朱卉斌

［摘要］ 應(yīng)用題在初中數(shù)學(xué)中占有很大的比重，在解題時(shí)需要一定的方法和步驟. 本文根據(jù)筆者教學(xué)中的例子，對(duì)應(yīng)用題解題方法進(jìn)行了梳理，希望對(duì)教學(xué)有所幫助.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；解法

解答初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，最關(guān)鍵的就是，要找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出有效的方程式.

■ 總結(jié)學(xué)習(xí)中常見的數(shù)量關(guān)系

初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題與實(shí)際生活聯(lián)系較為緊密，大多數(shù)都存在著一定的數(shù)量關(guān)系. 比如，在工程問題中有以下的數(shù)量關(guān)系表達(dá)式：工作總量＝效率×工時(shí)；在路程問題中有以下的數(shù)量關(guān)系：路程=時(shí)間×速度；買賣問題中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)式：總價(jià)=數(shù)量×單價(jià)；生產(chǎn)問題中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)式：總產(chǎn)量=數(shù)量×單個(gè)產(chǎn)量；盈利問題中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)式：利潤(rùn)=賣出價(jià)-購(gòu)進(jìn)價(jià)（利潤(rùn)=售價(jià)-成本）；濃度相關(guān)問題的數(shù)量關(guān)系表達(dá)式：溶液濃度=溶質(zhì)的質(zhì)量÷溶液的質(zhì)量；儲(chǔ)蓄問題中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)式：利息=利率×存儲(chǔ)時(shí)間×本金. 數(shù)量關(guān)系不僅以上幾種，所以教師在教學(xué)過程中要對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行歸納和總結(jié)，讓學(xué)生熟練掌握，以減少他們?cè)趯忣}過程中遇到的困難.

■ 教會(huì)學(xué)生通過列方程求解問題

的步驟

列方程求解是一種重要的解答應(yīng)用題的方法，教師要幫助學(xué)生掌握該方法的基本步驟.

第一，審清題目. 要認(rèn)真地審題，對(duì)題目的整體含義、給出的已知條件、題目的具體要求以及關(guān)鍵詞進(jìn)行準(zhǔn)確地把握，要想在最短的時(shí)間內(nèi)得到問題的答案，就必須做好審題環(huán)節(jié)的工作，通過題目的描述來尋找解決問題的方法.

第二，設(shè)未知數(shù). 我們通常也將這一步稱作“設(shè)元”. 其中設(shè)置的未知數(shù)主要分為直接未知數(shù)和間接未知數(shù)兩種，一般情況下，我們都是直接設(shè)未知數(shù)，如果這種設(shè)元的方法不能簡(jiǎn)化問題，就需要根據(jù)題目的具體內(nèi)容設(shè)置間接的未知數(shù).

第三，列出與題目相關(guān)的所有等量關(guān)系式. 通常情況下，可根據(jù)題目的描述找到描述等量關(guān)系的一些關(guān)鍵詞，然后將有關(guān)的等量關(guān)系式列出. 這時(shí)，可以與總結(jié)出的常見等量關(guān)系式相結(jié)合，建立起與題目有關(guān)的關(guān)系式，同時(shí)還可以采用畫圖、列表等方法找到數(shù)量關(guān)系.

第四，以這些等量關(guān)系為基礎(chǔ)，列出相應(yīng)的方程，再進(jìn)行求解.

第五，對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn). 將求得的結(jié)果帶入題目當(dāng)中，看其是否符合實(shí)際情況，同時(shí)還要檢查計(jì)算過程中是否出現(xiàn)錯(cuò)誤. 檢查無誤后，得出最終結(jié)果，并標(biāo)明對(duì)應(yīng)單位.

■ 加強(qiáng)對(duì)學(xué)生尋找題目等量關(guān)系

的練習(xí)

在解決應(yīng)用題的過程中，最重要的就是要找到題目中的等量關(guān)系，以這些等量關(guān)系為基礎(chǔ)，建立有關(guān)的方程，進(jìn)行求解，最終得出答案. 因此，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生尋找等量關(guān)系的練習(xí).

第一，抓住關(guān)鍵詞. 通常，在題目中，會(huì)有凸顯等量關(guān)系的關(guān)鍵詞，這就要求在審題時(shí)對(duì)這些詞語(yǔ)給予重視，從中找出等量關(guān)系. 這些詞語(yǔ)主要有：幾倍、多、少、總共、大、小、一半、幾分之幾、減少、增加、超出、不足等，當(dāng)然，還要學(xué)會(huì)能將其轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言.

