和一元二次函數(shù)的圖像結(jié)合在一起，方程的根就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn).（用幾何畫板作出y=x2+3x-1的圖像，標(biāo)注交點(diǎn)，用幾何圖形的形象、直觀加深學(xué)生的印象）

師：對(duì)于三次方程，我們會(huì)求它的根嗎？把剛才的方程改改，解方程x3+3x-1=0.請(qǐng)同學(xué)們思考能不能求出其精確值，可以同桌討論.

（學(xué)生活動(dòng)幾分鐘后，表示不能解決問題）

師：我們的前輩們?cè)谇蠼夥匠痰慕獾膯栴}上，很早就進(jìn)行了研究和探索，一元二次方程的根是由方程系數(shù)直接把根表示出來(lái)，這個(gè)公式早在公元9世紀(jì)由中亞細(xì)亞的阿爾·花拉子模給出，一元三次方程的求根公式是1545年由意大利的卡當(dāng)發(fā)表在《關(guān)于代數(shù)的大法》一書中，人們就把它叫做“卡當(dāng)公式”，但是公式很復(fù)雜，老師也記不住，不是我們常用的公式.要求三次方程的解是比較困難的，那么我們能否求出它的近似解呢？請(qǐng)同學(xué)們利用計(jì)算器來(lái)求方程x3+3x-1的一個(gè)近似解（精確到0.1），同桌之間可以兩人一組，討論研究.

（學(xué)生活動(dòng)5分鐘，老師巡視）

師：請(qǐng)一個(gè)學(xué)生說(shuō)說(shuō)思路.

生5：我的想法是令f（x）=x3+3x-1，算出f（1）=3，說(shuō)明方程的根比1小，再算f（0.9）=2.429，說(shuō)明根比0.9小，再算f（0.8）=1.912，說(shuō)明根比0.8還小，繼續(xù)做下去，我還沒有算出來(lái).

師：大家覺得她的方法可行嗎？

（學(xué)生思考了片刻，有的回答可以，就是過(guò)程繁了點(diǎn)兒）

師：該同學(xué)的想法很好，一直做下去一定能解出正確答案，這個(gè)思想就是我們數(shù)學(xué)中的逐步逼近的思想，同學(xué)們?cè)谒伎紗栴}的過(guò)程中要大膽創(chuàng)新，勇于發(fā)表自己的看法，我們?yōu)樵撏瑢W(xué)的解法鼓掌.

（學(xué)生鼓掌）

師：下面給大家一點(diǎn)兒時(shí)間，我們按照這個(gè)思路來(lái)解出答案，請(qǐng)同桌之間合作，一個(gè)負(fù)責(zé)記錄，另一個(gè)用計(jì)算器計(jì)算.

（5分鐘后）

師：同學(xué)們有答案了嗎？

生眾：0.3.

師：很好！！同學(xué)們真厲害，自己也能解出三次方程的根了，下面我們就來(lái)小結(jié)一下，剛才這位同學(xué)這種解法的原理是什么？思想方法是什么？我們還請(qǐng)她起來(lái)說(shuō)好嗎？

生5：我是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，想把方程的根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，通過(guò)計(jì)算器逐步縮小根，再利用零點(diǎn)存在性定理確定根.

師：回答的很好，思維很縝密，以后好好努力，肯定能有大的收獲！下面我們一起來(lái)小結(jié)這種方法的原理和知識(shí)點(diǎn).

師：如何求方程的近似解？

①方程f（x）=0有實(shí)根?函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn).

②零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）＝0的根.

師：同學(xué)們?cè)趧偛盘幚磉@個(gè)問題的過(guò)程中，有沒有發(fā)現(xiàn)什么問題？或者說(shuō)有沒有什么疑惑？

（學(xué)生沉默片刻）

師：剛才她為什么要先算f（1）？為什么開始不是取f（2）或者f（3）？

生6：開始時(shí)取f（2）、f（3）或者隨便取哪一個(gè)值都是一樣的，在后面的計(jì)算過(guò)程中還是要縮小范圍的.

