倪昀倩

［摘要］ 本文以“相似三角形的應(yīng)用”為例，圍繞課堂教學(xué)中的教學(xué)內(nèi)容進行問題設(shè)計和變式設(shè)計，通過實踐反思歸納出舉一反三不可過度、在變式的過程中引導(dǎo)學(xué)生思考、體現(xiàn)教師的主導(dǎo)地位和學(xué)生的主體作用等.

［關(guān)鍵詞］ 問題變式；問題設(shè)計；效率

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)更多地以“問題”的形式出現(xiàn)，所以我們常說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”. 變式訓(xùn)練問題是數(shù)學(xué)問題的一類，和簡單的操練不同，每次訓(xùn)練較之前次有所變化，添加一些新的內(nèi)容，要求用一些新的技巧. 變式教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，實踐證明，它是一種有效的教學(xué)策略. 下面以一節(jié)“相似三角形的應(yīng)用”的變式問題設(shè)計進行探討．

■ 課堂教學(xué)問題設(shè)計

1. 教學(xué)內(nèi)容說明

本節(jié)課是蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊“10.7相似三角形的應(yīng)用”第2課時，教學(xué)任務(wù)是：了解中心投影的概念和性質(zhì)；在一定條件背景下構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，綜合運用判定三角形相似的條件和三角形相似的性質(zhì)解決中心投影相關(guān)問題．

問題設(shè)計從學(xué)習(xí)中心投影的概念及相關(guān)性質(zhì)之后開始．

2. 問題設(shè)計

問題：?搖（1）如圖1所示，小明身高CD=1.6 m，站在離路燈桿AB底部6 m的點D處，畫出小明在路燈AB照射下的影子DE.

（2）此時測量出小明的影長DE＝2 m，請求出路燈桿AB的高度.

（3）小明繼續(xù)往前走到點E處，請求出此時小明的影長. 小明的影子變長了還是變短了？變長或變短了多少米？

設(shè)計說明針對學(xué)生直接求解教材原題有困難的情況，設(shè)計本題做鋪墊，一來分解難度，二來為利用相似三角形知識解決中心投影問題提煉出數(shù)學(xué)模型，明確問題的本質(zhì). 在這個數(shù)學(xué)模型中，有四個量，即燈桿高度、物體高度、影長、物體與燈桿之間的距離. 如圖2所示，利用相似三角形的性質(zhì)得■=■，四個量知三可求一，可轉(zhuǎn)化為一元一次方程問題求解. 后面的各變式問題均圍繞該模型展開．

變式1有一路燈桿AB，小明身高CD＝1.6 m，燈光下在點D處測得自己的影長DE=3 m，你能求出路燈桿AB的高度嗎？

設(shè)計說明?搖變式1從原題出發(fā)，少了物桿距離，一次測量只能滿足已知兩個條件，知二無法求二，這就引發(fā)了認知沖突，啟發(fā)學(xué)生想到二次測量解決問題. 題目的變化并沒有引起數(shù)學(xué)模型的變化，只是有兩個未知數(shù)，從原來的一元方程變成了二元方程. 如圖3所示，利用相似三角形的性質(zhì)，得關(guān)于燈桿長、物桿距離1的二元一次方程組：■=■，■=■.

變式問題使學(xué)生學(xué)習(xí)時不只停留于問題的表象，而能自覺地從本質(zhì)看問題，同時也能學(xué)會比較全面地看問題．

變式2?搖 如圖4所示，在距離墻20 m處有一路燈AB，AB＝9.6 m，當(dāng)身高1.6 m的小明站在距離墻2 m處時，請畫出他的影子，并計算他頭頂?shù)挠白泳嚯x墻角點O的距離．

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設(shè)計說明?搖 變式2投影分地上、墻上兩部分，也是生活中的實際情況. 學(xué)生利用“把墻推倒”和“把地面抬高”這兩種方法將問題轉(zhuǎn)化為原來的數(shù)學(xué)模型，如圖5和圖6所示. 本題還可以引導(dǎo)學(xué)生自己變式，如墻變化為臺階等．

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通過變式強化化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，而一題多解可以引導(dǎo)學(xué)生多渠道地思考問題，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)參與意識，也能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的創(chuàng)造性．

變式3?搖如圖7所示，小明身高1.6 m，路燈AB和PQ的高度都是6.4 m，晚上小明由路燈AB走向路燈PQ，當(dāng)小明走到點D時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AB的底部，當(dāng)他向前再步行8米到達點F時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈PQ的底部. （1）證明：BD＝FQ；（2）求兩路燈之間的距離.

設(shè)計說明本變式注重解題的技巧，如第（1）題在說明線段相等時，只要將兩線段的比■和■分別看成一個整體，通過■=■等量代換即可得到相等．

在變式訓(xùn)練中，有許多是解題方法的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)的價值不僅要建立數(shù)學(xué)模型、理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理的意義，數(shù)學(xué)的解題方法和基本技巧也是訓(xùn)練思維的重要手段，離開了常規(guī)的解題變式訓(xùn)練，也就把數(shù)學(xué)真諦的另一半丟掉了．

3. 實踐反思

變式是通過變更對象的非本質(zhì)特征，變更觀察事物的角度或方法，突出對象的本質(zhì)特征，突出那些隱藏的本質(zhì)要素．

對數(shù)學(xué)而言，變式的形式主要包括：（1）變換解題方法. （2）對例題、習(xí)題的變化或引申，比如將問題一般化、特殊化，改變條件、結(jié)論或互換條件結(jié)論等. （3）變換問題的呈現(xiàn)方式，如改變題目的背景、題型等. （4）改變數(shù)字、符號．