比如，某個(gè)健身館在三年之中一共購(gòu)買了140臺(tái)跑步機(jī)，已知前年的購(gòu)買量是去年的一半，去年的購(gòu)買量為今年的一半，試求前年這家健身館一共購(gòu)買了多少臺(tái)跑步機(jī). 從題目中我們很容易找到關(guān)鍵詞，并列出有關(guān)的等式：前年的購(gòu)買量+去年的購(gòu)買量+今年的購(gòu)買量=140臺(tái)，去年的購(gòu)買量=前年的購(gòu)買量×2，今年的購(gòu)買量=去年的購(gòu)買量×2.

第二，依據(jù)一些基本數(shù)量關(guān)系和計(jì)算公式，列出等量關(guān)系. 比如，在清掃某片生活垃圾時(shí)，清潔工A單獨(dú)完成需要3小時(shí)，清潔工B單獨(dú)完成需要2小時(shí)，假如讓他們兩人共同清掃這片垃圾，能在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)完成？解答時(shí)，我們將二人共同完成的時(shí)間設(shè)為x，單位為小時(shí)，結(jié)合基本數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，可以得出等量關(guān)系——■+■x=1.

第三，依照題意畫出相關(guān)的線段圖，結(jié)合圖形列出等量關(guān)系的表達(dá)式. 有的應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系十分煩瑣，需要我們利用線段圖對(duì)其相關(guān)量進(jìn)行表述. 比如，騎摩托車往返于A地、B地之間，從A地到B地是順風(fēng)，路上需要6 h，從B地到A地是逆風(fēng)，需要8 h，風(fēng)速已知為■km/h. 有一名快遞員，早上6時(shí)從A地出發(fā)去B地，路上由于顛簸，在到達(dá)B地后發(fā)現(xiàn)掉了一個(gè)快遞，于是立馬回去找. 終于在1 h后發(fā)現(xiàn)了丟失的快遞，請(qǐng)問，這包快遞是在什么時(shí)間掉下去的？我們將快遞掉落的時(shí)間設(shè)為x，根據(jù)題意可畫出如圖1所示的線段圖.

■

根據(jù)線段圖我們可以很清楚地看到，從快遞掉落的地方到B地的路程=快遞隨風(fēng)吹所走的路程+快遞員從B地返回找到快遞所行的路程，根據(jù)這個(gè)等式關(guān)系，可列出方程：（12-x）·■+1·■+■·1=（12-x）·■.

第四，尋找變化過程中的恒定量，找到隱含的等量關(guān)系. 在一些難度較大的應(yīng)用題中，通常都會(huì)設(shè)置一些恒定量——在整個(gè)題目中一直都是不變的，在解答的過程中，要從這些恒定量入手. 比如，一架直升機(jī)從甲地到乙地是順風(fēng)，需要飛行4 h，從乙地到甲地是逆風(fēng)，需要飛行6 h，假設(shè)風(fēng)速不變，不考慮其他因素的影響，一個(gè)氣球從甲地飄到乙地，需要多長(zhǎng)時(shí)間？我們將氣球從甲地飄到乙地的時(shí)間設(shè)為x，由于在無風(fēng)條件下直升機(jī)的速度一直都是不變的，這就是問題的突破口，而無風(fēng)下直升機(jī)的速度=順風(fēng)速度-風(fēng)速=風(fēng)速+逆風(fēng)速度，所以我們可以得出方程——■-■=■+■.

第五，通過列表發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系. 根據(jù)題目描述列出表格，能夠很容易地發(fā)現(xiàn)已知量之間的等量關(guān)系. 例如，甲以 6 km/h的速度從A地去往B地，在甲出發(fā)40 min后，乙以8 km/h的速度從A地去B地，在甲還差5000 m就到達(dá)B地時(shí)，二者相遇. 試求甲、乙兩地之間的距離. 解答時(shí)，我們可將兩地之間的距離設(shè)為x km，根據(jù)題目的描述，列出下面的表格：

■

我們很容易就能得出題目中的等量關(guān)系：甲的行駛時(shí)間與乙的行駛時(shí)間之差為■h，由此可列出方程——■-■=■，從而求得問題的答案.

