黃普慶

“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究對象，是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線。數(shù)形結(jié)合既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中合理運用數(shù)形結(jié)合策略，有助于從現(xiàn)實生活和具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，有助于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

一、數(shù)形結(jié)合，能化本于形，有助于建立概念模型

有效建立抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形之間的聯(lián)系，把數(shù)和形結(jié)合起來，并用恰當(dāng)?shù)膱D形把數(shù)學(xué)概念中最本質(zhì)的屬性演示出來，有利于豐富學(xué)生的感性認(rèn)識，幫助他們主動建構(gòu)表象。

如教學(xué)“面積的意義”，先讓學(xué)生看、摸、比身邊的物體的面，初步感知面積的意義，然后課件呈現(xiàn)幾個規(guī)則和不規(guī)則的平面圖形，讓他們把周長描成紅色，把面積涂上綠色，最后通過觀察比較，可以輕松地建構(gòu)面積概念，并很容易抓住“周長是線，面積是面”的本質(zhì)，從而正確區(qū)分面積和周長這兩個容易混淆的概念。再如教學(xué)“體積的意義”，為使學(xué)生理解“物體所占空間的大小”，先給學(xué)生呈現(xiàn)滿滿的一杯沙子，然后將一個正方體木塊放進杯子里，結(jié)果放不進去，如果放進去了，沙子就會溢出來。通過實驗，使學(xué)生明白，這里的沙子和正方體都占有一定的空間，它們所占空間的大小就是它們的體積。這樣本來是學(xué)生很難理解的一個概念，尤其是“什么是空間，它的大小又是怎樣比較的？”這個問題，通過簡單的實物演示，就讓學(xué)生很容易理解了。這樣借助學(xué)生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體，能幫助學(xué)生形成鮮明的表象，再讓他們通過觀察、比較、分析、抽象、概括，從而建構(gòu)概念。

二、數(shù)形結(jié)合，能化難為易，有助于尋求數(shù)量關(guān)系

數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)量關(guān)系的精確性與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，用正確的方式畫圖表達(dá)出題意，可以達(dá)到把題目的抽象敘述變?yōu)橹庇^呈現(xiàn)，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，從而使問題迎刃而解。

如“兩個數(shù)相乘，如果一個因數(shù)增加3，另一個因數(shù)不變，那么積增加18;如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)增加4，那么積就增加200。問原來的積是多少？”這道題很多學(xué)生在讀完題后都束手無策，原因是在兩個因數(shù)都不知道的前提下，學(xué)生不知道怎么求這兩個數(shù)的積是多少。實際上如果引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)積的變化規(guī)律去思考，就有部分學(xué)生能發(fā)現(xiàn)：這一題中積增加18是因為增加了3個第二個因數(shù)，所以第二個因數(shù)就是18÷3=6;而積增加200是因為增加了4個第一個因數(shù)，所以第一個因數(shù)就是200÷4=50;由此得出原來的積是50×6=300。但仍然會有相當(dāng)一部分學(xué)生還是處于半懂半不懂的狀態(tài)，此時可引導(dǎo)學(xué)生換個角度思考，先假設(shè)這兩個數(shù)分別是長方形的長和寬，就可得出它們的乘積就是這個長方形的面積，然后得出：長增加3，寬不變，這個長方形的面積增加18;長不變，寬增加4，面積增加200，得出圖1。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1中兩個增加部分分別是什么形狀？它們的“長”分別是多少？它們的“長”跟原來長方形的長和寬有什么關(guān)系？這樣，學(xué)生就很輕松地得出：要求原來長方形的面積（兩個數(shù)的積），可以先根據(jù)寬不變，長增加3，面積增加18，用18÷3求出寬是6;再根據(jù)長不變，寬增加4，面積增加200，用200÷4求出長是50;最后用50×6=300求出長和寬的積，也就是兩個數(shù)的積。由此可見，數(shù)學(xué)上的“數(shù)”和“形”是密不可分的，只要運用得當(dāng)，有時會收到意想不到的效果。

三、數(shù)形結(jié)合，能化隱于明，有助于發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律

如“找規(guī)律”中的“一一間隔排列”，教材例題只給學(xué)生呈現(xiàn)出“生活中的兩種物體一一間隔排列，且兩端物體相同”的現(xiàn)象，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)了這兩種物體個數(shù)之間的關(guān)系。這是因為他們對生活中的這些現(xiàn)象本身就很熟悉，并已具備一定的認(rèn)知經(jīng)驗。但對于其他的一些變式現(xiàn)象，如：同樣的一一間隔排列，如果兩端的物體不一樣，那這兩種物體的個數(shù)之間的關(guān)系是怎樣的？將這種排列現(xiàn)象化直為曲，圍成封閉的一圈，這兩種物體的個數(shù)之間的關(guān)系又是怎樣的？這些隱含的規(guī)律，學(xué)生就不易掌握。作為教師，可以把握時機，借助圖形，為學(xué)生呈現(xiàn)這兩種排列現(xiàn)象，讓他們觀察、比較、分析、概括，他們不僅能很好地掌握這類排列現(xiàn)象隱含的規(guī)律，而且從中能獲得不一樣的體驗，從而明確，解決生活中的問題一定要立足于生活實際，不能一概而論。

數(shù)形結(jié)合，把要解決的有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律借助圖象表現(xiàn)出來，不僅可以將一些生活現(xiàn)象隱含的規(guī)律置于明處，幫助學(xué)生更好地探究、發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學(xué)規(guī)律，而且通過對圖象的解讀、分析，可以進一步提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，為后面的學(xué)習(xí)積累一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

