周長林++++高曉萍

摘 要： 本方從七個方面，結(jié)合具體實例對數(shù)學(xué)開放題進(jìn)行分類討論，有助于理解開放題的概念，有助于把握問題的開放度，有利于教師把握一個數(shù)學(xué)開放題是否適用于課堂教學(xué)，或者有利于教師改變開放題的設(shè)問方式以輔助課堂教學(xué)，或者有利于考試評分的可操作性與公平性.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)開放題 類型 例析

前蘇聯(lián)學(xué)者奧加涅認(rèn)為，數(shù)學(xué)題由題目的條件、解題根據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)論這四個要素組成，按題目中已知要素的多少可分為四種類型：標(biāo)準(zhǔn)性題（已知四個要素），訓(xùn)練性題（已知三個要素），探索性題（已知兩個要素），問題性題（已知一個要素）.開放題屬于探索性題或問題性題.開放題最初只有結(jié)論開放一類，現(xiàn)已發(fā)展成為結(jié)論開放、條件開放、設(shè)計開放和問題本身開放等幾大類.對數(shù)學(xué)開放題的分類，從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素（條件、依據(jù)、方法、結(jié)論）出發(fā)，定性地可分成四類：如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，則稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據(jù)或方法，則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開放題；如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開放題.

從開放題答案的開口情況出發(fā)，定量地可分成三類：弱開放題——答案情況（包括可能情況）只有兩種的開放題；中開放題——答案情況（包括可能情況）超過兩種，但為數(shù)目確定的有限種；強開放題——只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數(shù)難以確定的開放題.

對開放題的分類討論，有助于理解開放題的概念，有助于把握問題的開放度，有利于教師把握一個數(shù)學(xué)開放題是否適用于課堂教學(xué)，或者有利于教師改變開放題的設(shè)問方式以輔助課堂教學(xué)，或者有利于考試評分的可操作性與公平性.

一、結(jié)論開放型

這類問題是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性，主要考查學(xué)生的發(fā)散性思維和所學(xué)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.這類開放題是指提供一定的條件，可以是不僅滿足條件，而且所得結(jié)論的意義相同的問題.也可以是提供一定的條件，滿足條件的結(jié)論方面往往有多種.

1.同題異果型

例1：180÷12=□÷□=□÷□=……你能寫出多少個？

通過訓(xùn)練加深學(xué)生對商不變性質(zhì)的理解和運用.

例2：1999年上海市高考數(shù)學(xué)試卷第12題（見前第3頁），學(xué)生可以根據(jù)自己的空間想象能力，可以設(shè)五條邊為1，一條邊為2；或五條2一條1；也可以兩條1四條2等多種組合，但同時又要考慮能否組成空間四面體，且不是組成正四面體，所以要先畫對圖，然后選擇合適的方法進(jìn)行計算體積.

2.異題同果型

例3：甲乙兩艘軍艦同時從相距948千米的兩個港口對開.甲艘軍艦每小時行38千米，乙艘軍艦每小時行41千米.（1）幾小時后兩艘軍艦相遇？（2）甲艘軍艦開出幾小時后兩艘軍艦相遇？（3）乙艘軍艦開出幾小時后兩艘軍艦相遇？

這題的條件一樣，但問題是從三個不同的角度分別提出的，其題意、計算結(jié)果相同.加強這種開放題型的訓(xùn)練，有利于深化理解掌握行程問題的解法.下面的這道題也是異題同果型.

例4：試指出下列兩個代數(shù)式的共同點：24a■bc■和18a■b■x■.

我們大家熟悉的兩個學(xué)生相距多遠(yuǎn)的問題.1994年荷蘭數(shù)學(xué)教育學(xué)派的代表人物，德朗治（deLange）在上海做報告中有這樣一個題目：“如果A離學(xué)校5千米，B離學(xué)校10千米，問A、B相距幾千米？”這一題目似乎是一道小學(xué)算術(shù)題.事實上，它的內(nèi)涵很豐富，涉及從自然數(shù)相加，有理數(shù)加減，圓的幾何軌跡，點的距離，以至圓的參數(shù)表示，復(fù)數(shù)相減等許多數(shù)學(xué)知識.題目可適合各種層次的學(xué)生，可以考慮一直線的情況，可以作為平面計算，也可以在空間測量，留給學(xué)生的空間很大.