第六，通過圖形形象地表示題目中的數(shù)量關(guān)系. 例如，班級(jí)有45名學(xué)生，在運(yùn)動(dòng)會(huì)上有40人報(bào)了跑步類項(xiàng)目，有37人報(bào)了投擲類項(xiàng)目，又知同時(shí)報(bào)名跑步類和投擲類項(xiàng)目的人數(shù)是沒有填報(bào)任何項(xiàng)目人數(shù)的9倍，試求既報(bào)名投擲類又報(bào)名跑步類項(xiàng)目的同學(xué)的人數(shù). 根據(jù)題意可畫出如圖2所示的圖形.

■

設(shè)兩個(gè)項(xiàng)目都填報(bào)的學(xué)生人數(shù)為x，由圖可得x+■+（40-x）+（37-x）=45.

■ 強(qiáng)化學(xué)生根據(jù)題意列出有關(guān)方

程的練習(xí)

（1）強(qiáng)化列代數(shù)式的聯(lián)系. 要想根據(jù)題意列出有效的方程式，首先要列好代數(shù)式，加強(qiáng)列代數(shù)式的練習(xí)，在練習(xí)中可以采用以下方法：借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言來對(duì)代數(shù)式進(jìn)行敘述，比如“9x+3”敘述為“某個(gè)數(shù)的9倍再加上3”；借助代數(shù)式來表達(dá)數(shù)量關(guān)系，如將“比x的4倍多7”，寫成“4x+7”；結(jié)合實(shí)際題目的意思來對(duì)代數(shù)式的含義進(jìn)行表述，如運(yùn)動(dòng)器材店進(jìn)貨，購(gòu)進(jìn)x個(gè)籃球，每個(gè)的進(jìn)價(jià)為50元；購(gòu)進(jìn)15個(gè)排球，進(jìn)價(jià)為y元，讓學(xué)生結(jié)合題意表述例如50x，15y，50x+15y的數(shù)學(xué)含義，其中50x表示購(gòu)進(jìn)籃球所花的錢，50x+15y的含義為購(gòu)進(jìn)籃球和排球一共所花的錢.

（2）強(qiáng)化尋找等量關(guān)系的練習(xí). 要想列出有效的方程進(jìn)行求解，最為重要的就是尋找等量關(guān)系，在練習(xí)中，應(yīng)盡量為學(xué)生設(shè)置一些與實(shí)際生活相關(guān)的題目，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)全面提高. 比如，放學(xué)時(shí)去買雪糕，在找錢的時(shí)候，應(yīng)找回的錢數(shù)=付款數(shù)-雪糕價(jià)錢，這種問題雖然簡(jiǎn)單，但能起到很好的聯(lián)系效果.

（3）將以上兩種練習(xí)進(jìn)行有效地結(jié)合. 在強(qiáng)化列代數(shù)式和找等量關(guān)系的練習(xí)后，還要將二者進(jìn)行很好地結(jié)合，列出有效的方程式. 比如，用一塊長(zhǎng)為40 m的布料做衣服，一共做了12件相同的衣服，每件衣服用布x m，最后發(fā)現(xiàn)還有7 m剩余，這個(gè)問題中的等量關(guān)系是：使用前布料的長(zhǎng)度=剩余布料長(zhǎng)度+使用的布料長(zhǎng)度，于是可列出方程式——12x+7=40.

（4）以現(xiàn)有的方程式為基礎(chǔ)，編寫有效的應(yīng)用題. 教師給出一個(gè)方程式，讓學(xué)生對(duì)其中的關(guān)系進(jìn)行分析，與實(shí)際生活相結(jié)合，編寫出合理的應(yīng)用題，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，這能使學(xué)生更好地從正面理解題目. 例如，教師給出方程式■+■=1，讓學(xué)生編寫有關(guān)的題目. 實(shí)踐時(shí)，學(xué)生給出的題目多種多樣，有實(shí)際的建筑工程問題，還有放學(xué)路上的追逐問題，整個(gè)課堂效果相當(dāng)好，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握也更加牢固.

以上就是筆者結(jié)合例子對(duì)初中數(shù)學(xué)常見應(yīng)用題解法的分析，并結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，提出的解題的4種具體方法. 要想做好有關(guān)教學(xué)，還需根據(jù)實(shí)際情況采取有效的措施，切實(shí)提高初中生的數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題能力.