紀祥

人類擁有極高的智慧和豐富的思維能力。凱尼曼教授和他的同事特維斯基通過調查分析發(fā)現(xiàn)，人類并不能時刻保持思維清晰，當面臨不確定因素時，人類通常不會先去分析那些信息，或查找相關的數(shù)據(jù)，相反，他們更傾向于通過自己的直覺去判斷所面臨的問題，而最終的結果證明他們往往是錯的。下面的故事可以充分說明凱尼曼他們的發(fā)現(xiàn)。

在一個有50個學生的班級，美國斯坦福大學商學院的數(shù)學教授庫珀和他的學生打賭：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個人同月同日生。有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”幾個男學生舉起手來，另外七八個學生也掏出5美元扔在桌子上。有的學生暗想：一年365天，我們班只有50個同學，同一天生日的可能性也太小了，庫珀這不是白送錢嗎？

結果怎么樣呢？當然是教授贏了。教授用數(shù)學方法計算出50個人中沒有兩個人同一天生日的概率只有3%，而至少有兩個人同一天生日的概率就有97%，也就是說，教授贏的把握足足有九成以上。

凱尼曼教授最重要的成果是關于不確定情形下，人類如何作決策的研究，他證明了人類的決策行為如何系統(tǒng)性地偏離標準經(jīng)濟理論所預測的結果。那么凱尼曼心理學對概率教學到底有哪些影響呢？

一、代表性啟發(fā)的偏差

事實上，人們總是不自覺地根據(jù)已有經(jīng)驗和規(guī)律，為各類事物塑造了它們各自的原型。該原型具有本群體的最典型特征和最大代表性，做決策時，人們往往是將事物與各個原型相對照，一旦對照匹配相似，就將其歸入該原型所代表的范疇。由代表性啟發(fā)法造成的認知偏差基本就表現(xiàn)在以下幾個方面：對基率或者先驗概率敏感性低；結合效應和小數(shù)法則。

凱尼曼教授論證了在不確定情形下，人們在對事物的判斷上出現(xiàn)的一個基本偏差就是，人們應用小數(shù)法則，把從小樣本和大樣本中得到的經(jīng)驗平均值賦予相同的概率分布，因此違反了概率論中的大數(shù)法則。

經(jīng)常可以看到學生有以下的錯誤：在擲硬幣活動中，如果前面7次得到的結果都是正面，那么第8次的結果會如何？許多學生會認為結果更可能是反面。這種認識上的偏差就是應用了小數(shù)法則簡單地認為：8次試驗中應該是4次正面和4次反面，現(xiàn)在已經(jīng)知道前7次是正面，那么第8次出現(xiàn)反面的可能性就大了。其實大數(shù)法則是指在隨機試驗中，每次出現(xiàn)的結果不同，但是大量重復試驗出現(xiàn)的結果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來。大數(shù)法則中強調試驗次數(shù)的大量性，在很少的幾次試驗中，規(guī)律不一定顯現(xiàn)出來，也就是說，8次擲硬幣試驗中結果未必是4次正面和4次反面。

在教學過程中，教師有時也會不經(jīng)意用到應用小數(shù)法則。例如，為了向學生解釋“游戲的公平性”，在課堂上組織了摸球的游戲（學生在裝有4個白球、4個黃球的袋子里重復摸球30次）。10組學生匯報的白、黃球摸到的結果分別是：（15，15）、（17，13）、（12，18）、（11，19）、（15，15）、（16，14）、（11，19）、（12，18）、（17，13）、（15，15）（數(shù)據(jù)中的前一個數(shù)是白球被摸到的次數(shù)，后一個數(shù)是黃球被摸到的次數(shù)）。在最后總結結論時，教師卻只將其中的三組（15，15）的數(shù)據(jù)寫在了黑板上，并向學生提出問題：“通過這個游戲，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”有的學生說：“白球和黃球被摸到的次數(shù)是相等的。”教師很快地說：“通過游戲得到的結果可以說明這個游戲是公平的?！苯處煂ζ渌〗M的實驗結果再沒有繼續(xù)講解、說明。其實我們應該知道：在這個試驗中，重復摸球30次球，未必一定是15次白球和15次黃球，這個實驗結果發(fā)生的可能性是很小的。

