邢成云

“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”（波利亞語(yǔ)），解題教學(xué)是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，以解題教學(xué)為載體，去深化“四基”、涵養(yǎng)“四能”，使學(xué)生學(xué)會(huì)調(diào)度知識(shí)、遷移方法，學(xué)會(huì)思考探究、反思質(zhì)疑，達(dá)至發(fā)展思維、提高學(xué)力的目的.基于此，筆者有意識(shí)地遴選教材或輔助材料中有價(jià)值的題目，通過有目的的策劃與組織，變身自己教學(xué)的優(yōu)質(zhì)資源，除了通透那一道題目外，更重要的是涵養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的創(chuàng)新意識(shí)，幫助學(xué)生歷練了知識(shí)技能，豐富了思想方法，鍛煉了思維，提升了內(nèi)能.物色到一個(gè)好的問題，就如同擇到了既“新鮮”又“對(duì)味”的食材，但如何烹出“美味小鮮”，還需要教師的妙手.

題目 如圖1，等邊△ABC，點(diǎn)O是∠CAB、∠CBA的角平分線的交點(diǎn)，AO、BO的中垂線PM、QN分別交AB于點(diǎn)M、點(diǎn)N，求證：AM=MN=BN.

教學(xué)意圖 以題目為載體，以作圖為主線，使條件逐步展開，通過解題教學(xué)，進(jìn)一步熟悉三類基本的尺規(guī)作圖；在作圖過程中，學(xué)生歷經(jīng)圖形的構(gòu)建過程，并在這一過程中喚起記憶，進(jìn)一步熟悉等邊（腰）三角形、角的平分線、中垂線的性質(zhì)與判定，形成知識(shí)組塊；借助觀察，啟迪思維，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，發(fā)展學(xué)生的問題意識(shí)與思維能力.

教學(xué)過程

1.作圖導(dǎo)引，步步為營(yíng)

（設(shè)計(jì)說明：循著作圖的軌跡，移步換景，在真實(shí)作圖中觸摸、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)，把相關(guān)的知識(shí)、技能嵌進(jìn)去，然后再把這些知識(shí)、技能擺出來，便于學(xué)生對(duì)條件的深刻理解，為學(xué)生解題蓄勢(shì)蓄能.同時(shí)，以“你能想到相關(guān)的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？”、“你能發(fā)現(xiàn)什么？”等元認(rèn)知性問題導(dǎo)引，層層深入、步步逼近，以開放作基調(diào)放逐學(xué)生的多向性思維，力求實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)與生成的和諧，達(dá)成本節(jié)的教學(xué)意圖.）

出示作圖1：已知線段a，

求作：線段AB=a.

過程略，這個(gè)作圖沒有阻力，學(xué)生都能獨(dú)立完成.

師：呈現(xiàn)在我們面前的是一條線段，你能想到相關(guān)的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

生1：兩點(diǎn)之間線段最短；

生2：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，線段可度量，能進(jìn)行大小比較；

生3：線段是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸：一是自身所在的直線，二是自身的中垂線；

師：說得比較全面，這種聯(lián)想很重要，是審題的開始！

作圖2：然后以AB為邊作一個(gè)正△ABC.

這個(gè)組合作圖也沒問題，學(xué)生完成順利.

師：現(xiàn)在我們面前的是一個(gè)端莊的正三角形，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生4：三條邊相等、三個(gè)角相等，都等于60°；

生5：三線合一；

生6：是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸.

師：說得很好，從邊、角、線、對(duì)稱等角度作了說明，這其實(shí)就是研究幾何封閉圖形的基本角度.很顯然，這些內(nèi)容都是圖形的性質(zhì)，那我們還可以從哪一個(gè)角度研究問題？

生7：圖形的判定.

師：是的，圖形的性質(zhì)與判定相諧而生、相逆而生，那誰來表述一下正三角形的判定方法？

生8：根據(jù)定義，三條邊相等的三角形；

生9：三個(gè)角都相等的三角形；

生10：有一個(gè)角為60°的等腰三角形.

