☉福建省福州華僑中學(xué) 李文明

回眸課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題把握備考方向標(biāo)

☉福建省福州華僑中學(xué) 李文明

根據(jù)教育部最近發(fā)布的消息，2016年高考在去年18省份使用全國(guó)卷的基礎(chǔ)上又新增福建、安徽、湖南、廣東、重慶、四川和陜西7省共計(jì)25個(gè)省份使用全國(guó)課標(biāo)卷，盡管有關(guān)的專家、官員承諾命題改革不會(huì)對(duì)考生造成較大影響，《考試大綱》和《考試說(shuō)明》不會(huì)有較大變化，但是由于命題專家對(duì)命題方向、內(nèi)容、要求都會(huì)帶有一定傾向性，與以往分省命題會(huì)有較大差異，必須引起足夠的重視，因此有必要對(duì)近三年課標(biāo)試題進(jìn)行認(rèn)真對(duì)比、觀察、分析、研究，探尋規(guī)律，領(lǐng)悟理念，厘清方向.

一、近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題的再現(xiàn)

2013年新課標(biāo)1文科第20題（滿分12分）：已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值.

2013年新課標(biāo)1理科第21題（滿分12分）：設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2，

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

2013年新課標(biāo)2文科第21題（滿分12分）：已知函數(shù)f（x）=x2e-x.

（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；

（Ⅱ）當(dāng)曲線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l在x軸上的截距的取值范圍.

2013年新課標(biāo)2理科第21題（滿分12分）：已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0.

2014年新課標(biāo)1文科第21題（滿分12分）：設(shè)函數(shù)f（x） =alnx，曲線y=（fx）在點(diǎn)（1，（f1））處的切線的斜率為0.

（Ⅰ）求b；

（Ⅱ）若存在x0≥1，使得，求a的取值范圍.

2014年新課標(biāo)1理科第21題（滿分12分）：設(shè)函數(shù)f（x），曲線y=（fx）在點(diǎn)（1，（f1））處的切線為y= e（x-1）+2.

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）證明f（x）>1.

2014年新課標(biāo)2文科第21題（滿分12分）：已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）證明當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).

2014年新課標(biāo)2理科第21題（滿分12分）：已知函數(shù)f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x），x>0，g（x）>0，求b的取值范圍；

2015年新課標(biāo)1文科第21題（滿分12分）：設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）討論f′（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

2015年新課標(biāo)1理科第21題（滿分12分）：已知函數(shù)（fx）=x3+ax+，g（x）=-lnx.

（Ⅰ）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m、n中的最小值，設(shè)h（x）= min{f（x），g（x）}，討論h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2015年新課標(biāo)2文科第21題（滿分12分）：已知函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x）.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)f（x）有最大值且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.

2015年新課標(biāo)2理科第21題（滿分12分）：設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）證明f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）若對(duì)任意x1、x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

二、近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題的規(guī)律

（1）近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題題序穩(wěn)定，基本都是壓軸題的位置，內(nèi)容都是基本初等函數(shù)——指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)復(fù)合而成（y=ex，y=lnx，y=ax3+bx2+cx+ d），考查的重點(diǎn)知識(shí)主要是函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、切點(diǎn)、切線、極值點(diǎn)、零點(diǎn)，考查的重要數(shù)學(xué)思想和能力主要是函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想以及運(yùn)算求解能力、推理論證能力、分析綜合能力，充分體現(xiàn)了全國(guó)新課標(biāo)卷在把握課程理念方面的引領(lǐng)和示范作用.

（2）近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題基本都是設(shè)置兩問(wèn)，（僅2014年新課標(biāo)2理科是三問(wèn)）其中第一問(wèn)都是以切點(diǎn)、切線、單調(diào)性為主要切入點(diǎn)，形成較為容易的“入口”；難點(diǎn)主要是在第二問(wèn)（或第三問(wèn)），以證明、討論、求解為主，尤其是求參數(shù)的取值范圍題居多.

