【摘要】2011年某數(shù)學(xué)雜志上有一篇文章中提出了兩個(gè)不等式猜想至今未得到證明，本文首先給出了這兩個(gè)不等式的更一般的形式，將其歸為同一類，然后抓住問(wèn)題的具體特點(diǎn)和規(guī)律，巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析，同時(shí)使用“條件配湊”和“解析式配湊”的解題方法，給出了這類不等式猜想的一個(gè)非常精彩的證明.

【關(guān)鍵詞】不等式猜想;推廣;證明;“條件配湊”;“解析式配湊”

江西師范大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2011年第1期上的一篇文章《若干代數(shù)不等式的思考》（作者：宋慶）中提出了兩個(gè)不等式猜想：

若a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)（至多一個(gè)為0），則：

a2+49bcb2+c2+b2+49cac2+a2+c2+49aba2+b2≥33494;

a2+256bcb2+c2+b2+256cac2+a2+c2+256aba2+b2≥12.

這兩個(gè)不等式猜想至今沒(méi)有人給出證明.下面先給出這兩個(gè)不等式的更一般的形式，然后再作分析和證明.

【推廣命題】若a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)（至多一個(gè)為0），k≥274，則：

a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2≥33k24

（當(dāng)一個(gè)變量為0，另兩個(gè)變量的平方和除以它們的積所得商等于原不等式右邊的三分之一時(shí)取等號(hào)）.

【分析】這是一個(gè)對(duì)稱不等式，對(duì)于對(duì)稱不等式，有兩個(gè)特殊情況，一是對(duì)稱的幾個(gè)變量相等，另一個(gè)是幾個(gè)對(duì)稱變量中的某一個(gè)或若干個(gè)為零.考慮到不等式中的幾個(gè)變量是對(duì)稱的，不妨設(shè)c≥b≥a≥0.先考慮三個(gè)變量之間的差距最小即a=b=c這一特殊情況，這時(shí)不等式的左邊=15，遠(yuǎn)大于33494，所以放棄對(duì)這一情況的討論.再考慮三個(gè)變量中有為零的情況，根據(jù)條件和假設(shè)，這里只可能是a=0，這時(shí)

不等式的左邊=k2bcb2+c2+bc+cb

=k2bcb2+c2+k2bcb2+c2+b2+c2bc（據(jù)原不等式右式的特點(diǎn)配湊數(shù)學(xué)式子）

≥33k2bcb2+c2·k2bcb2+c2·b2+c2bc=33k24.

有戲！但問(wèn)題是需要a=0.此時(shí)能證明不等式的關(guān)鍵是，由a=0，我們得到了k2bcb2+c2+bc+cb.除了a=0，還有其他情況能得到k2bcb2+c2+bc+cb嗎？由于a2+k2bcb2+c2≥k2bcb2+c2是顯然的，所以我們考慮在什么條件下有：

b2+k2cac2+a2≥bc，c2+k2aba2+b2≥cb.

分析這兩個(gè)不等式，并考慮到c≥b≥a≥0，不難發(fā)現(xiàn)，配上條件a≤k2b3c2就可以了，至于a>k2b3c2的情況可另行證明.到此，本不等式的證明思路基本明了.

【證明】不妨設(shè)c≥b≥a.分兩個(gè)情況討論：

（1）若a>k2b3c2（條件配湊），則

a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2>c2+k2aba2+b2>c2+k2·k2b3c2·bb2+b2≥2k2b22b2=k>33k24（因?yàn)閗≥274）.

（2）若0≤a≤k2b3c2，

則再由c≥b≥a知：k2b3c2≤k2c3b2，所以a≤k2c3b2.

由a≤k2b3c2得k2ab≥c2a2b2，

將c2+k2aba2+b2中的k2ab換成c2a2b2可得：

c2+k2aba2+b2≥cb（當(dāng)且僅當(dāng)a=k2b3c2或a=0時(shí)取“=”）.

由a≤k2c3b2，用類似的方法可得：

b2+k2cac2+a2≥bc（當(dāng)且僅當(dāng)a=k2c3b2或a=0時(shí)取“=”），

又a2+k2bcb2+c2≥k2bcb2+c2（當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取“=”）.

∴a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2≥k2bcb2+c2+bc+cb

=k2bcb2+c2+k2bcb2+c2+b2+c2bc（解析式配湊）

≥33k2bcb2+c2·k2bcb2+c2·b2+c2bc

=33k24（當(dāng)k2bcb2+c2=b2+c2bc，即b2+c2bc=3k24，且a=0時(shí)取“=”）.

在上面的證明過(guò)程中，主要用到以下幾種數(shù)學(xué)思想方法和技巧：一是抓住問(wèn)題的特征和規(guī)律.二是從特殊情況入手尋找解題途徑.三是充分利用條件和假設(shè)放大不等式.四是瞄準(zhǔn)目標(biāo)進(jìn)行條件配湊和解析式配湊來(lái)證明結(jié)論.對(duì)于對(duì)稱不等式，根據(jù)數(shù)學(xué)式子的特點(diǎn)和不等式成立的條件，尤其是證明過(guò)程中的變式目標(biāo)，用“配湊法”證明?？梢允箚?wèn)題得到快捷而美妙的解決.

【參考文獻(xiàn)】

[1]宋慶.若干代數(shù)不等式的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（1）.

[2]張家驥.用“配湊法”證明不等式[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（中國(guó)科協(xié)），2004（7）.