師：這樣一來，等邊三角形的知識(shí)就來了一個(gè)大翻底，面對(duì)圖形我們要敢于展開想象，喚起自己的記憶，為問題的解決提供物質(zhì)準(zhǔn)備.

作圖3：分別作∠A、∠B的角平分線，交點(diǎn)記作O.

這一作圖有少部分同學(xué)不能自己完成，通過小組幫扶最后全體通過.

師：圖形至此，我們?cè)谠瓉淼幕A(chǔ)上還能發(fā)現(xiàn)什么？

生11：發(fā)現(xiàn)△OAB是等腰三角形；

生12：有30°的角；

生13：由30°角可以想到直角三角形中，30°角對(duì)的直角邊是斜邊的一半；

生14∶O點(diǎn)到三邊的距離相等.

師：我們的發(fā)現(xiàn)是否一定正確，請(qǐng)發(fā)現(xiàn)者依次給出證明.

生11：由于△ABC是等邊三角形，所以∠CAB=∠CBA=60°，又OA、OB分別平分∠CAB、∠CBA，所以∠OAB=∠OBA=30°，故OA=OB，得證；

生12：生11的證明過程已經(jīng)說明；

生13：若作出等腰△OAB底邊上的高，就可以得到這個(gè)高是OA的一半；

生14：因?yàn)辄c(diǎn)O是∠CAB、∠CBA的平分線的交點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)O到三邊的距離相等.

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)問題以及解決問題的思路愈來愈開闊了，通過推證闡明了發(fā)現(xiàn)的正確與否，把想和做對(duì)接起來，熟練了知識(shí)技能、熟悉了基本方法！

作圖4：分別作OA、OB的中垂線，交AB于點(diǎn)M、點(diǎn)N.

這一作圖出現(xiàn)“作圖3”的境況，發(fā)動(dòng)學(xué)生通過“兵教兵”完成.

師：至此，同學(xué)們又發(fā)現(xiàn)了什么？

生15：由垂直平分線，我想到“中垂線上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，因此，我會(huì)把OM、ON連接起來；

生16：我能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)△OMN為新的正三角形；

生17：這樣的話線段AM=MN=NB了，也就是說線段AB被M、N三等分了！

師：生15的想法非常好，其實(shí)這就是“基本圖形”的意識(shí)，這一連，把中垂線的性質(zhì)擺在了桌面上，可以說一目了然！下面請(qǐng)生16、生17說一說自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的依據(jù)？

生16：OM一連，∠OMN成了△OAM的一個(gè)外角，根據(jù)中垂線上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可知OM=AM，所以∠MOA=∠MAO=30°，則∠OMN=∠MOA+∠MAO=60°，同理∠ONM=60°，所以∠MON=60°，故OM=MN=ON，得證；

生18：我用全等也能證，通過證△ODM與△OEN全等得OM=ON，得出等腰三角形，然后再證出∠MON=60°；endprint

師：兩位同學(xué)的思路都很好，這是證明一個(gè)圖形是正三角形的兩個(gè)基本方法，對(duì)本題來說都是可行的！

生17：我借用生16的證明一下子就能得到，既然OM=MN=ON，又AM=OM，BN=ON，所以AM=MN=NB.

師：這位同學(xué)借力生16的證明，瞬時(shí)得證，我們稍一留意，就可以發(fā)現(xiàn)兩人的發(fā)現(xiàn)是一脈相承的，它們的證明自然可以順勢(shì)而為.

師：通過交流可以看出，同學(xué)們的目光很敏銳、認(rèn)識(shí)很深刻，我們的原題就是證明“AM=MN=NB”（呈現(xiàn)原題），至此已告破！更為可喜的是我們得到了一個(gè)尺規(guī)“三等分線段”的好方法！那誰能把這一方法作系統(tǒng)性的表述？

生19：（1）作線段AB=a，以AB為邊作等邊△ABC；

（2）分別作∠A、∠B的角平分線，兩線交于點(diǎn)O；

（3）分別作AO、BO的中垂線MP、NQ依次交AB于點(diǎn)M、點(diǎn)N.