小數(shù)法則也使得人們易于從一個短序列（小樣本）中過分地推斷潛在的大樣本的概率分布。我們都有過這樣的經(jīng)驗：如果一個人能連續(xù)幾次預測正確，那么我們就會相信他的判斷力，并且認為他下次的預測一定是正確的。

在實際教學過程中，一位三年級教師在講解“可能性”一課時，把學生分成4人一組，每組有3個黃球和1個紅球，每次摸一個球，摸10次，請學生先進行猜測。學生的猜測結果如下：（6，4）、（5，5）、（8，2）、（9，1）、（7，3）、（10，0）六種。操作結果情況如下：（8，2）、（7，3）、（8，2）、（7，3）、（5，5）、（7，3）、（8，2）、（5，5）。在課堂實驗結束后，教師提出問題：“誰的猜測是對的呢？”顯然，有兩組實際的結果是（5，5）。在實際數(shù)據(jù)面前，教師不得不承認（5，5）的估計也是很準的。事實上，教學中所用的實驗方法“每人做10次、20次，小組不過百次，全班不過千次”，根據(jù)大數(shù)定律，試驗的次數(shù)太小，不一定能說明問題，有時反而把學生弄糊涂了。

教學啟示：小學數(shù)學應該在一定的情況下滲透大數(shù)法則的思想。課堂上每組摸球30次，10個人合起來也不過300次，太少了。這時可以用計算機軟件解決這樣的問題：“要拋多少次才能判斷硬幣正面朝上接近1/2？”也可以通過數(shù)學史上一些著名數(shù)學家的擲硬幣的試驗結果，說明重復實驗次數(shù)越多，正面、反面的可能性就會趨向相等。

二、可得性啟發(fā)的偏差

當人們遇到未知事物沒有經(jīng)驗可循的時候，通常會根據(jù)該事物可想象的難易程度來判定它的發(fā)生概率。例如，從一個21人組成的樣本中抽取2人組織評委會和從一個同樣大的樣本中抽取19人組織評委會，問這兩種情況的組織方式各有多少種？這個問題讓兩組被試成員對上述兩種情況進行直覺判斷，他們都認為：第一種情況的結果要遠大于第二種情況的結果。而實際上，由任意兩人組成的一個評委會的同時，樣本中余下的19人也就相應地形成一個組織，所以這兩種情況下的答案應是相同的。而之所以會有這樣大的偏差，就是因為兩人的組成情況更容易在我們的想象中進行。

教學啟示：學生經(jīng)常會依靠直覺來解決一些看起來很簡單的問題，這是人的正常心理。教師對于看似簡單的概率問題，都存有如此“可怕”的錯誤，況且尚在成長過程中的學生。當學生被告知他們的答案是不正確時，他們的頭腦里一定會出現(xiàn)困惑與疑問，此時教師的工作就是讓學生經(jīng)歷復雜的數(shù)學思考，經(jīng)歷思維和智力的歷險，使他們對數(shù)學本質的理解更準確、更深入。

三、錨定啟發(fā)式的偏差

這種效應是凱尼曼和特維斯基早期在進行關于啟發(fā)式思維和認知偏差的研究中發(fā)現(xiàn)的。在他們的研究過程中，先讓接受測試者啟動未來之輪（一種上面有很多數(shù)字的轉盤，這些數(shù)字是隨機的），并看著轉盤上的數(shù)字，然后估計另外一個事件（比如，加入聯(lián)合國的非洲國家）的數(shù)量。凱尼曼和特維斯基對結果分析后發(fā)現(xiàn)，面對著有較小數(shù)字的轉盤，受試者估計了一個較小的數(shù)量，而面對具有較大數(shù)字的轉盤，受試者估計了一個較大的數(shù)量。