二、條件開放型

這類考題是給定結(jié)論反探滿足結(jié)論的條件，而滿足結(jié)論的條件并不唯一.這類題常以基本知識為背景加以設(shè)計而成的，主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識的掌握程度和歸納能力.

例5：1998年高考數(shù)學(xué)全國卷第18題（見前第3頁），就是一道典型的條件開放題.

例6：若二次函數(shù)f■（x）=a■x■+b■x+c■和f■（x）=a■x+b■x+c■使得f■（x）+f■（x）是（-∞，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，試給出一組滿足上述要求的f■（x）=-f■（x）的函數(shù)式.

例7：（1）寫出一個解集是{x？搖？搖x=2kπ+■，k∈Z}的三角方程.

（2）已知m0，使它的結(jié)集分別是①（-∞，m）∪（n，+∞）；②（m，n，）.

學(xué)生習(xí)慣解各種類型的三角方程或不等式，但是要自己寫一個滿足要求的方程或不等式，往往比較困難，只要逆向思維、發(fā)散思維就會想出不少.

條件開放題是根據(jù)題中所給的結(jié)論、要求，從不同的角度尋找獲得解決這個結(jié)論的條件，按尋找條件的類型又可分為以下幾種：

1.補充條件型

例8：甲車間？搖？搖 ？搖乙車間？搖 ？搖？搖，丙車間？搖 ？搖？搖，請問三個車間共有工人多少人？（在整數(shù)范圍內(nèi)根據(jù)問題補充條件后解答）

該題要補充的條件全部開放.要求學(xué)生展開聯(lián)想，發(fā)散思維，提出各種不同的可以解決問題的條件，當(dāng)然也就不會有確定的答案.

2.選擇條件型

例9：計算圖形的面積（單位：米）.要求學(xué)生選擇圖形中相關(guān)的數(shù)據(jù)，算出它的面積.（圖略）

3.多余條件型

例10：學(xué)校圖書室有文藝書720本，科技書480本.如果把這些書全部放在書架上，平均每個書架放60本，需要這樣的書架多少個？

題中已知條件“文藝書720本”是多余條件.這樣，將有用條件和無用條件混雜在一起，形成干擾因素，讓學(xué)生根據(jù)題意進(jìn)行分析選擇.

4.隱藏條件型

例11：某條公路兩天修完成.第一天修的比總長的2/3多2千米，正好相當(dāng)于第二天修的4倍.這條公路原長多少米？

該題表面上看來似乎條件不足，但其所需的條件隱藏在題意之中，以致學(xué)生解題的失誤或無從下手.

三、操作開放題

該類題是比較好的數(shù)學(xué)開放題形式，充分體現(xiàn)了“讓學(xué)生在做中學(xué)”的數(shù)學(xué)觀念，促進(jìn)了學(xué)生動手操作實踐能力的提高.

例12：拿幾張長方形紙，分別折疊出它的1/8，你能折疊出幾種不同的圖形嗎？

學(xué)生通過折疊，加深對分?jǐn)?shù)意義及“平均分”概念的理解.

四、策略開放題

此類開放題分常規(guī)策略開放題和非常規(guī)策略開放題兩類.

1.常規(guī)策略開放題

指運用所學(xué)的知識，根據(jù)問題的條件分析、推理、判斷得到的途徑、手段可能是多種的，這些不同的途徑、手段就是不同的解題策略.

（1）手段開放型

例13：教學(xué)“三角形內(nèi)角和性質(zhì)”時，為找出這一性質(zhì)，可采取開放結(jié)果的手段組織教學(xué).①讓學(xué)生分別量出每一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)，并求出它們的和.再引導(dǎo)推測驗證性質(zhì).②讓學(xué)生把一張長方形紙沿著一條對角線剪成兩個直角三角形.根據(jù)長方形四個角的度數(shù)和求出每個直角三角形的內(nèi)角和性質(zhì).

（2）途徑開放題

平時提倡的“一題多解”屬于途徑開放型內(nèi)容.

例14：除了通分外，你還能想出其他方法比較4/7和5/11的大小嗎？

此題可以采取以下兩種不同的解題途徑：①把4/7和5/11化成和原來分?jǐn)?shù)相等、分子相同的分?jǐn)?shù)，然后比較它們大??；②因為4個1/7（4/7）比3.5個1/7（1/2）大，而5個1/11比5.5個1/11（1/2）小，由此推理判斷4/7大于5/11.