師：對(duì)！以后我們碰到類似的問題時(shí)，初始值怎么取呢？有一般的方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們思考：零點(diǎn)的初始區(qū)間如何確定？

生5：畫出函數(shù)的圖像來(lái)確定.（該學(xué)生在受到師生的表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)后，思維很活躍）

師：很好，真的太棒了.老師用幾何畫板畫出圖像，大家一起看一下.（幾何畫板演示函數(shù)的圖像）從圖像上看一目了然，函數(shù)的零點(diǎn)在哪個(gè)區(qū)間？

學(xué)生異口同聲：在（0，1）內(nèi).

師：老師打個(gè)很形象的比喻，這個(gè)初始區(qū)間就像是公安人員破案時(shí)要先確定嫌疑人范圍，不能漫無(wú)目的地去找，圖像就能幫助我們很直觀地解決問題，但是圖像不是萬(wàn)能的，不是所有的函數(shù)都能畫出圖像的，我們能否不畫圖確定根所在的區(qū)間呢？

生5：像我剛才那樣去取值代入，用零點(diǎn)存在性定理確定區(qū)間.

師：很好，零點(diǎn)存在性定理能夠很好地幫我們確定初始區(qū)間，這樣我們可以通過(guò)圖像或者試值來(lái)確定初始區(qū)間.

師：同學(xué)們都能積極地思考，下面我們來(lái)討論剛才的方程x3+3x-1=0的近似解的問題，題目要求精確到0.1，生5是從1開始試值再每次減少0.1，可以通過(guò)數(shù)次運(yùn)算得到答案，這很好，但是如果我把問題變成：精確到0.01呢？同學(xué)們看看剛才生5的逐步減少的方法還能奏效嗎？

生7（苦笑）：可以的，就是太煩了，不知道要減少到什么時(shí)候才是盡頭.

師：我們來(lái)想想辦法，如何進(jìn)一步有效縮小根所在的區(qū)間？

生8：可以的，就像開始猜數(shù)字一樣，用“對(duì)半猜”的思想，每次縮小一半，可以省力.

師（笑）：不是“對(duì)半猜”的思想，是二分法的思想，他說(shuō)的很好，我們可以利用二分法的思想，以及零點(diǎn)存在性定理，每次將區(qū)間縮小一半，這樣過(guò)程就簡(jiǎn)化了，老師來(lái)演示給大家看.（運(yùn)用幾何畫板演示）

第一次，f（0）<0，f（1）>0，f（0.5）>0?x∈（0，0.5）；

第二次，f（0）<0，f（0.5）>0，f（0.25）<0?x∈（0.25，0.5）；

第三次，f（0.5）>0，f（0.25）<0，f（0.375）>0?x∈（0.25，0.375）；

第四次，f（0.25）<0，f（0.375）>0，f（0.3125）<0?x∈（0.3125，0.375）；

第五次，f（0.375）>0，f（0.3125）<0，f（0.34375）>0?x∈（0.3125，0.34375）；

第六次，f（0.3125）<0，f（0.34375）>0，f（0.328125）>0?x∈（0.3125，0.328125）；

第七次，f（0.3125）<0，f（0.328125）>0，f（0.3203125）< 0?x∈（0.3203125，0.328125）；

第八次，f（0.328125）>0，f（0.3203125）<0，f（0.32421875）>0?x∈（0.3203125，0.32421875）.

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以上的數(shù)據(jù)回答，該方程的解精確到0.1，我們只要縮小區(qū)間幾次就能夠達(dá)到？

生9：5次，x∈（0.3125，0.4375），x=0.3.

師：該方程的解精確到0.01，我們只要縮小區(qū)間幾次就能夠達(dá)到？

生10：8次，x∈（0.3203125，0.32421875），x=0.32.

師：很好，那么函數(shù)零點(diǎn)的精確度如何達(dá)到？

生11：方程的解的近似解為兩端點(diǎn)的近似值——即左、右兩端點(diǎn)的近似值相等.

三、歸納小結(jié)，反饋回授

師：下面我們來(lái)小結(jié)，將我們已有的知識(shí)進(jìn)一步科學(xué)化，什么是二分法，如何描述？

對(duì)于在區(qū)間［a，b］上連續(xù)不斷，且f（a）f（b）<0的函數(shù)y=f（x），通過(guò)不斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)（或?qū)?yīng)方程的根）近似解的方法叫做二分法.體現(xiàn)了程序化的思想即算法思想.

