馮強(qiáng)

摘 要： 靜力學(xué)問(wèn)題在物理學(xué)中是難點(diǎn)問(wèn)題，虛功原理法和割補(bǔ)法是解決靜力學(xué)問(wèn)題的兩種重要方法。本文通過(guò)對(duì)處于平衡態(tài)的繩索（或鏈條）問(wèn)題的研究，嘗試對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較，同時(shí)對(duì)處于平衡態(tài)的繩索（或鏈條）問(wèn)題得出結(jié)論。

關(guān)鍵詞： 虛功原理法 割補(bǔ)法 繩索（或鏈條）問(wèn)題

如圖1所示，一根2m長(zhǎng)的棒，一端被支撐著，在棒的中間有一個(gè)60N的重物，離支點(diǎn)0.5m處還有一個(gè)100N的重物。假如不考慮棒的重量，為了保持它的平衡，我們要在棒的另一端加多大的力？假設(shè)在棒的另一端放上一個(gè)滑輪，并在滑輪上懸掛一個(gè)重物W，為了使棒平衡，W應(yīng)該是多重？我們?cè)O(shè)想W落下任意一段距離，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，設(shè)它下降了4cm，那么這兩個(gè)重物要升高多少呢？棒的中心升高了2cm，而離固定端0.5m處的那一點(diǎn)升高了1cm，所以，各個(gè)重物與高度的乘積之和不變。這個(gè)原理告訴我們，W乘以下降的4cm，加上60N乘以升高的2cm，再加上100N乘以升高的1cm，其和必定是零

-4W+2×60+1×100=0，W=55N

這就是說(shuō)，為了使棒平衡，必須加上一個(gè)55N的重物。用這種方法，我們可以得出“平衡”定律——復(fù)雜的橋梁建筑的靜力學(xué)等。這種處理物體的方法稱為“虛功原理”，該原理是由伯努利首先提出的。因?yàn)闉榱诉M(jìn)行這種論證，我們必須“設(shè)想”系統(tǒng)移動(dòng)一下——即使它實(shí)際上沒(méi)有移動(dòng)，甚至不能移動(dòng)[1]。下面我們討論這個(gè)原理在繩索（或鏈條）的平衡問(wèn)題中的幾個(gè)應(yīng)用。

例1：如圖2所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑柱面置于水平桌面上。球面上有一條光滑勻質(zhì)鐵鏈，一端固定于球面頂點(diǎn)A，另一端恰好與桌面不接觸，且單位長(zhǎng)度鐵鏈的質(zhì)量為ρ，求鐵鏈A端所受的拉力。

解法一：虛功原理法

如圖3所示，設(shè)將鐵鏈B端延長(zhǎng)Δx，則A端所受拉力F不變，設(shè)在A端拉力F作用下鐵鏈移動(dòng)了距離Δx，則拉力做的功為

W■=FΔx

鐵鏈的重力勢(shì)能改變?yōu)棣■=ρΔxgR，相當(dāng)于B端的Δx的一段搬到了A端。按照功能原理：拉力的功等于鐵鏈重力勢(shì)能的改變量，W■=ΔEP，

即FΔx=ρΔxgR

∴F=ρgR

解法二：割補(bǔ)法

如圖4所示，將四分之一光滑柱面懸空，將鐵鏈如圖補(bǔ)充完整，然后用光滑水平面把OB段給頂起來(lái)，則O點(diǎn)和B點(diǎn)的拉力必為零，A點(diǎn)的拉力F就等于AO段鐵鏈的重力，即

F=ρgR

討論：1.上式說(shuō)明，A點(diǎn)的拉力F，也即A、B兩點(diǎn)的拉力之差就等于相當(dāng)于A、B兩點(diǎn)的高度差R（亦即AO）那段鐵鏈的重量。

2.虛功原理解法奇特，但割補(bǔ)法解題同樣奇妙。

例2：均勻的不可伸長(zhǎng)的繩子，其兩端懸掛在A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)比A點(diǎn)高h(yuǎn)（圖5）。在A點(diǎn)繩子張力為T(mén)■，求在B點(diǎn)繩子的張力。繩子的質(zhì)量為m，繩長(zhǎng)為l。

解法一：虛功原理法

假設(shè)我們?cè)贏點(diǎn)存有一段繩子。在A點(diǎn)放下長(zhǎng)為Δl的一小段繩子，與此同時(shí)在B點(diǎn)抽出同樣長(zhǎng)度Δl的繩子，顯然，這時(shí)要做功，所做的功等于（T■-T■）Δl，式中T■和T■分別是在B點(diǎn)和A點(diǎn)處繩子的張力。這個(gè)功用于將質(zhì)量mΔl/l這段繩子提高h(yuǎn)時(shí)勢(shì)能的變化。根據(jù)功能原理

mg■h=（T■-T■）Δl

因此得到

T■=T■+mgh/l

解法二：填補(bǔ)法

用長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑斜面放在A、B兩點(diǎn)，加段繩子沿著這個(gè)斜面將繩子接通（圖6）。當(dāng)然整段繩子應(yīng)當(dāng)處于平衡。躺在斜面上的這段繩子是由于在B點(diǎn)與A點(diǎn)處繩子的張力差而維持平衡

T■-T■=■g■

∴T■=T■+■

討論：1.上式再次說(shuō)明B、A兩點(diǎn)的張力之差就等于B、A兩點(diǎn)高度差h的一段繩子的重力。

2.兩種解法同樣奇妙。

例3：質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的均勻光滑粗繩，穿過(guò)半徑為R的光滑滑輪并搭在輪上（圖7），求繩上最大張力。