此類開放題目的在于拓寬學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性.

2.非常規(guī)策略開放題

除了運用常規(guī)策略開放題外，還應(yīng)緊密聯(lián)系實際，超越常規(guī)解題思路、方法，讓學(xué)生學(xué)會多角度解決問題.

例15：一條麻袋裝大米100千克，現(xiàn)有440千克大米，需要幾條麻袋才能裝完？

計算結(jié)果是4.4條，但不能用常規(guī)的“四舍五入”法取4條.因為使用4條麻袋不可能裝完，要用“進(jìn)一法”使用5條才能裝完.

五、綜合開放題

某一數(shù)學(xué)問題，若題目的條件、解題策略或結(jié)論中有兩項以上不確定，則為綜合開放題.綜合開放題可以是同學(xué)科的，也可以是跨學(xué)科的.

例16：用一根14厘米的鐵絲，可以圍成幾種形狀不同且長和寬都是整厘米數(shù)的長方形.并分別求出圍成的各長方形的面積.

這道題也可以看做是操作性開放題.題中要求所圍的長方形的長和寬數(shù)據(jù)，學(xué)生要根據(jù)條件自己尋找假設(shè)，難度較大，但對創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)極有益處.

開放題的題型并沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)當(dāng)具體問題具體分析.同一個問題你可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容要求劃定類型，不要拘泥僵化.值得一提的是，數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計，應(yīng)力求以課程標(biāo)準(zhǔn)、教材為依據(jù)，以學(xué)生的知識實際為出發(fā)點，以學(xué)生可接受性為尺度.要從心理近體原則出發(fā)，符合認(rèn)知近體、時間近體、空間近體，體現(xiàn)實用，重視運用，突出靈活，把握梯度.教師應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.為了配合開放題的教學(xué)，教學(xué)手段和方法要開放，這樣才能促使學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的開放.

六、設(shè)計開放型

這類題目要求學(xué)生運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，通過觀察、試驗、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等思維形式，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探索和研究，考查學(xué)生的探究能力.

例17：初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一道開放題：“有一塊長方形的場地，現(xiàn)要在其中建造一些花壇，使得花壇的總面積恰好為原場地的一半，試盡量美觀而準(zhǔn)確地做好設(shè)計.”這道題將藝術(shù)、數(shù)學(xué)巧妙地結(jié)合起來，發(fā)人深省.

例18：“五石子問題”：甲、乙、丙三人任意擲五粒石子，投出的石子離散程度最小者為優(yōu)，試給出判斷這五粒石子離散程度的準(zhǔn)則.

這個問題的關(guān)鍵是如何確定“散度”，但題目并沒有給出什么叫“散度”，要求學(xué)生通過想象用數(shù)值表示這個“散度”.通常的方法有：①任意兩點所連線段之中最長者；②連接各點所成直線形的面積之中最大者；③各點間連線長度之和中最長者；④含五點的圓的半徑之最小者，等等.

這道題不需要很深奧的理論及專門的知識，卻又不是簡單可以回答的.其答案似乎很多，又很容易得到，但要得到真正好的準(zhǔn)則，也不是容易的.

七、問題本身開放型

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，應(yīng)當(dāng)聯(lián)系社會生活的實際，開發(fā)一些研究性課題，對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，適應(yīng)新的形勢.研究型課題本身就具有開放性.比如存貸款問題、交通問題、環(huán)境保護(hù)問題，等等.

例19：上海市新編數(shù)學(xué)教材《統(tǒng)計初步》中有一例，1990年人口普查時，上海共有4065274個家庭戶，總?cè)丝跀?shù)12589650，于是計算得家庭平均人口數(shù)為12589650/4065274≈3.10（人）.用同樣的計算，可算得1982年人口普查時，上海市家庭平均人口數(shù)為3.60人.于是得到了上海市的“家庭規(guī)模正在縮小”的結(jié)論.