師：算法是必修3里的內(nèi)容，像這樣“有步驟、程序化”是算法思想的重要特征，我們會(huì)在后面學(xué)習(xí).

師：用二分法求零點(diǎn)近似值的步驟是什么？

（師生共同小結(jié)）

（1）利用圖像法或試值法，尋找確定近似解所在的區(qū)間.

（3）計(jì)算f（x1）.

①若f（x1）=0，則x0=x1；

②若f（a）f（x1）<0，則令b=x1（此時(shí)x0∈（a，x1）），若f（b）f（x1）<0，則令a=x1（此時(shí)x0∈（x1，b））.

（4）判斷是否達(dá)到給定的精確度，若達(dá)到，則得出近似解；若未達(dá)到，則重復(fù)步驟（2）～（4）.

師：二分法在實(shí)際生活中有著很廣泛的應(yīng)用，你知道嗎？

（聯(lián)系實(shí)際，學(xué)生熱情高漲）

生12：幸運(yùn)52猜商品價(jià)格.

生13：查字典.

師：很好，還有像電路檢測(cè)啊等，希望同學(xué)們能把我們學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中去，為社會(huì)做出自己的貢獻(xiàn).

師：以上是我們本節(jié)課所學(xué)到的新的知識(shí)和方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏偨Y(jié)一下，本節(jié)課還運(yùn)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

師生共同小結(jié)：等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：方程解的問題→函數(shù)的零點(diǎn)問題→逼近問題→縮小區(qū)間問題→二分法.

師：最后用一段話與同學(xué)們共勉：M.克萊因說(shuō)：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作.音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能扣人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上的一切.”這也就是數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力所在.

四、教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求能“根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法”，用二分法求方程的近似解這節(jié)課很好地利用了探究式教學(xué)方式，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，本節(jié)課體現(xiàn)探究的情景性、主動(dòng)性、建構(gòu)性和合作性，本節(jié)課做了積極嘗試，表現(xiàn)出了以下特點(diǎn).

1.以問題驅(qū)動(dòng)為出發(fā)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望

“標(biāo)準(zhǔn)”中強(qiáng)調(diào)：學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，要為其提供豐富多彩的生活背景，讓學(xué)生充分感受，真正體現(xiàn)書本數(shù)學(xué)向生活數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變.概念的生成應(yīng)該基于感性，發(fā)展理性，遵循從具體到抽象的原則.在本節(jié)課中，老師讓學(xué)生玩猜數(shù)字游戲，一下子就把學(xué)生的注意力吸引住了，學(xué)生積極思考并進(jìn)行探究試驗(yàn)分析，只要利用“對(duì)半猜”的思想，每次都將所給的范圍一分為二，逐步逼近真實(shí)數(shù)字，這樣可以很快猜到.學(xué)生在猜的過(guò)程中體會(huì)二分法思想，同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生一起提了二分法在現(xiàn)實(shí)生活中的各種應(yīng)用.通過(guò)這樣來(lái)創(chuàng)設(shè)情境，從學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)典型的具體實(shí)例抽象概括出概念的本質(zhì)屬性.這樣的設(shè)計(jì)打破了傳統(tǒng)課堂沉悶、枯燥的定義，豐富的情境對(duì)學(xué)生產(chǎn)生很強(qiáng)的吸引力，同時(shí)讓學(xué)生在游戲中得到了數(shù)學(xué)思想的啟示，必定能使學(xué)生對(duì)二分法的認(rèn)識(shí)和理解留下深刻印象.