解法一：虛功原理法

設(shè)繩子下端據(jù)滑輪中心的豎直高度為x，則有

l=2x+πR 即x=（l-πR）/2

顯然繩子中的最大張力出現(xiàn)在滑輪頂端，將繩子下端緊挨光滑水平面，并用長(zhǎng)為2R的繩子將下端連起來(lái)，如圖8所示?；嗧敹死K子張力應(yīng)該不變，設(shè)為T(mén)■，假設(shè)繩子逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)Δl，則T■做功為T(mén)■Δl，按功能關(guān)系，它就應(yīng)該等于把長(zhǎng)度為Δl的一段繩子由水平面移到滑輪頂端重力勢(shì)能的增量，■mg（x+R）。即

T■Δl=■mg（x+R）=■mg（■+R）=■mg■

故T■=■mg

解法二：割補(bǔ)法

如圖9所示，將滑輪改為半徑相同的光滑半圓柱體且固定，讓右端繩子長(zhǎng)度保持不變（即保持x不變），左端多余繩子剪掉，使下端對(duì)齊，則繩子一定處于平衡狀態(tài)，最大張力T■出現(xiàn)在半圓柱體頂端且等于左側(cè)部分繩子的重力，因?yàn)槔K子端點(diǎn)到滑輪頂端的豎直高度是

h=x+R=（1-πR）/2+R=■

故T■=■h=■mg

討論：兩種解法都同樣奇妙，同樣精彩。

例4：玩具列車由許多節(jié)車廂組成。它以恒定速度沿光滑水平軌道行駛，進(jìn)入“死圈”（圖10），列車全長(zhǎng)為L(zhǎng)，圈的半徑為R（R比車廂長(zhǎng)得多，但L>2πR）。試問(wèn)列車應(yīng)具有多大的初速度，才能防止險(xiǎn)情，不讓一節(jié)車廂脫離翻圈軌道？

圖10

解法一：虛功原理法：

設(shè)列車質(zhì)量為M，初速為v■，隨著進(jìn)入“死圈”，列車速度減慢，當(dāng)“死圈”整個(gè)擠滿一節(jié)節(jié)車廂（而后來(lái)也不變化時(shí)），列車速度達(dá)到最小值v。據(jù)機(jī)械能守恒定律

■=■+ΔMgR ①

式中ΔM是位于“死圈”上的所有車廂的質(zhì)量，其值為

ΔM=■·2πR ②

“死圈”上的車廂受到軌道的支持力作用，最小壓力出現(xiàn)在“死圈”的頂點(diǎn)。要不讓一節(jié)車廂脫離圈，在這極限情況下車廂對(duì)軌道壓力為零。這時(shí)每節(jié)車廂受到重力mg（m是每節(jié)車廂質(zhì)量）和兩節(jié)相鄰車廂間掛鉤的拉力T（圖11）。這兩個(gè)力的合力豎直向下，使車廂具有必要的向心加速度v■/R，設(shè)“死圈”上每節(jié)車廂對(duì)圓心張角為α，則有

2Tsin■+mg=m■

圖11 圖12

這里考慮α角很小，α=l/R（l為每節(jié)車廂的長(zhǎng)度），用此角代替它的正弦。注意m=（l/L）M=（αR/L）M（忽略兩相鄰車廂之間的間隔），于是前一方程可改寫(xiě)成

T+■Mg=M■ ②

現(xiàn)在我們求拉力。討論聚集在“死圈”上的部分車廂（圖12）。假設(shè)這部分車廂移動(dòng)一小段距離Δx，則力T做功W=TΔx，但是由于列車速度不變，這個(gè)功應(yīng)該等于質(zhì)量為Δm的車廂上升到高為2R處其勢(shì)能的變化，Δm是長(zhǎng)為Δx所對(duì)應(yīng)的車廂質(zhì)量，Δm=（■）Δx，因此

TΔx=■Δx·g·2R，即T=■ ③

解①、②和③式，得到所求列車的初速度

v■=■。[2]

解法二：割補(bǔ)法

其他步驟與虛功原理解法相同，關(guān)鍵是③式的得出思路不一樣。如圖13，若把列車看做是一串光滑鐵鏈，把“死圈”改為如圖所示的半圓形“光滑管道”（其拐角處有一段極小圓?。?，則“死圈”右半段鐵鏈?zhǔn)芰η闆r不變，因?yàn)榇藭r(shí)鐵鏈做勻速運(yùn)動(dòng)，所以其中張力應(yīng)與其速度無(wú)關(guān)，假設(shè)速度很?。ㄚ呌诹悖?，則“死圈”中最高點(diǎn)張力就應(yīng)該等于對(duì)應(yīng)的豎直直徑的一段鏈條的重力。即

T=■2Rg=■

與③式相同。

結(jié)論：1.在繩索（鏈條）問(wèn)題中，如果沒(méi)有摩擦，且繩索（鏈條）處于平衡狀態(tài)（靜止或勻速），則繩索（鏈條）中任意兩點(diǎn)A、B的張力之差就等于相當(dāng)于這兩點(diǎn)高度差的一段繩索（鏈條）的重力。

2.在解決靜力學(xué)的鏈條問(wèn)題中，虛功原理法和填補(bǔ)法同樣簡(jiǎn)單、奇妙，各有千秋。

3.提高學(xué)生能力的一種重要方式就是一題多解，多一種方法就多一分能力，因此我認(rèn)為在物理教學(xué)中適當(dāng)介紹虛功原理和割補(bǔ)法很有必要。

參考文獻(xiàn)：

[1][美]費(fèi)恩曼.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2006：37-38.

[2]劉海生.俄羅斯中學(xué)物理競(jìng)賽試題精編.南京師范大學(xué)出版社，2005：153-154.