四、數(shù)形結(jié)合，能化教為學(xué)，有助于培養(yǎng)求異創(chuàng)新

陶行知說：“處處是創(chuàng)造之地，天天是創(chuàng)造之時，人人是創(chuàng)造之人?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)活動中，通過數(shù)與形的結(jié)合，不僅可以將一些難以敘述的語言簡明化、形象化，使人一目了然，而且可以給枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來一些樂趣，喚起學(xué)生探究的熱情，使他們愿意從不同的角度、不同的方向去思考問題，從而養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。

如“三角形面積公式的推導(dǎo)”，在教學(xué)中，教師一般只注重引導(dǎo)學(xué)生將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，然后由平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形的面積公式。而對于其他的方法，教師一般都只字不提，或是因為課堂時間的關(guān)系，或是因為難度較大，難以向?qū)W生講清楚。實際上對于多種三角形的面積計算方法，完全可以在課前布置學(xué)生回家自己去探究。我在上這一節(jié)課時，前一天就給學(xué)生布置一個任務(wù)：回家想想有哪些辦法可以將三角形變成我們可以計算面積的平面圖形，到第二天再在班上說給大家聽。結(jié)果第二天，在組織學(xué)生探究三角形的面積計算方法時，他們給出的答案有些真是出乎我的意料，但當(dāng)我讓他們說說自己具體的做法或依據(jù)時，他們說了半天也說不清楚，于是我就讓他們動手展示自己的做法，借助圖形的演示，他們很輕松就明白了?！笆谌艘贼~，不如授之以漁”，教師教得再好不如學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)好，更不如創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)來得好。endprint

五、數(shù)形結(jié)合，能化繁為簡，有助于優(yōu)化解題思路

“數(shù)形結(jié)合”是重要的解決問題的策略之一。借助圖形，可以化繁為簡，即把繁難的題目轉(zhuǎn)化成簡單的題目，把抽象的題目轉(zhuǎn)化為具體的題目，它對解決問題有迎刃而解的妙處，同時還可以向?qū)W生滲透優(yōu)化的思想。

如教學(xué)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”一課，“試一試”中有這樣一道題目： + + + = 。在不給出圖形的情況下，學(xué)生大多都是選擇先通分再相加的方法進行計算。若繼續(xù)加上 ， ……學(xué)生就會感到計算很麻煩了。這時教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察這幾個分?jǐn)?shù)，找出它們之間的聯(lián)系，并復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，然后引導(dǎo)學(xué)生畫圖（如圖2）：用一個正方形表示“1”，先依次將正方形平均分成二份、四份、八份、十六份，然后在正方形里面標(biāo)出每個分?jǐn)?shù)。最后讓學(xué)生觀察，他們就會發(fā)現(xiàn)這四個分?jǐn)?shù)的和就是圖2中的陰影部分，它和“1”相差了 ，如果換個角度思考，將正方形看做“1”，將正方形中剩余的部分減去就得出它們的和了，即1- = ，由此馬上想到如再加上 （如圖3），它的計算結(jié)果就是1- = 。這樣原本一道很復(fù)雜的計算題，在借助圖形直觀演示后，學(xué)生就找出了非常簡單的解決此類問題的方法。

圖2 圖3

再如“一個圓柱的側(cè)面積是314平方厘米，底面半徑是5厘米，求這個圓柱的體積?！睂W(xué)生一般都是先求圓柱的高314÷（3.14×5×2）=10（厘米），然后計算圓柱的體積3.14×52×10=785（立方厘米）。如此列式，在現(xiàn)行小學(xué)階段，可以說是相當(dāng)復(fù)雜的了。換個角度思考，借助圖形演示，引導(dǎo)學(xué)生把這個圓柱體的底面沿直徑等分成若干扇形，并切割圓柱體，然后把切開的圓柱體拼成近似的長方體，平放于前。學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)這個長方體的底面積是圓柱側(cè)面積的一半，高就是圓柱底面的半徑，因此它的體積可以直接運用“314÷2×5=785（立方厘米）”求出，既方便又快捷，并由此引導(dǎo)學(xué)生得出“圓柱的側(cè)面積÷2×半徑=圓柱的體積”，反之“圓柱的體積÷半徑×2=圓柱的側(cè)面積”。

六、數(shù)形結(jié)合，能形成思想方法，有助于煥發(fā)數(shù)學(xué)生命力

課程標(biāo)準(zhǔn)指出“數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則?！毙W(xué)數(shù)學(xué)不僅應(yīng)傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。布魯納曾說：掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本的數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，它貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個領(lǐng)域?！皵?shù)”能解“形”，“形”能輔“數(shù)”，兩者有效結(jié)合，往往能使看上去比較難的問題簡單化、明朗化，收到意想不到的效果。但要想幫助學(xué)生牢固樹立數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生主動運用數(shù)形結(jié)合的方法去解題的意識，并不是一兩天、一兩個月，或是一兩個單元教學(xué)所能達(dá)到的。作為教師，只有在平時的教學(xué)實踐中，立足于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實際，挖掘教材中可以運用數(shù)形結(jié)合思想方法的知識，合理利用數(shù)形相結(jié)合的方法教學(xué)，同時，將數(shù)學(xué)與生活中的事物聯(lián)系起來，將學(xué)生熟悉的生活事物與數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，從而使學(xué)生更容易掌握和運用。經(jīng)過反復(fù)的實踐、不斷的滲透、不斷的積累，學(xué)生就會慢慢樹立數(shù)形結(jié)合思想，并體驗到這種思想帶來的好處，他們才愿意并主動運用這種思想和方法去解決問題。

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！笨傊?，要使數(shù)形結(jié)合的方法更好地為教學(xué)服務(wù)，只有從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，讓數(shù)形結(jié)合思想方法教學(xué)成為一種有意識的教學(xué)活動，并落到實處。

（責(zé)編 金 鈴）endprint