如果按傳統(tǒng)的教法，幾乎沒有新的知識點，學(xué)生就很可能只學(xué)到平均數(shù)的計算公式，而沒有學(xué)到統(tǒng)計的思想和方法.讓學(xué)生自己回答這個問題，會陸續(xù)碰到許多問題，如（1）家庭規(guī)模怎么刻畫？用財產(chǎn)數(shù)？住房大?。考彝ト丝跀?shù)？（2）一家一戶的家庭規(guī)模確定之后，上海市總的家庭規(guī)模怎么刻畫？（3）要統(tǒng)計全上海的家庭工作量太大，是否可以少統(tǒng)計一些？如果可以，應(yīng)該統(tǒng)計哪些家庭？這些家庭的統(tǒng)計結(jié)果能否代表上海市的情況？……這些問題實際上已涉及了教師要教的基本內(nèi)容：總體、樣本、指標(biāo)、統(tǒng)計量、平均數(shù)等.由于它們是學(xué)生自己提出來的，因此學(xué)生研究的積極性和責(zé)任心就特別強，這是學(xué)習(xí)成功的非常重要的非智力因素.endprint

生活永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)問題不枯竭的源泉.關(guān)注現(xiàn)實世界中的問題，特別是學(xué)生身邊的或可理解的實際問題，可使學(xué)生有一種親近感和解題欲望.

例20：上?，F(xiàn)行的出租車收費標(biāo)準(zhǔn)是：當(dāng)路程不超過3千米但不超過10千米時，超過部分的單價2元/千米（不足1千米按1千米計算）；當(dāng)路程超過10千米時，超過部分的單價為3元/千米（不足1千米按1千米計算），夜23點至第二天凌晨5點加收30%.請討論利用中途換乘出租車的方法，可以節(jié)省費用的可能性.

如果我們對這一點有明晰的、開放式的認(rèn)識，就會發(fā)現(xiàn)在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。確實，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個開放型的中學(xué)數(shù)學(xué)教師就應(yīng)當(dāng)善于將生活請進(jìn)課堂，豐富課堂，使學(xué)生能夠?qū)W有所思，學(xué)有所用，使教與學(xué)放得更開，從而真正培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學(xué)生在這學(xué)期中的三次數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦拢?/p>

要比較這三個學(xué)生的成績好壞，讓學(xué)生根據(jù)實際的需要和自己的理解，分析數(shù)據(jù)并得出結(jié)論.其實你可以設(shè)計更復(fù)雜的表格，通過不同層次的比較，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.

例22：美國中學(xué)數(shù)學(xué)教材在剛引入統(tǒng)計知識時有這樣一道題：W.W.公司有15名員工，他們的工資如下表所示，請你按下時要求作答：

（1）求年薪的平均數(shù)；（2）求年薪的中位數(shù)；（3）假設(shè)報紙上報道“W.W.公司的員工年薪平均水平為32000（美元）”，是否會使大部分員工感到不真實？

學(xué)生很容易算出平均數(shù)和中位數(shù)分別為32000和21000.但我們體會到，本例題強調(diào)的不是平均數(shù)和中位數(shù)的算法，而是想通過第（3）的討論讓學(xué)生弄清楚平均數(shù)和中位數(shù)作用，且通過對這兩個統(tǒng)計量的比較，認(rèn)識到它們的局限性.

參考文獻(xiàn)：

[1]王尚志.數(shù)學(xué)教學(xué)研究與案例.高等教育出版社，2006.12.

[2]歐陽芬，黃小華.新課程下課堂教學(xué)技能的創(chuàng)新與發(fā)展.中國輕工業(yè)出版社，2004.11.

[3]朱恒杰.新課程有效教學(xué)疑難問題操作性解讀.教育科學(xué)出版社，2008.4.

[4]李果民.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模.廣西教育出版社，2003.5.

[5]王國江.高中數(shù)學(xué)開放型問題.上海大學(xué)出版社，2012.1.endprint

生活永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)問題不枯竭的源泉.關(guān)注現(xiàn)實世界中的問題，特別是學(xué)生身邊的或可理解的實際問題，可使學(xué)生有一種親近感和解題欲望.

例20：上?，F(xiàn)行的出租車收費標(biāo)準(zhǔn)是：當(dāng)路程不超過3千米但不超過10千米時，超過部分的單價2元/千米（不足1千米按1千米計算）；當(dāng)路程超過10千米時，超過部分的單價為3元/千米（不足1千米按1千米計算），夜23點至第二天凌晨5點加收30%.請討論利用中途換乘出租車的方法，可以節(jié)省費用的可能性.