（3）近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題最為顯著的特點(diǎn)是在“學(xué)生知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)”命制試題，難度控制基本有效，第二問(wèn)雖然難度較大，但是都是學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)最應(yīng)該掌握的基本思想方法，大多數(shù)試題都能夠利用求導(dǎo)數(shù)、求極值、求最值、求零點(diǎn)等基本數(shù)學(xué)方法解決，最為關(guān)鍵的是數(shù)學(xué)思想方法的融會(huì)貫通.

三、近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題的探究

高考命題專家大都是居高臨下，上通《考試大綱》《考試說(shuō)明》《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，下通課堂的大師，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和新課程改革有獨(dú)特理解，僅就這一點(diǎn)可以說(shuō)新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題是現(xiàn)今高考導(dǎo)數(shù)題中與中學(xué)課程改革、中學(xué)課堂教學(xué)最為貼近的試題，我們認(rèn)為好的數(shù)學(xué)高考試題不僅僅是題目本身的命制，尤為重要的是高考試題的答案，因?yàn)橹挥写鸢缸钅荏w現(xiàn)命題專家的命題目的、命題思想，以及對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向.由分省命題向全國(guó)統(tǒng)一命題過(guò)渡的過(guò)程中，專家們做了很多“框架方面”的引領(lǐng)，作為一線教師——中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的執(zhí)行者和實(shí)踐者，我們不要把“高考試題的標(biāo)準(zhǔn)答案”不加思考直接“兜售”給學(xué)生，因?yàn)榇鸢付际恰皩＜摇钡慕?jīng)典之作，它與學(xué)生的距離是不言而喻的！一定要“下水做題”，不能只做“陸地模仿”；一定要親自嘗嘗“梨子的滋味”.只有這樣，在教學(xué)中才能有的放矢，才能科學(xué)有效組織復(fù)習(xí).因篇幅所限，僅就兩題進(jìn)行反思.

（1）（2014年新課標(biāo)1文科第21題（Ⅱ））若存在x0≥1，使得（fx0），求a的取值范圍.

文科高考試題雖然對(duì)分類討論的要求比理科相對(duì)較低，但是文科生比較恐懼的恰恰就是分類討論，所以要根據(jù)題目的特點(diǎn)不失時(shí)機(jī)地具體問(wèn)題具體分析，非分類不能解決的時(shí)候才進(jìn)行分類，而不是學(xué)套路——“有參數(shù)，必分類”，造成不必要的心理障礙和恐慌，我們先看命題組提供的答案.

由題設(shè)知f′（1）=0，解得b=1.

（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.由（Ⅰ）知f（x）=alnx+

所以存在x0≥1，使得的充要條件為

評(píng)析：這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案，主要的數(shù)學(xué)方法是“分類討論”，解題的主要依據(jù)是“存在x0≥1，使得”的“充要條件”是“”，討論的第一、第二步都是這樣做的，但是到討論的第三步，突然改變了解題依據(jù)，直接就“若a>1，則（f1）”，對(duì)于這個(gè)解答，我們的思考主要集中在第三步，此時(shí)-a<0?f′（x）單調(diào)遞減.又因?yàn)閒（′1）=0? f′（x）≤0（x≥1）?f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）max=f（1），f（x）無(wú)最小值.這里需要說(shuō)明的是是“存在x≥1，使得0的“充分不必要條件”，而不是充要條件！所以“答案”所求得的取值范圍“（-）”是“存在x0≥1，使得的“充分條件”！

（2）（2015年新課標(biāo)1理科第21題）（滿分12分）已知函數(shù)

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m、n中的最小值，設(shè)h（x）= min{f（x），g（x）}，討論h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

這道考題是最近三年“分類討論”問(wèn)題中最復(fù)雜的問(wèn)題之一，有“分類套疊”，專家給出的“標(biāo)準(zhǔn)答案”，很多學(xué)生看不懂，甚至我們的老師也有些云里霧里，特別是分類后的“整合”，可能專家覺(jué)得很容易，但是我們覺(jué)得不容易被接受，為了讓我們的學(xué)生能夠更好地領(lǐng)會(huì)命題精神，我們有必要探究新的分類方法，經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考給出更符合中學(xué)教學(xué)實(shí)際的解法：這里的函數(shù)h（x）是典型的“分段取小函數(shù)”；對(duì)于分段函數(shù)，最重要的是確定分段區(qū)間和每一段上的表達(dá)式；這道題的解答確實(shí)是非分類不可，到底如何分類成為解題的關(guān)鍵所在.