“錨定啟發(fā)式”是我們在作決策和判斷時經(jīng)常采用的一種方法，即先把自己“錨定”在某個事物上，然后再根據(jù)事物的特性進行判斷。

例如，擲一枚質地均勻的硬幣，隨著擲硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)恰好相等的概率又是怎樣的呢？我們認為隨著擲硬幣次數(shù)的增加，這個概率是增加的，因為這個事件發(fā)生的概率“錨定”在“擲硬幣次數(shù)越多，正反面出現(xiàn)的可能性都趨于二分之一”上。但實際結果卻與學生的判斷相反，擲硬幣2次時出現(xiàn)正反兩面各1次的概率是50%，擲6次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各3次的概率是31.26%，而擲10次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各5次的概率是24.62%，當擲100次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各50次的概率卻只有大約8%。

教學啟示：人們傾向于根據(jù)留在大腦里的最新信息片斷對事物做出決定，而不取決于這個信息是否與事件相關。但我們不能根據(jù)這些來武斷做決定，而要根據(jù)事實做分析。這種根據(jù)數(shù)學方法分析解決實際問題的能力是學生走上社會面對工作所必需的。學生學習概率的目的之一就是意識到概率和確定性數(shù)學一樣，是科學的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實世界中的眾多問題，從而逐漸樹立起新的信念。

總之，概率與確定性數(shù)學有許多不同之處，廣大教師必須掌握、弄懂有關概率的知識。同時，教師還必須了解相關的心理學知識，如凱尼曼心理學，這樣才能更好地開展概率內容的教學與研究，同時讓學習概率的心理體驗與理性思考成為解決不確定問題的有力武器。

（責編 金 鈴）endprint

人類擁有極高的智慧和豐富的思維能力。凱尼曼教授和他的同事特維斯基通過調查分析發(fā)現(xiàn)，人類并不能時刻保持思維清晰，當面臨不確定因素時，人類通常不會先去分析那些信息，或查找相關的數(shù)據(jù)，相反，他們更傾向于通過自己的直覺去判斷所面臨的問題，而最終的結果證明他們往往是錯的。下面的故事可以充分說明凱尼曼他們的發(fā)現(xiàn)。

在一個有50個學生的班級，美國斯坦福大學商學院的數(shù)學教授庫珀和他的學生打賭：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個人同月同日生。有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”幾個男學生舉起手來，另外七八個學生也掏出5美元扔在桌子上。有的學生暗想：一年365天，我們班只有50個同學，同一天生日的可能性也太小了，庫珀這不是白送錢嗎？

結果怎么樣呢？當然是教授贏了。教授用數(shù)學方法計算出50個人中沒有兩個人同一天生日的概率只有3%，而至少有兩個人同一天生日的概率就有97%，也就是說，教授贏的把握足足有九成以上。

凱尼曼教授最重要的成果是關于不確定情形下，人類如何作決策的研究，他證明了人類的決策行為如何系統(tǒng)性地偏離標準經(jīng)濟理論所預測的結果。那么凱尼曼心理學對概率教學到底有哪些影響呢？

一、代表性啟發(fā)的偏差

事實上，人們總是不自覺地根據(jù)已有經(jīng)驗和規(guī)律，為各類事物塑造了它們各自的原型。該原型具有本群體的最典型特征和最大代表性，做決策時，人們往往是將事物與各個原型相對照，一旦對照匹配相似，就將其歸入該原型所代表的范疇。由代表性啟發(fā)法造成的認知偏差基本就表現(xiàn)在以下幾個方面：對基率或者先驗概率敏感性低；結合效應和小數(shù)法則。

凱尼曼教授論證了在不確定情形下，人們在對事物的判斷上出現(xiàn)的一個基本偏差就是，人們應用小數(shù)法則，把從小樣本和大樣本中得到的經(jīng)驗平均值賦予相同的概率分布，因此違反了概率論中的大數(shù)法則。

經(jīng)常可以看到學生有以下的錯誤：在擲硬幣活動中，如果前面7次得到的結果都是正面，那么第8次的結果會如何？許多學生會認為結果更可能是反面。這種認識上的偏差就是應用了小數(shù)法則簡單地認為：8次試驗中應該是4次正面和4次反面，現(xiàn)在已經(jīng)知道前7次是正面，那么第8次出現(xiàn)反面的可能性就大了。其實大數(shù)法則是指在隨機試驗中，每次出現(xiàn)的結果不同，但是大量重復試驗出現(xiàn)的結果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來。大數(shù)法則中強調試驗次數(shù)的大量性，在很少的幾次試驗中，規(guī)律不一定顯現(xiàn)出來，也就是說，8次擲硬幣試驗中結果未必是4次正面和4次反面。

