王麗萍

摘 要： 新課程的核心理念是“為了每一個學(xué)生的發(fā)展”。教師在課堂教學(xué)中，不僅要教會學(xué)生如何解題，而且要教會學(xué)生解決問題的方法.因此教師要精心設(shè)計課堂教學(xué)，讓學(xué)生在變式中感悟，在感悟中提升，從而使得每一位學(xué)生都有所發(fā)展.

關(guān)鍵詞： 變式 感悟 有效課堂

新課程的核心理念是“為了每一個學(xué)生的發(fā)展”.構(gòu)建和諧課堂，最終目的就是要讓每一位學(xué)生都得到健康、和諧、全面的發(fā)展.前蘇聯(lián)著名教育家蘇霍姆林斯基曾說：“成功的歡樂是一種巨大的情緒力量，它可以促進(jìn)兒童好好學(xué)習(xí)的愿望.請你注意：無論如何不要使這種內(nèi)在力量消失.缺少這種力量，教育上的任何巧妙措施都是無濟(jì)于事的.”因此，在課堂教學(xué)中，我們不僅要教會學(xué)生如何解題，還要教會學(xué)生解決問題的方法.那么我們的課堂就要精心設(shè)計，不在于講得多，而在于學(xué)生在這堂課上是否有所得.下面我就結(jié)合某節(jié)課的教學(xué)設(shè)計談?wù)勅绾巫寣W(xué)生在變式中感悟，在感悟中提升，從而使得每一位學(xué)生都有所發(fā)展.

前面一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，這節(jié)課重點研究圓上的點到直線的距離為定值的點的個數(shù)問題.

課前思考（2010年江蘇高考第9題）：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x■+y■=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

這道題對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說是一道有難度的題.如何化難為易，化繁為簡，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生成思維，讓每一位學(xué)生都有所發(fā)展，因此我先拋磚引玉，并不急于解決上述問題，而是精心設(shè)計了以下教學(xué)過程.

例題1：求直線3x+4y-5=0被圓C：x■+y■=4所截得的弦長.

解：由已知可得圓心到直線3x+4y-5=0的距離d=■=1，而圓的半徑r=2，所以直線3x+4y-5=0被圓C∶x■+y■=4所截得的弦長為2■=2■.

例題2：求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的坐標(biāo).

解：設(shè)圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的坐標(biāo)P（x■，y■）.

則x■■+y■■=4d=■=1，解得

x■=■，y■=■，或x■=■，y■=-■，或x■=-■，y■=■.

變式（1）求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的個數(shù).

解：方法一（代數(shù)法）通過例2的計算可知圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的個數(shù)為3個.

方法二（幾何法）但我們也可以不通過計算，而是通過數(shù)形結(jié)合的方法判斷.從例1可知圓心到直線3x+4y-5=0的距離d=1，而圓的半徑r=2，我們只要把直線3x+4y-5=0分別向兩側(cè)平移一個單位（虛線部分），從而觀察平移后的直線（虛線）與圓的公共點的個數(shù)即為圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的個數(shù)：3個（兩個交點，一個切點）.

變式（2）求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點的個數(shù).

解：由圖可知，平移后的直線與圓有四個公共點，

所以圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點的個數(shù)有4個.

變式（3）求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為2的點的個數(shù).

老師提問：你認(rèn)為解決這類問題一般采用什么方法？

學(xué)生回答：首先把圓與直線的圖形先畫好，然后平移直線到滿足條件的位置，觀察平移后的直線與圓的公共點個數(shù)即為所求.老師提問：剛才是圓定，直線定.如果圓動，直線定呢？你能自己變題嗎？

學(xué)生回答：若圓C：x■+y■=r■（r>0）上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點有4個，求r的取值范圍.

解：已知直線3x+4y-5=0為定直線，圓C：x■+y■=r■（r>0）為動圓.作出到直線3x+4y-5=0的距離為■的兩條虛線，使得動圓與虛線的公共點有4個，則圓的半徑r的取值范圍為r>■.

