李洪兵，姜 軍，田海林，季軍亮，郭藝奪

（空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051）

0 引言

雙基地MIMO雷達(dá)的回波信號(hào)中包含了目標(biāo)相對(duì)發(fā)射陣列的發(fā)射角及接收陣列的到達(dá)角信息，因此可通過(guò)估計(jì)目標(biāo)的DOD，DOA實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的交叉定位［1－8］。這些算法均以發(fā)射和接收陣列流型精確已知為前提，其性能優(yōu)良。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于存在各種誤差（陣元幅相誤差、陣元間互耦等），雙基地MIMO雷達(dá)的發(fā)射和接收陣列流形常出現(xiàn)一定程度的偏差或擾動(dòng)，上述的各種定位算法因?qū)δＰ驼`差的魯棒性很差，微小的模型擾動(dòng)會(huì)帶來(lái)目標(biāo)定位性能的急劇惡化。因此，研究對(duì)誤差魯棒的目標(biāo)定位算法及簡(jiǎn)便有效的陣列校正方法在雙基地MIMO雷達(dá)實(shí)際應(yīng)用中有重要意義。

雙基地MIMO雷達(dá)因發(fā)射端采用多個(gè)發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的信號(hào)，其陣元通道的幅相誤差可通過(guò)接收陣列和發(fā)射陣元引入，從而使發(fā)射和接收陣列的幅相誤差耦合，這增加了系統(tǒng)幅相誤差的復(fù)雜度，對(duì)雙基地MIMO雷達(dá)的多目標(biāo)定位和通道幅相誤差的校正提出了更高的要求。為解決此問(wèn)題，文獻(xiàn)［9］提出了對(duì)信號(hào)預(yù)處理后等效陣列的聯(lián)合幅相誤差進(jìn)行整體估計(jì)以實(shí)現(xiàn)誤差校正的方法，并針對(duì)單輔助目標(biāo)的情況給出了子空間擬合法和最大似然法兩種誤差估計(jì)方法。但該算法對(duì)輔助目標(biāo)方位信息的精確性有較高的要求，當(dāng)輔助目標(biāo)的方位信息有偏差時(shí)，該算法會(huì)產(chǎn)生較大的偏差。文獻(xiàn)［10］利用三次迭代最小二乘算法估計(jì)存在幅相誤差條件下的收發(fā)陣列流形，根據(jù)信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性，用 MUSIC-like算法獲得目標(biāo)的DOD，DOA，且角度自動(dòng)配對(duì)，然后針對(duì)MIMO雷達(dá)孔徑擴(kuò)展的特點(diǎn)，通過(guò)第一個(gè)發(fā)射陣元和第一個(gè)接收陣元的數(shù)據(jù)估計(jì)收發(fā)陣列的幅相誤差。但該算法需要進(jìn)行迭代運(yùn)算和一維譜峰搜索，計(jì)算量較大，此外其假設(shè)將收發(fā)陣列第一個(gè)陣元的幅相誤差均歸一化為1，這與實(shí)際情況存在偏差。

收發(fā)陣列的幅相誤差的存在破壞了雙基地MIMO雷達(dá)的旋轉(zhuǎn)不變性，導(dǎo)致小運(yùn)算量的ESPRIT算法無(wú)法直接用于估計(jì)目標(biāo)的DOD，DOA。對(duì)此，本文對(duì)一種基于ISM的ESPRIT類算法進(jìn)行了研究［11］。

1 基于ISM的雙基地MIMO雷達(dá)幅相誤差數(shù)據(jù)模型

考慮一發(fā)射陣列和接收陣列均為均勻線陣的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，其中發(fā)射陣元數(shù)為Mt，各發(fā)射陣元同時(shí)發(fā)射同頻相互正交的相位編碼信號(hào)；接收陣元數(shù)為Mr，且發(fā)射和接收陣元間距均為λ／2。設(shè)發(fā)射陣和接收陣之間的基線距離為D，滿足D?λ，并假設(shè)在雷達(dá)系統(tǒng)的遠(yuǎn)場(chǎng)同一距離單元內(nèi)存在目標(biāo)P個(gè)，其相對(duì)發(fā)射及接收陣列的方位角為（φp，θp），p＝1，2，…，P。設(shè)Γt，Γr分別為發(fā)射和接收陣列的幅相誤差矩陣，且

式中：ρtm，φtm分別為第m個(gè)發(fā)射陣元對(duì)應(yīng)的幅值和相位誤差；ρrn，φrn分別為第n個(gè)接收陣元對(duì)應(yīng)的幅值和相位誤差。此處：m＝1，2，…，Mt；n＝1，2，…，Mr。