在教學過程中，教師有時也會不經(jīng)意用到應用小數(shù)法則。例如，為了向學生解釋“游戲的公平性”，在課堂上組織了摸球的游戲（學生在裝有4個白球、4個黃球的袋子里重復摸球30次）。10組學生匯報的白、黃球摸到的結果分別是：（15，15）、（17，13）、（12，18）、（11，19）、（15，15）、（16，14）、（11，19）、（12，18）、（17，13）、（15，15）（數(shù)據(jù)中的前一個數(shù)是白球被摸到的次數(shù)，后一個數(shù)是黃球被摸到的次數(shù)）。在最后總結結論時，教師卻只將其中的三組（15，15）的數(shù)據(jù)寫在了黑板上，并向學生提出問題：“通過這個游戲，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”有的學生說：“白球和黃球被摸到的次數(shù)是相等的?！苯處熀芸斓卣f：“通過游戲得到的結果可以說明這個游戲是公平的?！苯處煂ζ渌〗M的實驗結果再沒有繼續(xù)講解、說明。其實我們應該知道：在這個試驗中，重復摸球30次球，未必一定是15次白球和15次黃球，這個實驗結果發(fā)生的可能性是很小的。

小數(shù)法則也使得人們易于從一個短序列（小樣本）中過分地推斷潛在的大樣本的概率分布。我們都有過這樣的經(jīng)驗：如果一個人能連續(xù)幾次預測正確，那么我們就會相信他的判斷力，并且認為他下次的預測一定是正確的。

在實際教學過程中，一位三年級教師在講解“可能性”一課時，把學生分成4人一組，每組有3個黃球和1個紅球，每次摸一個球，摸10次，請學生先進行猜測。學生的猜測結果如下：（6，4）、（5，5）、（8，2）、（9，1）、（7，3）、（10，0）六種。操作結果情況如下：（8，2）、（7，3）、（8，2）、（7，3）、（5，5）、（7，3）、（8，2）、（5，5）。在課堂實驗結束后，教師提出問題：“誰的猜測是對的呢？”顯然，有兩組實際的結果是（5，5）。在實際數(shù)據(jù)面前，教師不得不承認（5，5）的估計也是很準的。事實上，教學中所用的實驗方法“每人做10次、20次，小組不過百次，全班不過千次”，根據(jù)大數(shù)定律，試驗的次數(shù)太小，不一定能說明問題，有時反而把學生弄糊涂了。

教學啟示：小學數(shù)學應該在一定的情況下滲透大數(shù)法則的思想。課堂上每組摸球30次，10個人合起來也不過300次，太少了。這時可以用計算機軟件解決這樣的問題：“要拋多少次才能判斷硬幣正面朝上接近1/2？”也可以通過數(shù)學史上一些著名數(shù)學家的擲硬幣的試驗結果，說明重復實驗次數(shù)越多，正面、反面的可能性就會趨向相等。

二、可得性啟發(fā)的偏差

當人們遇到未知事物沒有經(jīng)驗可循的時候，通常會根據(jù)該事物可想象的難易程度來判定它的發(fā)生概率。例如，從一個21人組成的樣本中抽取2人組織評委會和從一個同樣大的樣本中抽取19人組織評委會，問這兩種情況的組織方式各有多少種？這個問題讓兩組被試成員對上述兩種情況進行直覺判斷，他們都認為：第一種情況的結果要遠大于第二種情況的結果。而實際上，由任意兩人組成的一個評委會的同時，樣本中余下的19人也就相應地形成一個組織，所以這兩種情況下的答案應是相同的。而之所以會有這樣大的偏差，就是因為兩人的組成情況更容易在我們的想象中進行。