則點(diǎn)M、點(diǎn)N即為AB的三等分點(diǎn).

師：層次清晰，說得很好！“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)工夫”，一個(gè)題目的解決順便獲得了一個(gè)經(jīng)典的尺規(guī)“三等分線段”的方法.我們知道，原來只能用尺規(guī)把線段2等分、4等分……，現(xiàn)在可以用尺規(guī)把線段3等分了，這可是一個(gè)很大的收獲！

（教學(xué)說明：畫圖是學(xué)習(xí)圖形的開始，通過尺規(guī)作圖，一步一步把圖形分解，緩?fù)坡M(jìn)，細(xì)化了學(xué)生的所視、所想，完整體驗(yàn)了圖形的形成過程，這種審題是徹底的、通透的，若直接觀察圖形，往往由于線的縱橫交錯(cuò)，理不出頭緒，思路不好形成.但一步一步的作圖不然，邊做邊想，知識(shí)不斷回旋于大腦，在回旋中重組，形成解題的基本思路，這種方法其實(shí)也是拉長(zhǎng)過程的方法，是一種慢的浸潤(rùn)，也是學(xué)生深入認(rèn)識(shí)圖形的開始，是“做中學(xué)”的真實(shí)體現(xiàn)?。?/p>

2.再觀圖形，再現(xiàn)風(fēng)景

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)上述作圖過程，借助終結(jié)圖（請(qǐng)參照?qǐng)D1）設(shè)計(jì)自己的問題？

（設(shè)計(jì)說明：這一開放性的設(shè)計(jì)意在再次激發(fā)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)欲，對(duì)學(xué)生而言，問題自己提能滿足他們“自己是創(chuàng)造者”的心理需求，打開他們思維的閘門，把思考引向深入，讓學(xué)生在問題的解答中暴露思維過程，能更好地落實(shí)以學(xué)定教.）

生20：證明點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別是AC、BC的三等分點(diǎn)；

生21：若PM、QN的交點(diǎn)為F，則△MNF為正三角形；

生22：找出圖中所有的正三角形；

生23：連結(jié)CO交AB于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為M、N的中點(diǎn)；

生24：點(diǎn)P、O、Q三點(diǎn)共線；

生25：若把“等邊△ABC”改為“等腰△ABC（AC=BC）”時(shí)，原題的結(jié)論是否還成立？

生26：有沒有其他的三等分線段的尺規(guī)作圖法？

師：請(qǐng)全體同學(xué)獨(dú)立解答問題.20-24

學(xué)生解答較順利，少數(shù)同學(xué)在生24的問題上出現(xiàn)偏差，以下略作說明：

生20的問題，只要證出△AMP與△BNQ均為等邊三角形即可；

生21的問題承接上一問題用對(duì)頂角相等即得；

生22的問題可以說水到渠成，三個(gè)等邊三角形已經(jīng)證出；

生23的問題用三線合一直接得出；

生24的問題，少數(shù)同學(xué)不知道三點(diǎn)共線怎樣證而受阻，根據(jù)所學(xué)證明∠POQ是平角是好理解的方法.

師：5個(gè)問題得到了解決，等邊三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、角分線、中垂線等核心知識(shí)再次得到歷練，尤其是三點(diǎn)共線的證明方法得到鞏固，很不錯(cuò)，下面我們先獨(dú)立思考一下生25、生26的問題，看誰能第一個(gè)解決？

生25的問題在3分鐘后大部分同學(xué)獲解：結(jié)論不再成立，不過能保證AM=BN.

