最短距離 ?？汲Ｐ?/h1>
2014-10-22 06:14張青云
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2014年5期
張青云
在平面圖形中研究最短距離問題，是近年來各地中考命題的熱點.2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長.本文嘗試對該題進(jìn)行一些探討評析，供同行研討.1 考題展示與思路探討
題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過點A、B，頂點為C.點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點.
（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo).
（2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.
2 考題特點評析
2.1 能力要求層次分明，知識點交匯相融
本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識，研究拋物線上動點坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.如果學(xué)生之前沒有積累一定量的解決最短路徑問題的經(jīng)驗，那毫無疑義在考場上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對應(yīng)的知識點主要有：軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時，在各小問知識點之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.
2.2 源于課本，拓展教材思維空間
第（3）問“四邊形周長最短問題”其實是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級上冊“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題”.類比教材86頁的“造橋選址問題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對稱軸，作點A的對稱點A′，則問題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問本質(zhì)上就是“造橋選址問題”，其解決的基本策略就是利用軸對稱和平移的知識，將問題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考
3.1 提高對“綜合與實踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識
本題第（3）問從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四部分.就“綜合與實踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識和方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動.在教材形式上，綜合與實踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問題”，正是人教修訂版教材中新增的一個課題學(xué)習(xí)活動.在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動的有效開展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，也能積累并創(chuàng)造出解決實際問題的經(jīng)驗與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.
3.2 注重對解題基本模式的整理積累
羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識別”的過程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問題.在每個人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來，這就是模式識別.”比如本題的最短周長，說千道萬，最后終歸落幕于“最短距離問題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint
在平面圖形中研究最短距離問題，是近年來各地中考命題的熱點.2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長.本文嘗試對該題進(jìn)行一些探討評析，供同行研討.1 考題展示與思路探討
題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過點A、B，頂點為C.點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點.
（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo).
（2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.
2 考題特點評析
2.1 能力要求層次分明，知識點交匯相融
本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識，研究拋物線上動點坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.如果學(xué)生之前沒有積累一定量的解決最短路徑問題的經(jīng)驗，那毫無疑義在考場上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對應(yīng)的知識點主要有：軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時，在各小問知識點之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.
2.2 源于課本，拓展教材思維空間
第（3）問“四邊形周長最短問題”其實是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級上冊“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題”.類比教材86頁的“造橋選址問題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對稱軸，作點A的對稱點A′，則問題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問本質(zhì)上就是“造橋選址問題”，其解決的基本策略就是利用軸對稱和平移的知識，將問題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考
3.1 提高對“綜合與實踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識
本題第（3）問從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四部分.就“綜合與實踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識和方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動.在教材形式上，綜合與實踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問題”，正是人教修訂版教材中新增的一個課題學(xué)習(xí)活動.在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動的有效開展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，也能積累并創(chuàng)造出解決實際問題的經(jīng)驗與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.
3.2 注重對解題基本模式的整理積累
羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識別”的過程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問題.在每個人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來，這就是模式識別.”比如本題的最短周長，說千道萬，最后終歸落幕于“最短距離問題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint
在平面圖形中研究最短距離問題，是近年來各地中考命題的熱點.2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長.本文嘗試對該題進(jìn)行一些探討評析，供同行研討.1 考題展示與思路探討
題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過點A、B，頂點為C.點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點.
（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo).
（2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.
2 考題特點評析
2.1 能力要求層次分明，知識點交匯相融
本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識，研究拋物線上動點坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.如果學(xué)生之前沒有積累一定量的解決最短路徑問題的經(jīng)驗，那毫無疑義在考場上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對應(yīng)的知識點主要有：軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時，在各小問知識點之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.
2.2 源于課本，拓展教材思維空間
第（3）問“四邊形周長最短問題”其實是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級上冊“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題”.類比教材86頁的“造橋選址問題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對稱軸，作點A的對稱點A′，則問題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問本質(zhì)上就是“造橋選址問題”，其解決的基本策略就是利用軸對稱和平移的知識，將問題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考
3.1 提高對“綜合與實踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識
本題第（3）問從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四部分.就“綜合與實踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識和方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動.在教材形式上，綜合與實踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問題”，正是人教修訂版教材中新增的一個課題學(xué)習(xí)活動.在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動的有效開展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，也能積累并創(chuàng)造出解決實際問題的經(jīng)驗與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.