變式的目的是為了更好地凸顯知識的本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生更好地理解、掌握知識，達到舉一反三、觸類旁通的效果，提高思維能力．

（1）舉一反三不可過度

數(shù)學(xué)問題變式教學(xué)通過水平變式題的適當(dāng)“重復(fù)”，同時通過垂直變式題的恰到“突破”，使得學(xué)生思維得以盡情發(fā)散，學(xué)生分析問題、解決問題的能力得以進一步提高，而水平變式題“重復(fù)”的量和垂直變式題“突破”的度的把握并不簡單，是進行數(shù)學(xué)問題變式教學(xué)最值得研究的一個問題．

筆者在實踐本課例時，第一次授課對象為本校藝術(shù)班學(xué)生（學(xué)生整體學(xué)習(xí)水平較高），變式3后還做了如下拓展：小明站在D處時的另一個影子的長為多少？再往PQ走1 m，此時兩個影子的長又分別是多少？觀察兩處兩個影長之間的數(shù)量關(guān)系，你有何新發(fā)現(xiàn)？你能用數(shù)學(xué)道理說明嗎？大部分學(xué)生能自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并嘗試證明，但第二次在普通班授課時，只有四分之一的學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論并無法證明，那么，面對這群授課對象，此處的變式已經(jīng)過度，反而失去了原有的意義．

（2）在變式的過程中引導(dǎo)學(xué)生思考

解決本課例原題的3個變式問題時，教師重點引導(dǎo)學(xué)生透過實際問題發(fā)現(xiàn)本質(zhì). 首先根據(jù)題目畫出簡圖，通過添加輔助線呈現(xiàn)點光源照射下的基本圖形以及模型，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)列出方程解答. 其中得到基本模型是解決問題的關(guān)鍵，也是難點所在. 實際教學(xué)中反映，學(xué)生能輕松處理變式1，至此教師應(yīng)再次明確本節(jié)課的主題，在處理接下來的兩個變式時學(xué)生就能圍繞學(xué)習(xí)主題添加輔助線. 通過適量的變式，學(xué)生能掌握適當(dāng)難度的此類題型．

（3）體現(xiàn)教師的主導(dǎo)地位和學(xué)生的主體作用

教師要命題，要指導(dǎo)學(xué)生解題，要組織學(xué)生展示解題的結(jié)果和進行討論辨析，還要對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法進行總結(jié)；而學(xué)生要參與解題、展示，參與辨析正誤，他們中的每一個人都有充分的發(fā)言機會，以表達各種不同的想法和意見. 最后，問題的解決要由學(xué)生親自去完成. 這樣，學(xué)生才能真正成為學(xué)習(xí)的主人，才能提高課堂教學(xué)效益．

4. 進行變式問題訓(xùn)練的注意點

進行問題變式可分為以下步驟：原題講解清楚，挖出問題本質(zhì)，而且學(xué)生能夠內(nèi)化；在逐步展開的變式中，學(xué)生練習(xí)，理清思路，進一步理解問題本質(zhì)；教師帶領(lǐng)學(xué)生弄清變式與原題的不同點與本質(zhì)相同點，滲透變中不變的思想；最后通過原題與變式完善知識體系．

結(jié)合教學(xué)實踐及對實踐的反思，筆者提出在初中數(shù)學(xué)課進行變式問題訓(xùn)練要注意以下幾點：

（1）源于課本，高于課本

課本的例、習(xí)題等都是專家精心設(shè)計和挑選的精品，我們要充分利用課本，選準(zhǔn)具有示范性、發(fā)散性、重點突出的典型問題，挖掘其精神實質(zhì)進行一題多變．

（2）循序漸進，有的放矢

變式要針對教學(xué)目標(biāo)和所教學(xué)生的學(xué)情，由易到難，有梯度地展開，不可一步到位. 針對不同的授課調(diào)整變式教學(xué)服務(wù)的對象. 例如，新授課的習(xí)題或概念變式應(yīng)服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)目的；習(xí)題課的習(xí)題變式適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和方法；復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式不但要滲透數(shù)學(xué)思想方法，還要進行縱向和橫向的聯(lián)系．

（3）把握變式的“度”與“量”

由于所教內(nèi)容不同，所教學(xué)生層次不同，變式的“量”和“度”在教學(xué)中要做精心設(shè)計，同時結(jié)合課堂教學(xué)進行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整與改變. 過多、過難都不可取，關(guān)鍵要“精”，要有典型性和代表性．

（4）提倡學(xué)生參與變式?搖

問題變式并不是教師的“專利”，只要是學(xué)生能夠引申的，教師絕不包辦代替；學(xué)生引申有困難的，可在教師的點撥與啟發(fā)下完成．

（5）注意適用范圍，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維

在學(xué)習(xí)定理、公式的教學(xué)過程中，運用變式教學(xué)可以明確公式、定理的條件、結(jié)論、適用范圍和注意事項等關(guān)鍵之處，讓學(xué)生深入理解定理、公式的本質(zhì)．

變式教學(xué)可以讓教師有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律. 只有組織合理的變式才能真正有效地促進學(xué)生的有意義的主動學(xué)習(xí)，才能幫助他們構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展他們靈活的問題識別能力和問題解決能力，才能真正提高課堂效率．