教學啟示：學生經(jīng)常會依靠直覺來解決一些看起來很簡單的問題，這是人的正常心理。教師對于看似簡單的概率問題，都存有如此“可怕”的錯誤，況且尚在成長過程中的學生。當學生被告知他們的答案是不正確時，他們的頭腦里一定會出現(xiàn)困惑與疑問，此時教師的工作就是讓學生經(jīng)歷復雜的數(shù)學思考，經(jīng)歷思維和智力的歷險，使他們對數(shù)學本質的理解更準確、更深入。

三、錨定啟發(fā)式的偏差

這種效應是凱尼曼和特維斯基早期在進行關于啟發(fā)式思維和認知偏差的研究中發(fā)現(xiàn)的。在他們的研究過程中，先讓接受測試者啟動未來之輪（一種上面有很多數(shù)字的轉盤，這些數(shù)字是隨機的），并看著轉盤上的數(shù)字，然后估計另外一個事件（比如，加入聯(lián)合國的非洲國家）的數(shù)量。凱尼曼和特維斯基對結果分析后發(fā)現(xiàn)，面對著有較小數(shù)字的轉盤，受試者估計了一個較小的數(shù)量，而面對具有較大數(shù)字的轉盤，受試者估計了一個較大的數(shù)量。

“錨定啟發(fā)式”是我們在作決策和判斷時經(jīng)常采用的一種方法，即先把自己“錨定”在某個事物上，然后再根據(jù)事物的特性進行判斷。

例如，擲一枚質地均勻的硬幣，隨著擲硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)恰好相等的概率又是怎樣的呢？我們認為隨著擲硬幣次數(shù)的增加，這個概率是增加的，因為這個事件發(fā)生的概率“錨定”在“擲硬幣次數(shù)越多，正反面出現(xiàn)的可能性都趨于二分之一”上。但實際結果卻與學生的判斷相反，擲硬幣2次時出現(xiàn)正反兩面各1次的概率是50%，擲6次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各3次的概率是31.26%，而擲10次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各5次的概率是24.62%，當擲100次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各50次的概率卻只有大約8%。

教學啟示：人們傾向于根據(jù)留在大腦里的最新信息片斷對事物做出決定，而不取決于這個信息是否與事件相關。但我們不能根據(jù)這些來武斷做決定，而要根據(jù)事實做分析。這種根據(jù)數(shù)學方法分析解決實際問題的能力是學生走上社會面對工作所必需的。學生學習概率的目的之一就是意識到概率和確定性數(shù)學一樣，是科學的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實世界中的眾多問題，從而逐漸樹立起新的信念。

總之，概率與確定性數(shù)學有許多不同之處，廣大教師必須掌握、弄懂有關概率的知識。同時，教師還必須了解相關的心理學知識，如凱尼曼心理學，這樣才能更好地開展概率內容的教學與研究，同時讓學習概率的心理體驗與理性思考成為解決不確定問題的有力武器。

（責編 金 鈴）endprint

人類擁有極高的智慧和豐富的思維能力。凱尼曼教授和他的同事特維斯基通過調查分析發(fā)現(xiàn)，人類并不能時刻保持思維清晰，當面臨不確定因素時，人類通常不會先去分析那些信息，或查找相關的數(shù)據(jù)，相反，他們更傾向于通過自己的直覺去判斷所面臨的問題，而最終的結果證明他們往往是錯的。下面的故事可以充分說明凱尼曼他們的發(fā)現(xiàn)。

在一個有50個學生的班級，美國斯坦福大學商學院的數(shù)學教授庫珀和他的學生打賭：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個人同月同日生。有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”幾個男學生舉起手來，另外七八個學生也掏出5美元扔在桌子上。有的學生暗想：一年365天，我們班只有50個同學，同一天生日的可能性也太小了，庫珀這不是白送錢嗎？

結果怎么樣呢？當然是教授贏了。教授用數(shù)學方法計算出50個人中沒有兩個人同一天生日的概率只有3%，而至少有兩個人同一天生日的概率就有97%，也就是說，教授贏的把握足足有九成以上。

凱尼曼教授最重要的成果是關于不確定情形下，人類如何作決策的研究，他證明了人類的決策行為如何系統(tǒng)性地偏離標準經(jīng)濟理論所預測的結果。那么凱尼曼心理學對概率教學到底有哪些影響呢？