2.以學(xué)生學(xué)習(xí)為立足點(diǎn)，重視概念探究過(guò)程

在本節(jié)課中，在應(yīng)用二分法探求三次方程近似解的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了作圖觀察、范圍估計(jì)、運(yùn)算推斷等活動(dòng).怎樣縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的范圍是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，解決這個(gè)問題需要復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，復(fù)雜的計(jì)算影響了學(xué)生對(duì)這一重點(diǎn)內(nèi)容的理解，教師采用了多媒體展示，在學(xué)生觀察的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考精確度如何達(dá)到，二分法的次數(shù)如何確定，抽象歸納用二分法求方程近似解的一般步驟.經(jīng)過(guò)這個(gè)探究活動(dòng)，就會(huì)讓學(xué)生真正懂得二分法在求方程近似解中的應(yīng)用，不過(guò)，教師在設(shè)計(jì)探究活動(dòng)時(shí)，要注意：活動(dòng)的趣味性；活動(dòng)的難度；活動(dòng)的目的性；活動(dòng)的開放性和時(shí)效性，不能為了活動(dòng)而活動(dòng).

3.以自然生成為生長(zhǎng)點(diǎn)，促進(jìn)概念深層探究

如在本節(jié)課中，老師介紹了方程的發(fā)展史，復(fù)習(xí)給出了一元二次方程的求根公式，展示了一元三次方程的求根公式，非常復(fù)雜，并說(shuō)老師也記不住，讓一個(gè)學(xué)生任意給出一個(gè)一元三次方程加以思考.在讓學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流之后，有位女生的思路是：通過(guò)計(jì)算器計(jì)算出f（1）=3，說(shuō)明方程的根比1小，再算f（0.9）=2.429，說(shuō)明根比0.9小，再算f（0.8）=1.912，說(shuō)明根比0.8還小，繼續(xù)做下去，能夠計(jì)算出近似解，這位學(xué)生一說(shuō)完，筆者就對(duì)她的這種獨(dú)特的算法進(jìn)行了夸獎(jiǎng)，同時(shí)還讓其他學(xué)生為她鼓掌.經(jīng)過(guò)這一評(píng)價(jià)，學(xué)生們的積極性可高了，大多數(shù)學(xué)生都從中受到啟發(fā)，立即動(dòng)手用計(jì)數(shù)器演算起來(lái)，而這位女生在后來(lái)也多次舉手發(fā)表自己的見解，儼然成了本節(jié)課的主角.這樣看來(lái)，只要我們教師在課堂上把握住激勵(lì)性評(píng)價(jià)的時(shí)機(jī)，就會(huì)激起更多學(xué)生的探究欲望，激發(fā)出他們的潛能來(lái).不過(guò)，教師在考慮評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用時(shí)，也要注意“激勵(lì)”要有度，評(píng)價(jià)要有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)有趣、有用和親切的一面，使他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生積極的情感與態(tài)度.

4.以思想方法為落腳點(diǎn)，深入理解概念本質(zhì)

概念的形成是由具體到抽象的過(guò)程，而概念的應(yīng)用是由抽象到具體，也是鞏固概念的有效途徑.學(xué)生利用所學(xué)的概念來(lái)解決實(shí)際問題，可以加深對(duì)概念的掌握.本節(jié)課中探索方程x3+3x-1=0的近似解的問題，筆者利用幾何畫板畫出函數(shù)的圖像，有利于學(xué)生直觀觀察函數(shù)零點(diǎn)的大致范圍，利用計(jì)算器進(jìn)行了7次計(jì)算，逐步縮小實(shí)數(shù)解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然，突破了教學(xué)上的難點(diǎn)，提高了探究活動(dòng)的有效性.借助幾何畫板動(dòng)態(tài)顯示這個(gè)實(shí)數(shù)解的范圍逐步縮小的過(guò)程，非常直觀、逼真.整個(gè)案例都以幾何畫板為課件制作的平臺(tái)，界面活潑，操作簡(jiǎn)單，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有機(jī)整合.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，是一個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問題，才能使學(xué)生的概念學(xué)習(xí)水到渠成.在課堂教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生實(shí)實(shí)在在的探究空間，放手讓學(xué)生去自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，留給學(xué)生呈現(xiàn)自己想法和觀點(diǎn)的機(jī)會(huì)，讓他們擔(dān)當(dāng)課堂的主角，這才是課堂的成功.

1.馮善狀，李偉.關(guān)注一節(jié)課的四個(gè)“度”——以“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（3）.

2.葉文建.對(duì)概念生成教學(xué)的認(rèn)識(shí)——“曲線與方程”教學(xué)引出的思考［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2009（1-2）.

3.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.A