解：由于g（x）=-lnx是確定函數(shù)，所以討論就要從函數(shù)f（x）開(kāi)始.

f′（x）=3x2+a.

函數(shù)h（x）的圖像如圖2所示，h（1）=g（1）=0，此時(shí)函數(shù)h（x）只有1個(gè)零點(diǎn).

函數(shù)h（x）的圖像如圖4所示，h（1）=g（1）=0，此時(shí)函數(shù)h（x）只有3個(gè)零點(diǎn).

函數(shù)h（x）的圖像如圖5所示，h（1）=g（1）=0，此時(shí)函數(shù)h（x）只有2個(gè)零點(diǎn).⑥當(dāng)時(shí)，f（x）=

極小值0.

函數(shù)h（x）的圖像如圖6所示，此時(shí)函數(shù)h（x）只有1個(gè)零點(diǎn).

函數(shù)h（x）的圖像如圖7所示，此時(shí)函數(shù)h（x）只有1個(gè)零點(diǎn).

我們覺(jué)得數(shù)形結(jié)合，關(guān)鍵是把握好分類的界定標(biāo)準(zhǔn)，本題抓住三個(gè)關(guān)鍵進(jìn)行分類，使得問(wèn)題的解決清晰簡(jiǎn)明，沒(méi)有“玄妙”只有“通俗”，讓我們的學(xué)生感到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)是“有用武之地”的！因此我們建議專家們?cè)诟呖己瘮?shù)導(dǎo)數(shù)解題過(guò)程中不要搞隱“形”的數(shù)形結(jié)合，因?yàn)殡[形的數(shù)形結(jié)合會(huì)給中學(xué)生造成在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中“折傷翅膀”的傷感！因?yàn)楝F(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)形結(jié)合都是有活靈活現(xiàn)“圖形”存在的，這是完全符合中學(xué)生心理特點(diǎn)的實(shí)際情況的.

四、近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題的啟示

（1）文科數(shù)學(xué)教學(xué)中要適當(dāng)拓寬學(xué)生的知識(shí)面，因?yàn)槲目疲ǜ＝ǎ┙滩闹袥](méi)有學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但是新課標(biāo)卷中已經(jīng)出現(xiàn)，我們也只能面對(duì)，否則學(xué)生連“入題”都困難，會(huì)被無(wú)情地卡在“題門”之外.

（2）導(dǎo)數(shù)教學(xué)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)的概念、基本的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則一定要把握準(zhǔn)確，并能靈活運(yùn)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值、最值、零點(diǎn)、切點(diǎn)、切線仍然是最重要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

（3）在高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)過(guò)程中，重視數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用，數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想是重要的思想方法，不可偏廢，在有機(jī)融合，重視“通性通法”的學(xué)習(xí)的同時(shí)，要學(xué)會(huì)捕捉題設(shè)信息，具體問(wèn)題具體分析，防止思維僵化，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).對(duì)于高考試題的研究，教師一定要做到吃進(jìn)去的是“草”，擠出來(lái)的是“奶”，追求自然，崇尚簡(jiǎn)約，不人云亦云，不亦步亦趨，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，善于開(kāi)拓進(jìn)取.

1.李文明.創(chuàng)新之路在腳下無(wú)限風(fēng)景在眼前——2015年福州市高三畢業(yè)質(zhì)量檢測(cè)壓軸題的詳解與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（6）.

2.李文明.“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”——2014年高考福建卷數(shù)學(xué)壓軸題另解與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.A