生26的問題陷入窘境，由于利用現(xiàn)有知識(shí)我們無力解決，筆者在學(xué)生思考2分鐘未果后及時(shí)作了說明：這個(gè)問題提得很好，但由于我們現(xiàn)有知識(shí)的儲(chǔ)備不足，這個(gè)問題暫時(shí)解決不了，等我們學(xué)過重心的性質(zhì)及平行線等分線段的知識(shí)后，我相信同學(xué)們會(huì)想出自己的妙法！

（教學(xué)說明：當(dāng)整個(gè)圖形呈現(xiàn)出來后，由于視角的差異，問題提出的角度會(huì)各不相同，正是這種發(fā)散式思維，激發(fā)了學(xué)生的問題意識(shí)，學(xué)生競(jìng)相發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，學(xué)生的思維浪花在一個(gè)個(gè)問題激蕩下飛濺，并在此基礎(chǔ)上組織全體同學(xué)分析問題、解決問題，不斷輪回于合情推理與邏輯推理，促進(jìn)了學(xué)生的思維延伸，收獲了更多的思維產(chǎn)品.這種基于再發(fā)現(xiàn)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)讓學(xué)生信心倍增，成果迭出，尤其是生25、26提出的問題具有一定的拓展性和挑戰(zhàn)性，把思維由開闊地引向了深水區(qū)，但由于問題26暫時(shí)不可解，筆者在褒揚(yáng)生26提出的問題有價(jià)值外，適時(shí)收了口，確保了課堂的經(jīng)濟(jì)效益.）

3.個(gè)性解讀，畫龍點(diǎn)睛

（設(shè)計(jì)說明：當(dāng)我們匆匆攀到山頂后，若不及時(shí)回顧自己的來路，有的路線很容易淡忘、消失，但若適時(shí)反觀，把歷程回溯，就能沉淀下來，成為自己的一份經(jīng)驗(yàn).學(xué)習(xí)莫不如此，經(jīng)過反思的知能經(jīng)驗(yàn)，其遷移能力才更強(qiáng)?。?/p>

師：請(qǐng)同學(xué)們回顧今天的學(xué)習(xí)歷程，從下面的幾個(gè)關(guān)鍵詞中選擇一個(gè)或幾個(gè)，并做出自己的解讀：

作圖、等邊三角形、尺規(guī)等分線段、線段相等證明法

生27：我選擇“作圖”，本節(jié)課我們?cè)俅握J(rèn)識(shí)了三種基本作圖：（1）作線段等于已知線段；（2）作角的平分線；（3）作線段的中垂線，另外我新認(rèn)識(shí)了用尺規(guī)三等分線段.

生28：我選擇“等邊三角形”，它是三角形中最特殊的圖形，三邊相等、三角相等，三組三線合一、是軸對(duì)稱圖形且有三條對(duì)稱軸等特征.它的判定方法有兩個(gè)：三個(gè)角相等；有一個(gè)為60°的等腰三角形.

生29：我選擇“尺規(guī)等分線段”：用作線段的中垂線可以把線段2等分，進(jìn)一步2n等分，現(xiàn)在又知道了三等分線段.

生30：我選擇“線段相等證明法”：到現(xiàn)在我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了4種證明線段相等的方法，一是全等法；二是角平分線的性質(zhì)；三是中垂線的性質(zhì)；四是等角對(duì)等邊.endprint

師：都說得很到位，誰還有補(bǔ)充？

生31：關(guān)于線段相等，我還有一個(gè)方法：等腰三角形的“三線合一”也能證明線段相等.

師：補(bǔ)充的很好！哪一位同學(xué)還有說法？

生32：我以為基本圖形很重要，這節(jié)課我加深了對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)：中垂線的基本圖、角平分線的基本圖、等腰（邊）三角形基本圖

師：這位同學(xué)的認(rèn)識(shí)更深刻，對(duì)學(xué)習(xí)幾何圖形而言，模型意識(shí)很關(guān)鍵，眼中有圖、胸中有知、心中有法，再?gòu)?fù)雜的問題也會(huì)化解！