為避免發(fā)射和接收陣列的幅相誤差的影響，本文用ISM分別在發(fā)射和接收端設(shè)置若干精確校正的陣元，并分別以引入的第一個(gè)發(fā)射和接收的輔助陣元為參考。設(shè)引入的輔助發(fā)射和接收陣元數(shù)分別為Nt，Nr（Nt，Nr≥2），輔助陣元同原有陣元的間距及輔助陣元之間的間距均為λ／2，如圖1所示。則此時(shí)的數(shù)據(jù)模型可表示為

式中：l＝1，2，…，L；（tl） 為經(jīng)匹配濾波器后的整個(gè)雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的虛擬噪聲，是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲；

符號(hào)“＊ ”、“? ”分別表示 Khatri-Rao，Kronecker的積。

圖1 基于ISM的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)Fig.1 Bistatic MIMO radar system based on ISM

因此，其數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為

對(duì)Ra進(jìn)行特征值分解可得相應(yīng)的信號(hào)子空間Uas和噪聲子空間Uan。根據(jù)陣列流形矩陣與信號(hào)子空間間關(guān)系可知Uas與滿足關(guān)系

式中：T為一個(gè)唯一的非奇異矩陣。

在有限次脈沖數(shù)情況下，只能得到協(xié)方差矩陣的估值，對(duì)其進(jìn)行特征值分解可得

式中：為對(duì)進(jìn)行特征值分解后得到的前P個(gè)大特征值形成的對(duì)角陣為剩余的小特征值形成的對(duì)角陣。

2 算法描述

定義矩陣

令Ur1，Ur2的構(gòu)造方式與Br1，Br2相同，Ut1，Ut2的構(gòu)造方式與Bt1，Bt2相同。根據(jù)式（6）可知，Ur1，Ur2和Ut1，Ut2分別滿足

根據(jù)式（8）、（9）可得

因Γr12，Ψr，Γt12，Ψt為未知，故可通過(guò)以下帶約束的優(yōu)化問(wèn)題求解

基于最小均方誤差準(zhǔn)則，可得式（11）的解為

將式（12）代入式（11）可得

由文獻(xiàn)［12］，

將式（14）、（15）代入式（13）可得

用Lagrange算子法對(duì)式（16）進(jìn)行求解，可得

將式（17）代入式（12）可得對(duì)Ψr，Ψt的估值分別為

對(duì)進(jìn)行特征值分解可得其特征值和特征向量分別為，則可得對(duì)目標(biāo)DOA的估值為

由Ψr，Ψt的表達(dá)式可知：對(duì)同一個(gè)目標(biāo)，Ψr，Ψt具有相同的特征向量。因此，特征值由

求得，從而可得對(duì)目標(biāo)DOD的估值為

需指出的是：通過(guò)式（22）可避免對(duì)進(jìn)行特征值分解，從而降低算法的計(jì)算量，同時(shí)還可實(shí)現(xiàn)對(duì)估計(jì)出的目標(biāo)DOD，DOA的自動(dòng)配對(duì)。

3 算法性能

根據(jù)上述算法的原理，可得定性結(jié)論如下。

a）算法在進(jìn)行發(fā)射和接收幅相誤差校正過(guò)程中，無(wú)需任何精確校正的輔助目標(biāo)，避免了輔助目標(biāo)收發(fā)方位角誤差對(duì)幅相誤差參數(shù)估計(jì)的影響。

b）由于輔助發(fā)射和接收陣元引入的誤差自由度約束，本文算法克服了通常均勻線陣陣列校正中的模糊問(wèn)題。因均勻線陣?yán)硐氲膶?dǎo)向矢量為范德蒙矢量，當(dāng)發(fā)射和接收陣列的幅相誤差矢量vecdΓt，vecdΓr均有范德蒙特性時(shí)，二維方位估計(jì)與幅相誤差參數(shù)估計(jì)就會(huì)出現(xiàn)模糊，導(dǎo)致目標(biāo)二維方位估計(jì)的偏差。但本文算法引入了精確校正的輔助發(fā)射和接收陣元，發(fā)射陣列擾動(dòng)矢量vecd的前Nt個(gè)元素和接收陣列擾動(dòng)矢量vecd的前Nr個(gè)元素均為1，不可能具有范德蒙性（除非陣元無(wú)擾動(dòng)，vecd，vecd的元素均為1）。因此，本文算法消除了通常雙基地MIMO雷達(dá)擾動(dòng)參數(shù)估計(jì)時(shí)由收發(fā)方位參數(shù)與幅相誤差參數(shù)耦合引起的模糊問(wèn)題。

c）算法的運(yùn)算量小，無(wú)需迭代和譜峰搜索過(guò)程，避免了高維、多模非線性搜索問(wèn)題和局部收斂問(wèn)題。

d）算法實(shí)現(xiàn)中未使用擾動(dòng)導(dǎo)向矢量的一階泰勒近似對(duì)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，無(wú)需對(duì)陣列幅相誤差進(jìn)行微擾動(dòng)假設(shè)，更符合實(shí)際的誤差模型。