一、代表性啟發(fā)的偏差

事實上，人們總是不自覺地根據(jù)已有經(jīng)驗和規(guī)律，為各類事物塑造了它們各自的原型。該原型具有本群體的最典型特征和最大代表性，做決策時，人們往往是將事物與各個原型相對照，一旦對照匹配相似，就將其歸入該原型所代表的范疇。由代表性啟發(fā)法造成的認知偏差基本就表現(xiàn)在以下幾個方面：對基率或者先驗概率敏感性低；結合效應和小數(shù)法則。

凱尼曼教授論證了在不確定情形下，人們在對事物的判斷上出現(xiàn)的一個基本偏差就是，人們應用小數(shù)法則，把從小樣本和大樣本中得到的經(jīng)驗平均值賦予相同的概率分布，因此違反了概率論中的大數(shù)法則。

經(jīng)?？梢钥吹綄W生有以下的錯誤：在擲硬幣活動中，如果前面7次得到的結果都是正面，那么第8次的結果會如何？許多學生會認為結果更可能是反面。這種認識上的偏差就是應用了小數(shù)法則簡單地認為：8次試驗中應該是4次正面和4次反面，現(xiàn)在已經(jīng)知道前7次是正面，那么第8次出現(xiàn)反面的可能性就大了。其實大數(shù)法則是指在隨機試驗中，每次出現(xiàn)的結果不同，但是大量重復試驗出現(xiàn)的結果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來。大數(shù)法則中強調試驗次數(shù)的大量性，在很少的幾次試驗中，規(guī)律不一定顯現(xiàn)出來，也就是說，8次擲硬幣試驗中結果未必是4次正面和4次反面。

在教學過程中，教師有時也會不經(jīng)意用到應用小數(shù)法則。例如，為了向學生解釋“游戲的公平性”，在課堂上組織了摸球的游戲（學生在裝有4個白球、4個黃球的袋子里重復摸球30次）。10組學生匯報的白、黃球摸到的結果分別是：（15，15）、（17，13）、（12，18）、（11，19）、（15，15）、（16，14）、（11，19）、（12，18）、（17，13）、（15，15）（數(shù)據(jù)中的前一個數(shù)是白球被摸到的次數(shù)，后一個數(shù)是黃球被摸到的次數(shù)）。在最后總結結論時，教師卻只將其中的三組（15，15）的數(shù)據(jù)寫在了黑板上，并向學生提出問題：“通過這個游戲，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”有的學生說：“白球和黃球被摸到的次數(shù)是相等的?！苯處熀芸斓卣f：“通過游戲得到的結果可以說明這個游戲是公平的?！苯處煂ζ渌〗M的實驗結果再沒有繼續(xù)講解、說明。其實我們應該知道：在這個試驗中，重復摸球30次球，未必一定是15次白球和15次黃球，這個實驗結果發(fā)生的可能性是很小的。

小數(shù)法則也使得人們易于從一個短序列（小樣本）中過分地推斷潛在的大樣本的概率分布。我們都有過這樣的經(jīng)驗：如果一個人能連續(xù)幾次預測正確，那么我們就會相信他的判斷力，并且認為他下次的預測一定是正確的。

在實際教學過程中，一位三年級教師在講解“可能性”一課時，把學生分成4人一組，每組有3個黃球和1個紅球，每次摸一個球，摸10次，請學生先進行猜測。學生的猜測結果如下：（6，4）、（5，5）、（8，2）、（9，1）、（7，3）、（10，0）六種。操作結果情況如下：（8，2）、（7，3）、（8，2）、（7，3）、（5，5）、（7，3）、（8，2）、（5，5）。在課堂實驗結束后，教師提出問題：“誰的猜測是對的呢？”顯然，有兩組實際的結果是（5，5）。在實際數(shù)據(jù)面前，教師不得不承認（5，5）的估計也是很準的。事實上，教學中所用的實驗方法“每人做10次、20次，小組不過百次，全班不過千次”，根據(jù)大數(shù)定律，試驗的次數(shù)太小，不一定能說明問題，有時反而把學生弄糊涂了。