由于時(shí)間關(guān)系，我們就不再交流了，可以看出，通過作圖我們把一個(gè)題目進(jìn)行了分解，一步一步把等邊三角形、角分線、中垂線、全等三角形等知識(shí)做了一個(gè)大盤點(diǎn)，熟練了作圖、等線段證明等方法，進(jìn)一步豐富了學(xué)生解題的基本經(jīng)驗(yàn)，鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

（教學(xué)說明：通過選擇關(guān)鍵詞的方式，激發(fā)了學(xué)生參與的積極性，另外，給出關(guān)鍵詞，給學(xué)生以梳理的導(dǎo)引，指向本節(jié)課的關(guān)鍵點(diǎn)，這種放而有收的總結(jié)方式，調(diào)適好了價(jià)值的走向，是講效率、見效益的舉措，學(xué)生的你言我語(yǔ)，個(gè)性解讀，筆者的點(diǎn)睛之筆，都得到了較好的落實(shí).）

4.分層作業(yè)，自主選擇

必做：用我們本節(jié)課使用的作圖分解圖形法，解決以下問題：

教學(xué)后思

1.選題——豐富的內(nèi)涵、豐盈的思想

偉大的數(shù)學(xué)教育家波利亞主張：與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地.筆者銘記大家的教誨，做了以上教學(xué)的嘗試，通過精挑細(xì)選，鎖定了一道背景為正三角形的題目，通過挖掘題目的內(nèi)涵，揭示出問題的多維價(jià)值，意圖承載起教學(xué)的設(shè)定目標(biāo).這恰如烹制美味，要成就滿桌鮮，只有大廚的神思妙手尚不夠，還需要有優(yōu)質(zhì)的食材！因此，選好題是教學(xué)有效實(shí)施的物質(zhì)基礎(chǔ).

2.畫圖——可感的操作、可視的思維

一步一景，景隨步幽，一尺一規(guī)，線線親歷，弧弧親為，圖形遂成，感受莫深.圖形在動(dòng)態(tài)操作中豐滿，內(nèi)涵在靜態(tài)思考中豐盈，思維在可感可觸的視境中延伸，回想、聯(lián)想、猜想交相輝映，彈奏出課堂上師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的和聲，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的神經(jīng)在老師創(chuàng)設(shè)的開放情境下給撥弄起來，老師在其中適切的“邊鼓”語(yǔ)，時(shí)時(shí)激發(fā)著學(xué)生的參與熱情，調(diào)節(jié)了問題探研的基本走向，使得生成有效服務(wù)于老師的精心預(yù)設(shè).有數(shù)學(xué)的智趣，有課堂的樂趣，輕松中不乏挑戰(zhàn)，可感、可視的作圖是深度的審題活動(dòng)，這種細(xì)化助力于學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)，能讓不同層次的學(xué)生都有話可說，是教學(xué)逐步展開的外顯載體.

3.主導(dǎo)——發(fā)現(xiàn)的引擎、價(jià)值的引領(lǐng)

蘇格拉底的一句經(jīng)典名言：“思想應(yīng)當(dāng)誕生在學(xué)生的心里，教師僅僅應(yīng)當(dāng)像助產(chǎn)士那樣辦事.”道出了教師的主導(dǎo)定位——助產(chǎn)士！那教師的主導(dǎo)作用具體體現(xiàn)在哪里？就是在課堂上能洞察時(shí)事，根據(jù)學(xué)生的思維動(dòng)向，巧妙地穿針引線，組織起多維對(duì)話，在對(duì)話中讓學(xué)生把自己的想法、思路盡情地展示出來，能有效避免因?qū)W生知能不足而導(dǎo)致問題不了了之甚至將錯(cuò)就錯(cuò).教師恰如其分的點(diǎn)撥，往往能激蕩出學(xué)生的思維智慧，讓學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造，共享成果.本節(jié)課中，筆者沒有多少話語(yǔ)，而是在傾聽著學(xué)生課堂上的聲音，同學(xué)們之間平等交流、真誠(chéng)對(duì)話、思維碰撞.不難看出，整個(gè)題目均由學(xué)生自主完成并表述依據(jù)，筆者只是在必要時(shí)推波助瀾：拋一個(gè)“海問”，引發(fā)學(xué)生的多向思維，誘動(dòng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；來一個(gè)短評(píng)，或賞識(shí)或督促，激發(fā)起學(xué)生的斗志，調(diào)節(jié)著課堂的節(jié)奏；適時(shí)的點(diǎn)睛，明晰了價(jià)值取向，凝聚了思想方法，提升了認(rèn)知層次.可以說有效發(fā)揮了組織者、指導(dǎo)者、欣賞者的主導(dǎo)作用，使得這種主導(dǎo)成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的引擎，并對(duì)題目的教學(xué)價(jià)值定位做了方向性引領(lǐng).endprint