4 仿真與分析

為驗(yàn)證所提算法的有效性，進(jìn)行了仿真。取發(fā)射陣元數(shù)Mt＝5，接收陣元數(shù)Mr＝4，原發(fā)射陣列的幅值誤差系數(shù)和相位誤差系數(shù)分別為

原有接收陣列的幅值誤差系數(shù)和相位誤差系數(shù)分別為

設(shè)空間中同一距離單元內(nèi)存在目標(biāo)3個(gè)，其收發(fā)方位角為（10°，20°），（－8°，30°），（0°，45°）。發(fā)射陣列各陣元發(fā)射相互正交的相位編碼信號(hào)，在每個(gè)脈沖重復(fù)周期內(nèi)的快拍數(shù)K＝256。稱本文算法為ESPRIT－like算法，文獻(xiàn)［10］算法為 MUSIC-like算法。

仿真1：ESPRIT-like算法對(duì)目標(biāo)定位結(jié)果

仿真中取引入的輔助發(fā)射和接收陣元數(shù)分別為Nt＝3，Nr＝2，信噪比10dB，脈沖數(shù)L＝256。ESPRIT-like算法對(duì)多目標(biāo)定位結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知：當(dāng)發(fā)射和接收陣列均存在幅相誤差時(shí)，ESPRIT-like算法可較精確地估計(jì)出目標(biāo)的DOD，DOA，且得出的參數(shù)可自動(dòng)配對(duì)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)的定位。

仿真2：算法收發(fā)方位角估計(jì)統(tǒng)計(jì)性能

圖2 ESPRIT-like算法多目標(biāo)定位結(jié)果Fig.2 Localization result of ESPRIT-like algorithm for multiple targets

仿真條件同仿真1，L＝256，不同信噪比（從0dB按步長(zhǎng)2dB變化至40dB）時(shí)，ESPRIT-like，MUSIC-like算法對(duì)目標(biāo)收發(fā)方位角估計(jì)的RMSE，如圖3所示。

由圖3可知：ESPRIT-like算法在估計(jì)目標(biāo)收發(fā)方位角時(shí)無(wú)需任何幅相誤差信息即可達(dá)到較好的估計(jì)性能。與MUSIC-like算法相比，在較低信噪比或較小脈沖數(shù)條件下，ESPRIT-like算法的RMSE稍大于MUSIC-like算法，但隨著信噪比和脈沖數(shù)的增大，兩者的性能趨于一致。須注意的是ESPRIT-like算法可在無(wú)需任何迭代和譜峰搜索的情況下完成收發(fā)方位角估計(jì)，顯著降低了算法的運(yùn)算量。

圖3 不同SNR時(shí)兩種算法的RMSEFig.3 RMSE for two algorithms under various SNR

仿真3：算法幅相誤差自校正性

為便于分析，定義發(fā)射和接收陣列幅值、相位誤差系數(shù)校正誤差為 ‖－ρt‖2／‖ρt‖2×100%，Δφt＝ ‖－φt‖2／ ‖φt‖2× 100%，Δρr＝‖－ρr‖2／ ‖ρr‖2× 100%，Δφr＝‖－φr‖2／‖φr‖2×100% 。此處：和ρt，φt分別為發(fā)射陣列幅值和相位誤差系數(shù)的估值及真值；和ρr，φr分別為接收陣列幅值和相位誤差系數(shù)的估值及真值。L＝256，信噪比從0dB按步長(zhǎng)2dB變化到40dB時(shí)，ESPRIT-like，MUSIC-like算法的發(fā)射和接收陣列幅值和相位誤差系數(shù)校正誤差如圖4所示。圖4中同時(shí)給出了發(fā)射和接收陣列幅值、相位誤差系數(shù)估計(jì)的理論CRB曲線。

圖4 不同SNR的幅相誤差系數(shù)校正誤差Fig.4 Calibrated errors with gain and phase error coefficient under various SNR

由圖4可知：ESPRIT-like算法的幅相誤差系數(shù)校正誤差與 MUSIC-like算法基本相當(dāng)。隨著SNR的增大，幅相校正誤差接近于0，這表明幅相誤差矩陣接近于真值。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列存在幅相誤差的目標(biāo)定位問(wèn)題，提出了一種低運(yùn)算量的目標(biāo)定位及雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列幅相誤差自校正的ESPRIT-like算法。該算法通過(guò)在發(fā)射端和接收端分別引入少量精確校正的輔助發(fā)射和接收陣元，可在多目標(biāo)條件下對(duì)目標(biāo)收發(fā)方位角和其對(duì)應(yīng)的發(fā)射和接收陣元幅相誤差進(jìn)行無(wú)模糊聯(lián)合估計(jì)。分析表明：在角度估計(jì)和幅相誤差自校正過(guò)程中無(wú)需任何收發(fā)陣列幅相誤差系數(shù)信息，且具有優(yōu)良的目標(biāo)定位及幅相誤差自校正性能，計(jì)算量小。

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