☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 楊歆

“鱉臑”，真沒鬧！

☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 楊歆

2015年高考湖北數(shù)學(xué)文、理試卷上出現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中“鱉臑”一詞，考生們從考場下來后紛紛吐槽：“數(shù)學(xué)高考試卷上居然有不認(rèn)識(shí)的生僻字，我也是醉了！出卷老師，您別鬧了！”可我要說，“鱉臑”，真沒鬧！

考生們所指的是文、理試卷上的立體幾何題，題目如下所示.

文科卷第20題：《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

在如圖1所示的陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.

（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑.若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由.

（Ⅱ）記陽馬P-ABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為的值.

理科卷第19題：《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖2，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE、DF、BD、BE.

（Ⅰ）證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑.若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由.

大家可以看出，雖然“陽馬”“鱉臑”兩個(gè)詞語出自于《九章算術(shù)》，但題目中已經(jīng)對(duì)這兩個(gè)詞語的含義進(jìn)行了現(xiàn)代文解釋，從而同學(xué)們對(duì)四棱錐P-ABCD所具備的特點(diǎn)能夠完全了解，并且也能夠知道如何判斷四面體是否是“鱉臑”.也就是說，此題中的生僻字不會(huì)對(duì)考生解題帶來困擾.單純就這道立體幾何題目的難度而言，文科比較容易，理科對(duì)考生思維的要求略高一些.理科第1小題需證明DE⊥平面PBC，則易證PB⊥平面DEF，且依據(jù)以上兩個(gè)線面垂直的關(guān)系就可以判斷四面體DBEF是鱉臑了.第2小題，考生可以先作出平面DEF與平面ABCD的交線，通過證明兩個(gè)平面的交線與平面PBD垂直，從而證明∠FDB就是題中所指大小為的二面角的平面角，然后利用已知求解的值.考生也可以選擇空間向量的方法，通過計(jì)算兩個(gè)平面的法向量來求解這個(gè)問題，思維過程將會(huì)容易一些.

湖北高考數(shù)學(xué)試題選材于古代數(shù)學(xué)問題不是首次，或者說已經(jīng)形成了傳統(tǒng).今年的文科高考數(shù)學(xué)試卷上還有以《數(shù)書九章》為背景的一題.

選擇題的第2題：我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）.

A.134石B.169石C.338石D.1365石

這道題考查了考生的讀題、理解能力以及分層抽樣的實(shí)際應(yīng)用，是一道低難度的題目.求解方法是：1534×≈169（石），選B.

2014年湖北高考數(shù)學(xué)理科試卷上的第8題也是選材于湖北出土數(shù)學(xué)古籍背景的一道題，如下所示.

《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式，它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為（）.

這是一道關(guān)于π的近似計(jì)算問題，考生利用圓錐的體積公式，不難由得出π的近似值為，選B.這也是一道容易的考題.

從上面列舉的高考試題，大家不難看出題目的背景出自于古代數(shù)學(xué)典籍并不意味著題目的難度增大，相反的，出題人一定是從古代數(shù)學(xué)典籍中挑選了我們高中生能夠理解并能夠解決的簡單問題作為考題，因此多數(shù)是利用相關(guān)的基本知識(shí)就可以輕松解決的問題.出題人的用意不是故意賣弄，而是為了體現(xiàn)我國古代數(shù)學(xué)成果的燦爛輝煌，和考查考生們的理解能力和創(chuàng)新能力.

不僅近幾年湖北的高考試題青睞于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題，全國的新課標(biāo)卷也體現(xiàn)出這方面的傾向.

2015年全國新課標(biāo)卷Ⅱ文、理試卷上的第8題如下所示.

圖3所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a、b分別為14、18，則輸出的a=（）.

A.0B.2C.4D.14

本題考查的是循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖.《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，其實(shí)質(zhì)就是“輾轉(zhuǎn)相除法”.此題從a=14，b=18，a

2015年全國新課標(biāo)卷Ⅰ文、理科試卷上的第6題也是選自《九章算術(shù)》，如下所示.

《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖4，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（）.

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

本題主要考查圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式，我們可以設(shè)圓錐底面半徑為r，則米堆底部的弧長為8（尺），求出r.所以米堆的體積為（立方尺），故堆放的米為（斛），故選B.

做錯(cuò)這道題目的考生有一部分是因?yàn)楸晃难缘臄⑹龈沣铝?，沒有準(zhǔn)確理解弧長8尺的含義.其實(shí)，題中的現(xiàn)代文解釋以及圖示是很明確的.求解出米堆的體積之后還要進(jìn)行一次體積單位的換算，明白題意之后解決方法是很清晰的，也不是一道難題.

話說《九章算術(shù)》為什么這么受高考命題專家們的重視和喜愛呢？這必須先從它的歷史地位說起.《九章算術(shù)》是世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的寶貴遺產(chǎn)，是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要里程碑.它對(duì)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展史的影響之大是其他任何數(shù)學(xué)典籍所無法比擬的，它幾乎成了中國古代數(shù)學(xué)的代名詞.中國歷代數(shù)學(xué)家從中汲取著豐富的營養(yǎng)，不斷地將中國數(shù)學(xué)推向前進(jìn).《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，它采用問題集的形式，收錄了246個(gè)與生活、生產(chǎn)實(shí)踐有密切聯(lián)系的應(yīng)用題.每道題由問（題目）、答（答案）和術(shù)（解題的步驟）三部分組成.這些問題按照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股共九章.今年的“鱉臑”問題就選自“商功”.《九章算術(shù)》的問題皆來源于實(shí)際，但又經(jīng)過了一定的改造、整理和虛構(gòu)，從而使其更具有一般性.它以計(jì)算為主，體現(xiàn)了其重實(shí)用的原則，又不乏理論基礎(chǔ).

高考是指導(dǎo)高中生學(xué)習(xí)的風(fēng)向標(biāo)，適當(dāng)選材古代數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)其應(yīng)用于生活實(shí)踐的實(shí)用價(jià)值，能夠考查考生的審題和應(yīng)用能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神，拓寬了大家的知識(shí)面，并宣揚(yáng)了我國古代勞動(dòng)人民的勤勞與智慧、中華民族的無上自豪感.另外，我們也能切身體會(huì)到這些趣味性較強(qiáng)的古代數(shù)學(xué)問題的出現(xiàn)還讓“枯燥”的高考試卷多了幾分生氣和靈性，應(yīng)該說它們的出現(xiàn)體現(xiàn)了出卷老師們的歷史責(zé)任感和創(chuàng)新精神.

“鱉臑”，真沒鬧！A