如果我們對這一點有明晰的、開放式的認(rèn)識，就會發(fā)現(xiàn)在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。確實，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個開放型的中學(xué)數(shù)學(xué)教師就應(yīng)當(dāng)善于將生活請進(jìn)課堂，豐富課堂，使學(xué)生能夠?qū)W有所思，學(xué)有所用，使教與學(xué)放得更開，從而真正培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學(xué)生在這學(xué)期中的三次數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦拢?/p>

要比較這三個學(xué)生的成績好壞，讓學(xué)生根據(jù)實際的需要和自己的理解，分析數(shù)據(jù)并得出結(jié)論.其實你可以設(shè)計更復(fù)雜的表格，通過不同層次的比較，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.

例22：美國中學(xué)數(shù)學(xué)教材在剛引入統(tǒng)計知識時有這樣一道題：W.W.公司有15名員工，他們的工資如下表所示，請你按下時要求作答：

（1）求年薪的平均數(shù)；（2）求年薪的中位數(shù)；（3）假設(shè)報紙上報道“W.W.公司的員工年薪平均水平為32000（美元）”，是否會使大部分員工感到不真實？

學(xué)生很容易算出平均數(shù)和中位數(shù)分別為32000和21000.但我們體會到，本例題強調(diào)的不是平均數(shù)和中位數(shù)的算法，而是想通過第（3）的討論讓學(xué)生弄清楚平均數(shù)和中位數(shù)作用，且通過對這兩個統(tǒng)計量的比較，認(rèn)識到它們的局限性.

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[5]王國江.高中數(shù)學(xué)開放型問題.上海大學(xué)出版社，2012.1.endprint

生活永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)問題不枯竭的源泉.關(guān)注現(xiàn)實世界中的問題，特別是學(xué)生身邊的或可理解的實際問題，可使學(xué)生有一種親近感和解題欲望.

例20：上?，F(xiàn)行的出租車收費標(biāo)準(zhǔn)是：當(dāng)路程不超過3千米但不超過10千米時，超過部分的單價2元/千米（不足1千米按1千米計算）；當(dāng)路程超過10千米時，超過部分的單價為3元/千米（不足1千米按1千米計算），夜23點至第二天凌晨5點加收30%.請討論利用中途換乘出租車的方法，可以節(jié)省費用的可能性.

如果我們對這一點有明晰的、開放式的認(rèn)識，就會發(fā)現(xiàn)在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。確實，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個開放型的中學(xué)數(shù)學(xué)教師就應(yīng)當(dāng)善于將生活請進(jìn)課堂，豐富課堂，使學(xué)生能夠?qū)W有所思，學(xué)有所用，使教與學(xué)放得更開，從而真正培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學(xué)生在這學(xué)期中的三次數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦拢?/p>

要比較這三個學(xué)生的成績好壞，讓學(xué)生根據(jù)實際的需要和自己的理解，分析數(shù)據(jù)并得出結(jié)論.其實你可以設(shè)計更復(fù)雜的表格，通過不同層次的比較，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.

例22：美國中學(xué)數(shù)學(xué)教材在剛引入統(tǒng)計知識時有這樣一道題：W.W.公司有15名員工，他們的工資如下表所示，請你按下時要求作答：

（1）求年薪的平均數(shù)；（2）求年薪的中位數(shù)；（3）假設(shè)報紙上報道“W.W.公司的員工年薪平均水平為32000（美元）”，是否會使大部分員工感到不真實？

學(xué)生很容易算出平均數(shù)和中位數(shù)分別為32000和21000.但我們體會到，本例題強調(diào)的不是平均數(shù)和中位數(shù)的算法，而是想通過第（3）的討論讓學(xué)生弄清楚平均數(shù)和中位數(shù)作用，且通過對這兩個統(tǒng)計量的比較，認(rèn)識到它們的局限性.

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[3]朱恒杰.新課程有效教學(xué)疑難問題操作性解讀.教育科學(xué)出版社，2008.4.

[4]李果民.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模.廣西教育出版社，2003.5.

[5]王國江.高中數(shù)學(xué)開放型問題.上海大學(xué)出版社，2012.1.endprint