老師提問：請同學(xué)們思考：若有3個？2個？1個？r的取值范圍如何？你能得到什么結(jié)論？

學(xué)生回答：方法類似上述例題，若圓C：x■+y■=r■（r>0）上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點有分別有3個？2個？1個？相應(yīng)的半徑r的取值范圍是r=■，■

老師提問：除了圓動，直線是否可改為動直線？

學(xué)生想到直線可以動起來，把直線設(shè)為ax+by+c=0.進(jìn)行調(diào)整，這種直線動感太強(qiáng)，無法控制，能否特殊化呢？學(xué)生想到把直線設(shè)為3x+4y+c=0，這是一組與直線3x+4y-5=0平行或重合的直線.也有學(xué)生想到把直線設(shè)為ax+by=0，這是一組過定點（0，0）的直線.

因此學(xué)生立即想到課前思考的高考題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x■+y■=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

其實這類題與上述例題有著異曲同工之處，看似題目不一樣，其實解決的方法是一樣的.利用數(shù)形結(jié)合的方法，我們同樣可以利用圖形來判斷.最終轉(zhuǎn)化為圓心到直線12x-5y+c=0的距離0

變式（4）：若圓x■+y■-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l：ax+by=0的距離為2■，則直線l的傾斜角的取值范圍是？搖 ？搖？搖？搖.

解：方法一：∵圓x■+y■-4x-4y-10=0整理為（x-2）■+（y-2）■=（3■）■，

∴圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為3■，直線l：ax+by=0恒過原點，

要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為2■，

則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于■，∴■≤■，∴（■）■+4（■）+1≤0，

∴-2-■≤■≤-2+■，k=-■，

∴2-■≤k≤2+■，

所以直線l的傾斜角的取值范圍是[■，■].

方法二：∵圓x■+y■-4x-4y-10=0整理為（x-2）■+（y-2）■=（3■）■，

∴圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為3■，

要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為2■，

則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于■，過原點分別作兩條直線l■和l■，使其圓心A分別到兩條直線的距離為■.過點A分別作直線l■和直線l■，垂足分別為點M和點N.

∵直線OA的傾斜角為45°，且∠AOM=∠AON=30°，∴直線l■和直線l■的傾斜角分別為■，■.所以直線l的傾斜角的取值范圍是[■，■].

上述幾個問題的設(shè)計由淺入深，層層遞進(jìn).例1和例2使得每一位學(xué)生都能做一做，想一想，練一練，而幾個變式相對于兩個例題的難度要大些，對于有能力的學(xué)生來說可以提高其思維能力.對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，在前面問題的鋪墊的情況下也可以慢慢有所想法，漸漸突破難關(guān).這樣每一位學(xué)生在課堂上都能有所收獲.若是一味地直接做難題，則基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生聽不懂；若題目太簡單，沒有一定的梯度，則基礎(chǔ)好的學(xué)生不想聽.因此問題情境有一定的生成性，更能吸引學(xué)生的注意力，更能激發(fā)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)造能力及學(xué)習(xí)的興趣.

素質(zhì)教育的顯著特點之一就是要面向全體學(xué)生，提高全體學(xué)生的素質(zhì)和能力，努力挖掘每一個學(xué)生的潛能，發(fā)揮每一個學(xué)生的個性特長，使學(xué)生的個性特征得到充分、全面的發(fā)展.讓每一個學(xué)生獲得成功的體驗，是構(gòu)建有效課堂的最終目標(biāo).獲得成功是每一個學(xué)生的權(quán)利，幫助學(xué)生獲得成功又是每一位教師義不容辭的義務(wù)和責(zé)任.題海戰(zhàn)術(shù)可能短時間對學(xué)生的解題稍有益處，對于學(xué)生的終身發(fā)展卻不是什么好的方法.在課堂上我們要學(xué)會精講精練，在變式中讓學(xué)生慢慢體會數(shù)學(xué)的樂趣和數(shù)學(xué)的價值，在感悟中提高自身的解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)課堂變得妙趣橫生，引人入勝.

參考文獻(xiàn)：

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[2]岑申，王而冶編.21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編.杭州：浙江教育出版社，2000.

[3]魏丹.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)：注重解題反思，提高思維能力，2012.04.