師：都說得很到位，誰還有補(bǔ)充？

生31：關(guān)于線段相等，我還有一個(gè)方法：等腰三角形的“三線合一”也能證明線段相等.

師：補(bǔ)充的很好！哪一位同學(xué)還有說法？

生32：我以為基本圖形很重要，這節(jié)課我加深了對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)：中垂線的基本圖、角平分線的基本圖、等腰（邊）三角形基本圖

師：這位同學(xué)的認(rèn)識(shí)更深刻，對(duì)學(xué)習(xí)幾何圖形而言，模型意識(shí)很關(guān)鍵，眼中有圖、胸中有知、心中有法，再?gòu)?fù)雜的問題也會(huì)化解！

由于時(shí)間關(guān)系，我們就不再交流了，可以看出，通過作圖我們把一個(gè)題目進(jìn)行了分解，一步一步把等邊三角形、角分線、中垂線、全等三角形等知識(shí)做了一個(gè)大盤點(diǎn)，熟練了作圖、等線段證明等方法，進(jìn)一步豐富了學(xué)生解題的基本經(jīng)驗(yàn)，鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

（教學(xué)說明：通過選擇關(guān)鍵詞的方式，激發(fā)了學(xué)生參與的積極性，另外，給出關(guān)鍵詞，給學(xué)生以梳理的導(dǎo)引，指向本節(jié)課的關(guān)鍵點(diǎn)，這種放而有收的總結(jié)方式，調(diào)適好了價(jià)值的走向，是講效率、見效益的舉措，學(xué)生的你言我語(yǔ)，個(gè)性解讀，筆者的點(diǎn)睛之筆，都得到了較好的落實(shí).）

4.分層作業(yè)，自主選擇

必做：用我們本節(jié)課使用的作圖分解圖形法，解決以下問題：

教學(xué)后思

1.選題——豐富的內(nèi)涵、豐盈的思想

偉大的數(shù)學(xué)教育家波利亞主張：與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地.筆者銘記大家的教誨，做了以上教學(xué)的嘗試，通過精挑細(xì)選，鎖定了一道背景為正三角形的題目，通過挖掘題目的內(nèi)涵，揭示出問題的多維價(jià)值，意圖承載起教學(xué)的設(shè)定目標(biāo).這恰如烹制美味，要成就滿桌鮮，只有大廚的神思妙手尚不夠，還需要有優(yōu)質(zhì)的食材！因此，選好題是教學(xué)有效實(shí)施的物質(zhì)基礎(chǔ).

2.畫圖——可感的操作、可視的思維

一步一景，景隨步幽，一尺一規(guī)，線線親歷，弧弧親為，圖形遂成，感受莫深.圖形在動(dòng)態(tài)操作中豐滿，內(nèi)涵在靜態(tài)思考中豐盈，思維在可感可觸的視境中延伸，回想、聯(lián)想、猜想交相輝映，彈奏出課堂上師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的和聲，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的神經(jīng)在老師創(chuàng)設(shè)的開放情境下給撥弄起來，老師在其中適切的“邊鼓”語(yǔ)，時(shí)時(shí)激發(fā)著學(xué)生的參與熱情，調(diào)節(jié)了問題探研的基本走向，使得生成有效服務(wù)于老師的精心預(yù)設(shè).有數(shù)學(xué)的智趣，有課堂的樂趣，輕松中不乏挑戰(zhàn)，可感、可視的作圖是深度的審題活動(dòng)，這種細(xì)化助力于學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)，能讓不同層次的學(xué)生都有話可說，是教學(xué)逐步展開的外顯載體.

