顏泂沛

普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修5（人民教育出版社A版）第46頁習(xí)題2.3 B組第2題和第62頁習(xí)題2.5 B組第2題，其內(nèi)容如下：

2.3B：2.已知數(shù)列{a■}是等差數(shù)列，S■是其前n項和，求證：S■，S■-S■，S■-S■也成等差數(shù)列.

2.5B：2.已知等比數(shù)列{a■}的前n項和為S■，求證：S■，S■-S■，S■-S■也成等比數(shù)列.

這兩道題的解法緊緊圍繞數(shù)列的性質(zhì)特征，依據(jù)相同的思維，不同的知識結(jié)合數(shù)列項數(shù)和下標的特征，可以從以下兩個方面得到一些高考常用的結(jié)論.

一、利用題目所給數(shù)列項數(shù)相同的特征

Ⅰ.若數(shù)列{a■}為等差數(shù)列，公差為d，設(shè)A=a■+a■+…+a■，B=a■+a■+…+a■，C=a■+a■+…+a■，則A、B、C成等差數(shù)列，且公差為knd；

若數(shù)列{a■}為等比數(shù)列，公比為q，設(shè)A=a■+a■+…+a■，B=a■+a■+…+a■，C=2■+a■+…+a■，則A、B、C成等比數(shù)列，且公比為q■；設(shè)M=a■·a■……a■，N=a■·a■……a■，P=a■·a■……a■，則M，N，P也成等比數(shù)列，且公比為q■.

例1.【2014年高考全國卷文】設(shè)等比數(shù)列{a■}的前n項和為S■，若S■=3，S■=15，則S■=（？搖 ？搖）

A.31 B.32 C.63 D.64

【答案】C

【解析】設(shè)公比為q，由題得S■-S■=a■+a■=S■×q■=3×q■=12，

∴q■=4，∴S■-S■=a■+a■=S■q■=48，∴S■=63.

例2.【2010年高考安徽卷理】設(shè){a■}是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是（？搖 ？搖）

A.X+Z=2Y B.Y（Y-X）=Z（Z-X）

C.Y■=YZ D.Y（Y-X）=X（Z-X）

【答案】D

【解析】∵{a■}是等比數(shù)列，∴S■，S■-S■，S■-S■成等比數(shù)列，不妨設(shè)這三項分別為a，2a，4a；則X=a，Y=3a，Z=7a，代入可得.

例3.【2013年高考福建卷理】已知等比數(shù)列{a■}的公比為q，記b■=a■+a■+…+a■，c■=a■·a■·…·a■（m，n∈N■），則以下結(jié)論一定正確的是（？搖 ？搖）

A.數(shù)列{b■}為等差數(shù)列，公差為q■

B.數(shù)列{b■}為等比數(shù)列，公比為q■

C.數(shù)列{c■}為等比數(shù)列，公比為q■

D.數(shù)列{c■}為等比數(shù)列，公比為q■

【答案】C

【解析】數(shù)列{b■}為等比數(shù)列，公比為q■，數(shù)列{c■}為等比數(shù)列，公比為q■=q■.

例4.【2013年高考北京卷（文、理）】若等比數(shù)列{a■}滿足a■+a■=20，a■+a■=40，則公比q=？搖？搖 ？搖？搖；前n項S■=？搖？搖 ？搖？搖.

【答案】2，2■-2

【解析】a■+a■+a■=（a■+a■+a■）·q■=6×q■=48，∴q=2，

∴a■+a■+a■=（a■+a■+a■）·q■=6×q■=192.

例5.【2009年高考浙江卷文】設(shè)等差數(shù)列{a■}的前n項和為S■，則S■，S■-S■，S■-S■，S■-S■成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{b■}的前n項積為T■，則T■，？搖 ？搖？搖？搖，？搖 ？搖？搖？搖，■成等比數(shù)列.

【答案】■，■

【解析】對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列{b■}的前n項積為T■，則T■，■，■，■成等比數(shù)列.

二、利用數(shù)列下標特征解題

Ⅱ.等差數(shù)列下標成等差數(shù)列且公差為m的項a■，a■，a■，…組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為md；等比數(shù)列下標成等差數(shù)列且公差為m的項a■，a■，a■，…組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為q■.

例6.【2014年高考廣東卷文】等比數(shù)列{a■}的各項均為正數(shù)，且a■a■=4，則log■a■+log■a■+log■a■+log■a■+log■a■=？搖？搖 ？搖？搖.

【答案】5.

【解析】由題意知a■a■=a■■=4，且數(shù)列{a■}的各項均為正數(shù)，所以a■=2，

∴a■a■a■a■a■=（a■a■）·（a■a■）·a■=（a■■）■·a■=a■■=2■，

∴l(xiāng)og■a■+log■a■+log■a■+log■a■+log■a■=log■（a■a■a■a■a■）=log■2■=5.

例7.【2012年高考全國卷理】已知{a■}為等比數(shù)列，a■+a■=2，a■a■=-8，則a■+a■（？搖 ？搖）

（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7

【答案】D

【解析】因為{a■}為等比數(shù)列，所以a■a■=a■a■=-8，又a■+a■=2，所以a■=4，a■=-2或a■=-2，a■=4.若a■=4，a■=-2，解得a■=-8，a■=1，a■+a■=-7；若a■=-2，a■=4，解得a■=-8，a■=1，仍有a■+a■=-7，綜上選D.

例8.【2006年高考試卷上海春】已知數(shù)列a■，a■，…，a■，其中a■，a■，…，a■是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a■，a■，…，a■是公差為d的等差數(shù)列；a■，a■，…，a■是公差為d■的等差數(shù)列（d≠0）

（1）若a■=40，求d；

（2）試寫出a■關(guān)于d的關(guān)系式，并求a■的取值范圍；

（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a■，a■，…，a■是公差為d■的等差數(shù)列……依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

【解析】（1）a■=10，a■=10+10d=40，∴d=3.

（2）a■=a■+10d■=10（1+d+d■）（d≠0），

a■=10[（d+■）■+■]，

當d∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，a■∈[7.5，+∞）.

（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{a■}，其中a■，a■，…，a■是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當n≥1時，數(shù)列a■，a■，…，a■是公差為d■的等差數(shù)列.

研究的問題可以是：試寫出a■關(guān)于d的關(guān)系式，并求a■的取值范圍.

研究的結(jié)論可以是：由a■=a■+10d■=10（1+d+d■+d■），

依次類推可得a■=10（1+d+…+d■）=10×■，d≠1，10（n+1）， d=1

當d>0時，a■的取值范圍為（10，+∞）等.

由上面的高考試卷中關(guān)于數(shù)列例題可以看出，精心研究習(xí)題的解答，重視課本習(xí)題的輻射作用，重視書本習(xí)題的研究無論對教師和學(xué)生分析能力和解題能力都是有利的，特別是對于新教師的培養(yǎng)更有利.