3.2 注重對解題基本模式的整理積累
羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識別”的過程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問題.在每個人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來，這就是模式識別.”比如本題的最短周長，說千道萬，最后終歸落幕于“最短距離問題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint
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張青云
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（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo).
（2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.
2 考題特點評析
2.1 能力要求層次分明，知識點交匯相融
本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識，研究拋物線上動點坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.如果學(xué)生之前沒有積累一定量的解決最短路徑問題的經(jīng)驗，那毫無疑義在考場上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對應(yīng)的知識點主要有：軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時，在各小問知識點之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.
2.2 源于課本，拓展教材思維空間
第（3）問“四邊形周長最短問題”其實是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級上冊“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題”.類比教材86頁的“造橋選址問題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對稱軸，作點A的對稱點A′，則問題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問本質(zhì)上就是“造橋選址問題”，其解決的基本策略就是利用軸對稱和平移的知識，將問題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考
3.1 提高對“綜合與實踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識
本題第（3）問從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四部分.就“綜合與實踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識和方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動.在教材形式上，綜合與實踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問題”，正是人教修訂版教材中新增的一個課題學(xué)習(xí)活動.在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動的有效開展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，也能積累并創(chuàng)造出解決實際問題的經(jīng)驗與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.
3.2 注重對解題基本模式的整理積累
羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識別”的過程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問題.在每個人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來，這就是模式識別.”比如本題的最短周長，說千道萬，最后終歸落幕于“最短距離問題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint
在平面圖形中研究最短距離問題，是近年來各地中考命題的熱點.2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長.本文嘗試對該題進(jìn)行一些探討評析，供同行研討.1 考題展示與思路探討
題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過點A、B，頂點為C.點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點.
（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo).
（2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.
2 考題特點評析
2.1 能力要求層次分明，知識點交匯相融
本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識，研究拋物線上動點坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.如果學(xué)生之前沒有積累一定量的解決最短路徑問題的經(jīng)驗，那毫無疑義在考場上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對應(yīng)的知識點主要有：軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時，在各小問知識點之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.
2.2 源于課本，拓展教材思維空間
第（3）問“四邊形周長最短問題”其實是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級上冊“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題”.類比教材86頁的“造橋選址問題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對稱軸，作點A的對稱點A′，則問題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問本質(zhì)上就是“造橋選址問題”，其解決的基本策略就是利用軸對稱和平移的知識，將問題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考
3.1 提高對“綜合與實踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識
本題第（3）問從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四部分.就“綜合與實踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識和方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動.在教材形式上，綜合與實踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問題”，正是人教修訂版教材中新增的一個課題學(xué)習(xí)活動.在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動的有效開展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，也能積累并創(chuàng)造出解決實際問題的經(jīng)驗與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.
3.2 注重對解題基本模式的整理積累
羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識別”的過程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問題.在每個人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來，這就是模式識別.”比如本題的最短周長，說千道萬，最后終歸落幕于“最短距離問題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint
在平面圖形中研究最短距離問題，是近年來各地中考命題的熱點.2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長.本文嘗試對該題進(jìn)行一些探討評析，供同行研討.1 考題展示與思路探討
題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過點A、B，頂點為C.點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點.
（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo).
（2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.
2 考題特點評析
2.1 能力要求層次分明，知識點交匯相融
本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識，研究拋物線上動點坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.如果學(xué)生之前沒有積累一定量的解決最短路徑問題的經(jīng)驗，那毫無疑義在考場上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對應(yīng)的知識點主要有：軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時，在各小問知識點之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.
2.2 源于課本，拓展教材思維空間
第（3）問“四邊形周長最短問題”其實是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級上冊“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題”.類比教材86頁的“造橋選址問題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對稱軸，作點A的對稱點A′，則問題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問本質(zhì)上就是“造橋選址問題”，其解決的基本策略就是利用軸對稱和平移的知識，將問題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考
3.1 提高對“綜合與實踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識
本題第（3）問從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四部分.就“綜合與實踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識和方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動.在教材形式上，綜合與實踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問題”，正是人教修訂版教材中新增的一個課題學(xué)習(xí)活動.在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動的有效開展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，也能積累并創(chuàng)造出解決實際問題的經(jīng)驗與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.
3.2 注重對解題基本模式的整理積累
羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識別”的過程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問題.在每個人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來，這就是模式識別.”比如本題的最短周長，說千道萬，最后終歸落幕于“最短距離問題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint
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