教學啟示：小學數(shù)學應該在一定的情況下滲透大數(shù)法則的思想。課堂上每組摸球30次，10個人合起來也不過300次，太少了。這時可以用計算機軟件解決這樣的問題：“要拋多少次才能判斷硬幣正面朝上接近1/2？”也可以通過數(shù)學史上一些著名數(shù)學家的擲硬幣的試驗結果，說明重復實驗次數(shù)越多，正面、反面的可能性就會趨向相等。

二、可得性啟發(fā)的偏差

當人們遇到未知事物沒有經(jīng)驗可循的時候，通常會根據(jù)該事物可想象的難易程度來判定它的發(fā)生概率。例如，從一個21人組成的樣本中抽取2人組織評委會和從一個同樣大的樣本中抽取19人組織評委會，問這兩種情況的組織方式各有多少種？這個問題讓兩組被試成員對上述兩種情況進行直覺判斷，他們都認為：第一種情況的結果要遠大于第二種情況的結果。而實際上，由任意兩人組成的一個評委會的同時，樣本中余下的19人也就相應地形成一個組織，所以這兩種情況下的答案應是相同的。而之所以會有這樣大的偏差，就是因為兩人的組成情況更容易在我們的想象中進行。

教學啟示：學生經(jīng)常會依靠直覺來解決一些看起來很簡單的問題，這是人的正常心理。教師對于看似簡單的概率問題，都存有如此“可怕”的錯誤，況且尚在成長過程中的學生。當學生被告知他們的答案是不正確時，他們的頭腦里一定會出現(xiàn)困惑與疑問，此時教師的工作就是讓學生經(jīng)歷復雜的數(shù)學思考，經(jīng)歷思維和智力的歷險，使他們對數(shù)學本質的理解更準確、更深入。

三、錨定啟發(fā)式的偏差

這種效應是凱尼曼和特維斯基早期在進行關于啟發(fā)式思維和認知偏差的研究中發(fā)現(xiàn)的。在他們的研究過程中，先讓接受測試者啟動未來之輪（一種上面有很多數(shù)字的轉盤，這些數(shù)字是隨機的），并看著轉盤上的數(shù)字，然后估計另外一個事件（比如，加入聯(lián)合國的非洲國家）的數(shù)量。凱尼曼和特維斯基對結果分析后發(fā)現(xiàn)，面對著有較小數(shù)字的轉盤，受試者估計了一個較小的數(shù)量，而面對具有較大數(shù)字的轉盤，受試者估計了一個較大的數(shù)量。

“錨定啟發(fā)式”是我們在作決策和判斷時經(jīng)常采用的一種方法，即先把自己“錨定”在某個事物上，然后再根據(jù)事物的特性進行判斷。

例如，擲一枚質地均勻的硬幣，隨著擲硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)恰好相等的概率又是怎樣的呢？我們認為隨著擲硬幣次數(shù)的增加，這個概率是增加的，因為這個事件發(fā)生的概率“錨定”在“擲硬幣次數(shù)越多，正反面出現(xiàn)的可能性都趨于二分之一”上。但實際結果卻與學生的判斷相反，擲硬幣2次時出現(xiàn)正反兩面各1次的概率是50%，擲6次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各3次的概率是31.26%，而擲10次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各5次的概率是24.62%，當擲100次硬幣時出現(xiàn)正反兩面各50次的概率卻只有大約8%。

教學啟示：人們傾向于根據(jù)留在大腦里的最新信息片斷對事物做出決定，而不取決于這個信息是否與事件相關。但我們不能根據(jù)這些來武斷做決定，而要根據(jù)事實做分析。這種根據(jù)數(shù)學方法分析解決實際問題的能力是學生走上社會面對工作所必需的。學生學習概率的目的之一就是意識到概率和確定性數(shù)學一樣，是科學的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實世界中的眾多問題，從而逐漸樹立起新的信念。

總之，概率與確定性數(shù)學有許多不同之處，廣大教師必須掌握、弄懂有關概率的知識。同時，教師還必須了解相關的心理學知識，如凱尼曼心理學，這樣才能更好地開展概率內容的教學與研究，同時讓學習概率的心理體驗與理性思考成為解決不確定問題的有力武器。

（責編 金 鈴）endprint