3.主導(dǎo)——發(fā)現(xiàn)的引擎、價(jià)值的引領(lǐng)

蘇格拉底的一句經(jīng)典名言：“思想應(yīng)當(dāng)誕生在學(xué)生的心里，教師僅僅應(yīng)當(dāng)像助產(chǎn)士那樣辦事.”道出了教師的主導(dǎo)定位——助產(chǎn)士！那教師的主導(dǎo)作用具體體現(xiàn)在哪里？就是在課堂上能洞察時(shí)事，根據(jù)學(xué)生的思維動(dòng)向，巧妙地穿針引線，組織起多維對(duì)話，在對(duì)話中讓學(xué)生把自己的想法、思路盡情地展示出來，能有效避免因?qū)W生知能不足而導(dǎo)致問題不了了之甚至將錯(cuò)就錯(cuò).教師恰如其分的點(diǎn)撥，往往能激蕩出學(xué)生的思維智慧，讓學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造，共享成果.本節(jié)課中，筆者沒有多少話語(yǔ)，而是在傾聽著學(xué)生課堂上的聲音，同學(xué)們之間平等交流、真誠(chéng)對(duì)話、思維碰撞.不難看出，整個(gè)題目均由學(xué)生自主完成并表述依據(jù)，筆者只是在必要時(shí)推波助瀾：拋一個(gè)“海問”，引發(fā)學(xué)生的多向思維，誘動(dòng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；來一個(gè)短評(píng)，或賞識(shí)或督促，激發(fā)起學(xué)生的斗志，調(diào)節(jié)著課堂的節(jié)奏；適時(shí)的點(diǎn)睛，明晰了價(jià)值取向，凝聚了思想方法，提升了認(rèn)知層次.可以說有效發(fā)揮了組織者、指導(dǎo)者、欣賞者的主導(dǎo)作用，使得這種主導(dǎo)成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的引擎，并對(duì)題目的教學(xué)價(jià)值定位做了方向性引領(lǐng).endprint

師：都說得很到位，誰還有補(bǔ)充？

生31：關(guān)于線段相等，我還有一個(gè)方法：等腰三角形的“三線合一”也能證明線段相等.

師：補(bǔ)充的很好！哪一位同學(xué)還有說法？

生32：我以為基本圖形很重要，這節(jié)課我加深了對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)：中垂線的基本圖、角平分線的基本圖、等腰（邊）三角形基本圖

師：這位同學(xué)的認(rèn)識(shí)更深刻，對(duì)學(xué)習(xí)幾何圖形而言，模型意識(shí)很關(guān)鍵，眼中有圖、胸中有知、心中有法，再?gòu)?fù)雜的問題也會(huì)化解！

由于時(shí)間關(guān)系，我們就不再交流了，可以看出，通過作圖我們把一個(gè)題目進(jìn)行了分解，一步一步把等邊三角形、角分線、中垂線、全等三角形等知識(shí)做了一個(gè)大盤點(diǎn)，熟練了作圖、等線段證明等方法，進(jìn)一步豐富了學(xué)生解題的基本經(jīng)驗(yàn)，鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

（教學(xué)說明：通過選擇關(guān)鍵詞的方式，激發(fā)了學(xué)生參與的積極性，另外，給出關(guān)鍵詞，給學(xué)生以梳理的導(dǎo)引，指向本節(jié)課的關(guān)鍵點(diǎn)，這種放而有收的總結(jié)方式，調(diào)適好了價(jià)值的走向，是講效率、見效益的舉措，學(xué)生的你言我語(yǔ)，個(gè)性解讀，筆者的點(diǎn)睛之筆，都得到了較好的落實(shí).）

4.分層作業(yè)，自主選擇

必做：用我們本節(jié)課使用的作圖分解圖形法，解決以下問題：

教學(xué)后思

1.選題——豐富的內(nèi)涵、豐盈的思想

偉大的數(shù)學(xué)教育家波利亞主張：與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地.筆者銘記大家的教誨，做了以上教學(xué)的嘗試，通過精挑細(xì)選，鎖定了一道背景為正三角形的題目，通過挖掘題目的內(nèi)涵，揭示出問題的多維價(jià)值，意圖承載起教學(xué)的設(shè)定目標(biāo).這恰如烹制美味，要成就滿桌鮮，只有大廚的神思妙手尚不夠，還需要有優(yōu)質(zhì)的食材！因此，選好題是教學(xué)有效實(shí)施的物質(zhì)基礎(chǔ).

2.畫圖——可感的操作、可視的思維

一步一景，景隨步幽，一尺一規(guī)，線線親歷，弧弧親為，圖形遂成，感受莫深.圖形在動(dòng)態(tài)操作中豐滿，內(nèi)涵在靜態(tài)思考中豐盈，思維在可感可觸的視境中延伸，回想、聯(lián)想、猜想交相輝映，彈奏出課堂上師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的和聲，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的神經(jīng)在老師創(chuàng)設(shè)的開放情境下給撥弄起來，老師在其中適切的“邊鼓”語(yǔ)，時(shí)時(shí)激發(fā)著學(xué)生的參與熱情，調(diào)節(jié)了問題探研的基本走向，使得生成有效服務(wù)于老師的精心預(yù)設(shè).有數(shù)學(xué)的智趣，有課堂的樂趣，輕松中不乏挑戰(zhàn)，可感、可視的作圖是深度的審題活動(dòng)，這種細(xì)化助力于學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)，能讓不同層次的學(xué)生都有話可說，是教學(xué)逐步展開的外顯載體.

3.主導(dǎo)——發(fā)現(xiàn)的引擎、價(jià)值的引領(lǐng)

蘇格拉底的一句經(jīng)典名言：“思想應(yīng)當(dāng)誕生在學(xué)生的心里，教師僅僅應(yīng)當(dāng)像助產(chǎn)士那樣辦事.”道出了教師的主導(dǎo)定位——助產(chǎn)士！那教師的主導(dǎo)作用具體體現(xiàn)在哪里？就是在課堂上能洞察時(shí)事，根據(jù)學(xué)生的思維動(dòng)向，巧妙地穿針引線，組織起多維對(duì)話，在對(duì)話中讓學(xué)生把自己的想法、思路盡情地展示出來，能有效避免因?qū)W生知能不足而導(dǎo)致問題不了了之甚至將錯(cuò)就錯(cuò).教師恰如其分的點(diǎn)撥，往往能激蕩出學(xué)生的思維智慧，讓學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造，共享成果.本節(jié)課中，筆者沒有多少話語(yǔ)，而是在傾聽著學(xué)生課堂上的聲音，同學(xué)們之間平等交流、真誠(chéng)對(duì)話、思維碰撞.不難看出，整個(gè)題目均由學(xué)生自主完成并表述依據(jù)，筆者只是在必要時(shí)推波助瀾：拋一個(gè)“海問”，引發(fā)學(xué)生的多向思維，誘動(dòng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；來一個(gè)短評(píng)，或賞識(shí)或督促，激發(fā)起學(xué)生的斗志，調(diào)節(jié)著課堂的節(jié)奏；適時(shí)的點(diǎn)睛，明晰了價(jià)值取向，凝聚了思想方法，提升了認(rèn)知層次.可以說有效發(fā)揮了組織者、指導(dǎo)者、欣賞者的主導(dǎo)作用，使得這種主導(dǎo)成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的引擎，并對(duì)題目的教學(xué)價(jià)值定位做了方向性引領(lǐng).endprint